2.2 基本不等式——高一数学人教A版（2019）必修第一册课时优化训练
一、选择题
1.已知正实数x，y满足，则的最小值为( )
A.24 B.25 C.26 D.27
2.已知正实数a，b，则“”是“”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
3.若两个正实数x，y满足，且不等式有解，则实数m的取值范围是( )
A. B.或
C. D.或
4.已知实数，，且满足恒成立，则的最小值为( )
A. B. C.5 D.2
5.阿基米德有句名言：“给我一个支点，我就能撬起整个地球!”这句话说的便是杠杆原理，即“动力×动力臂=阻力×阻力臂”.现有一商店使用两臂不等长的天平称黄金，一位顾客到店里预购买黄金，售货员先将的砝码放在天平左盘中，取出黄金放在天平右盘中使天平平衡；再将的砝码放在天平右盘中，取黄金放在天平左盘中使天平平衡，最后将称得的和黄金交给顾客，则顾客购得的黄金重量( )
A.大于 B.等于 C.小于 D.无法确定
6.已知，，，则的最小值为( )
A. B.0 C.1 D.
7.（多选）设正实数x，y满足，则下列说法正确的是( )
A.的最小值为2 B.的最小值为1
C.的最大值为4 D.的最小值为2
8.（多选）已知a，b为不相等的正实数，满足，则下列结论正确的是( )
A. B.
C. D.
9.（多选）以下结论正确的是( )
A.不等式恒成立
B.存在a，使得不等式成立
C.若，则
D.若正实数x，y满足，则
二、填空题
10.设，且满足：对实数x，当时，均有，则的最小值为________.
11.已知a、，且，则的取值范围是___________.
12.若正数m，n满足，则mn的最大值为__________．
三、解答题
13.已知，，且.
（1）求ab的最小值；
（2）求的最小值.
14.已知，，.
（1）求的最大值；
（2）求的最小值.
15.某企业为积极响应国家垃圾分类号召，在科研部门的支持下进行技术创新，新上一个把厨余垃圾加工处理为可重新利用的化工产品的项目.已知该企业日加工处理量x（单位：吨）最少为70吨，最多为100吨.日加工处理总成本（单位：元）与日加工处理量x之间的函数关系可近似地表示为，且每加工处理1吨厨余垃圾得到的化工产品的售价为110元.
（1）该企业日加工处理量为多少吨时，日加工处理每吨厨余垃圾的平均成本最低？此时该企业处理1吨厨余垃圾处于亏损还是盈利状态？
（2）为了使该企业可持续发展，政府决定对该企业进行财政补贴，补贴方案共有两种：
①每日进行定额财政补贴，金额为2300元；
②根据日加工处理量进行财政补贴，金额为元.如果你是企业的决策者，为了获得最大利润，你会选择哪种补贴方案？为什么？
答案以及解析
1.答案：B
解析：因为正实数x，y满足，所以，
所以，
当且仅当，即，时取等号，
所以的最小值为25.故选：B.
2.答案：B
解析：若，取，，则，即不能推出，故充分性错误；若，由均值不等式可知，所以，2个等号取等条件都是，所以可以推出，所以必要性正确，所以是必要不充分条件.故选：B
3.答案：D
解析：由两个正实数x，y满足，得，则，当且仅当，即时取等号.由不等式有解，得，解得或.
4.答案：A
解析：由得，即，令，则在R上单调递增，且，所以，所以，即，所以，当且仅当时等号成立，故选A.
5.答案：A
解析：设天平左臂长为，右臂长为，且，
，，，，
故选：A.
6.答案：A
解析：，，，
，，
，
当且仅当，即，时等号成立，故选：A
7.答案：AD
解析：对于A，因为，，，所以，当且仅当时等号成立，
所以的最小值为2，故A正确；
对于B，，当且仅当时等号成立，所以的最大值为1，故B错误；
对于C，，当且仅当时等号成立，
所以，即的最大值为2，故C错误；
对于D，，当且仅当时等号成立，
所以的最小值为2，故D正确.故选：AD.
8.答案：ABD
解析：A选项，由可知，即，故，
因为，所以，所以，故，A选项正确；
B选项，由A选项可知，，又，故，当且仅当，时或，时取“=”，B选项正确；
C选项，由A选项可知，，又，故，
令，有，令，解得，令，解得，可知的单调递减区间为，单调递增区间为，故，故，C选项错误；
D选项，等价于，即，因为，又，，故，当且仅当，即，时，等号成立，故D选项正确.
故选：ABD.
9.答案：BC
解析：对于A，不等式恒成立的条件是，，故A错误；
对于B，当时，不等式成立，故B正确；
对于C，若，则，当且仅当时取等号；
对于D，若正实数x，y满足，则，
当且仅当，即，时取等号；故D错误.故选：BC
10.答案：1
解析：对实数x，当时，均有，设，由，则函数在上单调递增，所以，即，即，所以，所以，当且仅当时，取得等号.
所以，时，有最小值1.故答案为：1
11.答案：
解析：、，，，，
，
所以，即，
，解得.当且仅当时，；当且仅当时，.
因此，的取值范围是.故答案为：.
12.答案：10
解析：因为，当且仅当，即时，等号成立，所以，故mn的最大值为10．故答案为：10.
13.答案：（1）4
（2）
解析：（1）因为，所以，所以，
所以，所以，当且仅当即时等号成立，即ab的最小值为；
（2），
当且仅当即即，时，等号成立，所以的最小值为.
14.答案：（1），
（2），
解析：（1）因为，
令，则，所以，解得，
所以，当且仅当，即，时等号成立；
（2）由，得，
所以，
当且仅当，即，时等号成立.
15.答案：（1）日加工处理80吨时平均成本最低，处于亏损状态；
（2）选择方案二，日获利较多.
解析：（1）由题意可得，日加工处理每吨厨余垃圾的平均成本为，，
又，当且仅当，即时，等号成立，
所以每日处理厨余垃圾80吨时，平均成本最低，
又，所以此时处理厨余垃圾处于亏损状态；
（2）若该企业采用第一种补贴方案，设企业每日获利为元，
由题意可得，
因为，所以当时，企业每日获利最大，为1550元，
若该企业采用第二种补贴方案，设该企业每日获利为元，
由题意可得，
因为，所以当时，企业每日获利最大，为1800元，
显然，如果我是决策者，我会选择方案二，企业每日获利较大.
