5.7 三角函数的应用——高一数学人教A版（2019）必修第一册课时优化训练
1.智能主动降噪耳机的工作原理是通过耳机两端的噪声采集器采集周围的噪声，然后通过主动降噪芯片生成与噪声相位相反、振幅相同的声波来抵消噪声（如图）.已知噪声的声波曲线（其中，，）的振幅为1，周期为，初相位为，则通过主动降噪芯片生成的声波曲线的解析式为( )
A. B. C. D.
2.声音是由物体振动产生的，每一个纯音都是由单一简谐运动产生的乐音，其数学模型为(，)，其中A表示振幅，响度与振幅有关；T表示最小正周期，，它是物体振动一次所需的时间；f表示频率，，它是物体在单位时间里振动的次数.下表为我国古代五声音阶及其对应的频率f：
音 宫 商 角 徵 羽
频率f
小明同学利用专业设备，先弹奏五声音阶中的一个音，间隔个单位时间后，第二次弹奏同一个音(假设两次声音响度一致，且不受外界阻力影响，声音响度不会减弱)，若两次弹奏产生的振动曲线在上重合，根据表格中数据判断小明弹奏的音是( )
A.宫 B.商 C.角 D.徵
3.我国第一高楼上海中心大厦的阻尼器减震装置，被称为“定楼神器”，如图1.由物理学知识可知，某阻尼器的运动过程可近似为单摆运动，其离开平衡位置的位移和时间的函数关系为（，），如图2.若该阻尼器在摆动过程中连续三次到达同一位置的时间分别为，，（），且，，则1分钟内阻尼器由其它位置摆动经过平衡位置的次数最多为( )
A.19 B.40 C.20 D.41
4.甲、乙两人从直径为的圆形水池的一条直径的两端同时按逆时针方向沿水池做匀速圆周运动，已知甲的速度是乙的速度的两倍，乙绕水池一周停止运动，若用表示乙在某时刻旋转角的弧度数，l表示甲、乙两人的直线距离，则的大致图象是( )
A. B. C. D.
5.我国古代数学家僧一行应用“九服晷影算法”在《大衍历》中建立了晷影长l与太阳天顶距的对应数表，这是世界数学史上最早的一整正切函数表.根据三角学知识可知，晷影长度l等于表高h与太阳天顶距正切值的乘积，即，对同一“表高”两次测量，第一次和第二次太阳天顶距分别为、，若第一次的“晷影长”是“表高”的3倍，且，则第二次“晷影长”是“表高”的____倍( )
A.1 B. C. D.
6.如图，一个筒车按逆时针方向转动.设筒车上的某个盛水筒W到水面的距离为d（单位：米）（在水面下，则d为负数）.若以盛水筒W刚浮出水面时开始计算时间，d与时间t（单位：分钟）之间的关系为.某时刻（单位：分钟）时，盛水筒W在过点O（O为筒车的轴心）的竖直直线的左侧，且到水面的距离为5米，则再经过分钟后，盛水筒W( )
A.在水面下 B.在水面上 C.恰好开始入水 D.恰好开始出水
7.（多选）中国最早的天文观测仪器叫“圭表”，最早装置圭表的观测台是西周初年在阳城建立的周公测景（影）台.“圭”就是放在地面上的土堆，“表”就是直立于圭的杆子，太阳光照射在“表”上，便在“圭”上成影，到了汉代，使用圭表有了规范.规定“表”为八尺长（1尺＝10寸）.用圭表测量太阳照射在竹竿上的影长，可以判断季节的变化.也能用于丈量土地，同一日内，南北两地的日影长短倘使差一寸，它们的距离就相差一千里，所谓“影差一寸，地差千里”，记“表”的顶部为A.太阳光线通过顶部A投影到“圭”上的点为B，已知甲、乙两地之间的距离约为20千里.若同一日内，甲地中直线AB与地面所成的角为，且，则甲地日影长是乙地日影长的( )
A. B. C. D.
8.（多选）水车在古代是进行灌溉引水的工具，亦称“水转筒车”，是一种以水流作动力，取水灌田的工具.据史料记载，水车发明于隋而盛于唐，距今已有1000多年的历史，是人类的一项古老的发明，也是人类利用自然和改造自然的特征.如图是一个半径为的水车，一个水斗从点出发，沿圆周按逆时针方向匀速旋转，且旋转一周用时120秒.经过秒后，水斗旋转到点，设点的坐标为，其纵坐标满足（，，），则下列叙述正确的是( )
A.
B.当时，函数单调递增
C.当时，的最大值为
D.当时，
9.海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫潮.一般地，早潮叫潮，晚潮叫汐.在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近码头；卸货后，在落潮时返回海洋.已知某港口水深(单位：m)与时间t(单位：h)从时的关系可近似地用函数(，，)来表示，函数的图象如图所示，则( )
A.
B.函数的图象关于点对称
C.当时，水深度达到
D.已知函数的定义域为，有2个零点，，则
10.如图为2017年某市某天中6h至14h的温度变化曲线，其近似满足函数，，，的半个周期的图象，则该天8h的温度为______．
11.如图，一个半径为3米的筒车按逆时针方向每4分钟转1圈，筒车的轴心O距离水面的高度为1.5米设筒车上的某个盛水筒W到水面的距离为d(单位：米)(在水面下则d为负数)，若以盛水筒W刚浮出水面时开始计算时间，且d与时间t(单位：分钟)之间的关系式为：，则d与时间t之间的关系是______________．
12.某城市一年中12个月的平均气温与月份的关系可近似地用三角函数（，2，…，12）来表示.已知6月份的平均气温最高为，12月份的月平均气温最低为，则10月份的平均气温为______°.
13.如图，在扇形中，半径，圆心角，C是扇形圆弧上的动点，矩形内接于扇形，记.
（1）将矩形的面积S表示成关于的函数的形式；
（2）求的最大值，及此时的角.
14.游乐场中的摩天轮沿逆时针方向匀速旋转，其中心O距离地面40.5m半径40m（如图所示），游客从最低点处登上摩天轮，其与地面的距离随着时间而变化，已知游客将在登上摩天轮后30分钟到达最高点，自其登上摩天轮的时刻起，
（1）求出其与地面的距离h与时间t的函数关系的解析式；
（2）若距离地面高度超过20.5m时，为“最佳观景时间”，那么在乘坐一圈摩天轮的过程中，该游客大约有多少“最佳观景时间”？
15.如图，某公园摩天轮的半径为40m，圆心O距地面的高度为50m，摩天轮做匀速转动，每转一圈，摩天轮上的点P的起始位置在距地面最近处.
（1）已知在时点P距离地面的高度为.求时，点P距离地面的高度；
（2）当离地面m以上时，可以看到公园的全貌，求转一圈中在点P处有多少时间可以看到公园的全貌.
答案以及解析
1.答案：A
解析：因为噪音的声波曲线（其中，，）的振幅为1，周期为，初相位为，则，，，所以噪声的声波曲线的解析式为，所以通过主动降噪芯片生成的声波曲线的解析式为.故选：A.
2.答案：C
解析：由题意可知：，，可得，，则，，
结合题意可知：只有“角”的频率为3的倍角，所以小明弹奏的音是“角”.
故选：C.
3.解析：正弦型函数的图象与性质根据题意，，5，且，故周期.又，解得，则，由，可得，所以1分钟内阻尼器由其他位置摆动经过平衡位置的最多次数等价于1分钟内的最多次数，即等价于里包含，的最多次数.又，所以里包含了0，，，，或，，，，，，故里包含，的最多次数为40，故选B.
4.答案：B
解析：甲的速度是乙的速度的两倍，由题意知当时，两人相遇，排除A，C，两人的直线距离大于等于零，排除D.故选：B.
5.答案：A
解析：由题意可得，，所以，即第二次的“晷影长”是“表高”的1倍.故选：A.
6.答案：B
解析：由题意，，可得，或（舍去）.
所以，所以再经过分钟，可得，所以盛水筒在水面上.在判断时，可以采用放缩法更为直接，过程如下：
，
，故盛水筒在水面上.故选：B.
7.答案：AC
解析：依题意，甲地的日影长为寸，
因为甲、乙两地之间的距离约为20千里，所以乙地的日影长为寸或寸，因为，，所以甲地日影长是乙地日影长的或.故选：AC.
8.答案：AD
解析：由题意，，，所以，则，
又点，此时代入可得，解得，
又，所以，故A正确；因为，当时，，所以函数先增后减，故B错误；当时，所以，则，则，故C错误；当时，，的纵坐标为，横坐标为，所以，故D正确；
故选：AD.
9.答案：ACD
解析：对A，由图知，，，，
的最小正周期，，，，解得：，又，，，故A正确；
对B，令，，解得，，当时，，则，
则函数的图象关于点对称，故B错误；
对C，，故C正确；
对D，，则，令，则，令，则根据图象知两零点，关于直线，则，即，则，则，故D正确，故选：ACD.
10.答案：
解析：根据函数的半个周期图象知，，解得，；又，所以，所以；又时，，即，解得，；又，所以；所以，
时，；即该天8h的温度为．
故答案为：．
11.答案：，
解析：根据筒车模型中各量的物理意义及题意可知，筒车按逆时针方向每4分钟转1圈，
所以筒车旋转的角速度；筒车的半径为3米，所以；筒车的轴心O距离水面的高度为1.5米，所以．以盛水筒W刚浮出水面时开始计算时间，此时，
所以筒车上的某个盛水筒W到水面的距离d(单位：米)(在水面下则d，为负数，
则d与时间t的关系为：，．故答案为：，．
12.答案：或
解析：由函数，因为6月份的平均气温最高为，12月份的月平均气温最低为，可得且，解得，，所以函数，令，可得，即为.
故答案为：.
13.答案：（1）（）
（2）时，取得最大值
解析：（1）在中，，，
，，，，
（）；
（2），，，
因为，，当，即时，
取得最大值.
14.答案：（1）
（2）40min
解析：（1）设（，），
则，，所以，
第一次到最高点旋转了半周期，所以，
游客从最低点登上，所以，
故，（或）
（2）令，
则（或），
所以，
，，
所以，
因此，在乘坐一圈摩天轮的过程中，该游客大约有40 min最佳观景时间.
15.答案：（1）
（2）转一圈中在点P处有的时间可以看到公园的全貌
解析：（1）依题意知，，，，
由，解得，所以，
因为，所以，又，所以，
所以，
所以，
即时点P距离地面的高度为.
（2）令，即，
解得，
即，
又，
所以转一圈中在点P处有的时间可以看到公园的全貌.
