2023-2024学年安徽省阜阳市太和县九年级第一学期月考数学试卷（12月份）
考试注意事项：
1、考生须诚信考试,遵守考场规则和考试纪律，并自觉服从监考教师和其他考试工作人员
管理；
2、监考教师发卷后，在试卷指定的地方填写本人准考证号、姓名等信息；考试中途考生不准以任何理由离开考场；
3、考生答卷用笔必须使用同一规格同一颜色的笔作答(作图可使用铅笔) ，不准用规定以外的笔答卷，不准在答卷上作任何标记。考生书写在答题卡规定区域外的答案无效。
4、考试开始信号发出后,考生方可开始作答。
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）
1．抛物线y＝﹣（x+1）2﹣2的顶点坐标是（ ）
A．（1，2） B．（1，﹣2） C．（﹣1，﹣2） D．（﹣1，2）
2．如图所示的圆形纸板被等分成10个扇形挂在墙上，玩飞镖游戏（每次飞镖均落在纸板上），则飞镖落在阴影区域的概率是（ ）
A． B． C． D．
3．已知⊙O的半径r＝3，PO＝，则点P与⊙O的位置关系是（ ）
A．点P在⊙O内 B．点P在⊙O上 C．点P在⊙O外 D．不能确定
4．下列事件中，属于必然事件的是（ ）
A．任意购买一张电影票，座位号是奇数
B．五个人分成四组，这四组中有一组必有两人
C．抛一枚质地均匀的硬币，正面朝上
D．打开手机就有未接电话
5．下列关于x的一元二次方程中，有两个不相等的实数根的方程是（ ）
A．x2+2＝0 B．2x2+3x+2＝0
C．4x2﹣12x+9＝0 D．3x2+5x﹣8＝0
6．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠C＝130°，则∠BOD的度数为（ ）
A．70° B．90° C．100° D．110°
7．下列图形是中心对称图形的有（ ）个
①正方形；②矩形；③等边三角形；④线段；⑤角；⑥平行四边形
A．5 B．4 C．3 D．2
8．已知点A（a，2）与点B（﹣3，b）关于原点对称，则a+b的值为（ ）
A．5 B．﹣5 C．1 D．﹣1
9．如图，AB与⊙O切于点B，OB＝3，C是OB上一点，连接AC并延长与⊙O交于点D，连接OD，∠A＝40°，∠D＝30°，则的长为（ ）
A． B．π C． D．
10．如图，△ABC内接于圆O，已知∠ACB＝90°，AC＝BC，顶点A，B，C恰好分别落在一组平行线中的三条直线上，若相邻两条平行线间的距离是1cm，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．cm2 B．cm2
C．cm2 D．cm2
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11．若把一个半径为5，圆心角为120°的扇形做成圆锥的侧面，则该圆锥的底面圆的半径为 ．
12．书架上有数学书3本，语文书2本，从中任意抽取一本是数学书的概率是 ．
13．如图，AB是⊙O的直径，点C是圆上一点，∠BAC＝75°，则∠OCB＝ ．
14．如图，在等边三角形ABC中，AB＝6，D是线段BC上一点，以AD为边在AD右侧作等边三角形ADE，连接CE．
（1）若CD＝2时，CE＝ ；
（2）设BD＝a，当△EDC的面积最大时，a＝ ．
三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15．解方程：2x2﹣2x﹣1＝0．
16．如图，⊙O的半径为5，AB为弦，OC⊥AB，交AB于点D，交⊙O于点C，CD＝2，求弦AB的长．
四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17．一个不透明的袋中装有20个只有颜色不同的球，其中5个黄球，8个黑球，7个红球．
（1）求从袋中摸出一个球是黄球的概率；
（2）现从袋中取出若干个黑球，搅匀后，使从袋中摸出一个球是黑球的概率是，求从袋中取出黑球的个数．
18．如图，在直角坐标系中，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，每个小正方形的顶点叫格点，△ABC和△DEF的顶点都在格点上，已知A点坐标为（﹣3，﹣2）结合所给的平面直角坐标系解答下列问题：
（1）画出△ABC向上平移4个单位长度后所得到的△A1B1C1，并写出点B1的坐标；
（2）画出△DEF绕点O按顺时针方向旋转90°后所得到的△D1E1F1，并写出点D1的坐标；
（3）判断△A1B1C1和△D1E1F1是否是关于某点成为中心对称的图形．若是，请直接写出对称中心的坐标；若不是，请说明理由．
五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19．某玩具厂计划生产一种玩具熊猫，每日最高产量为40只，且每日产出的产品全部售出．已知生产x只玩具熊猫的成本为R（元），售价每只为P（元），且R、P与x的关系式分别为R＝500+30x，P＝170﹣2x．
（1）当日产量为多少时，每日获得的利润为1750元？
（2）当日产量为多少时，可获得最大利润？最大利润是多少？
20．小明进行实心球训练，他尝试利用数学模型来研究实心球的运动情况，建立了如图所示的平面直角坐标系，实心球从y轴上的点A处出手，运动路径可看作抛物线，在点B处达到最高位置，落在x轴上的点C处．小明某次试投时的数据如图所示．
（1）根据图中信息，求出实心球路径所在抛物线的表达式．
（2）若实心球投掷距离（实心球落地点C与出手点A的水平距离OC的长度）不小于9.6m，成绩为满分，请通过计算，判断小明此次试投的成绩是否能达到满分．
六、（本题满分12分）
21．在一个不透明的口袋里装有颜色不同的红、白两种颜色的球共5只，某学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复，如表是活动进行中的一组统计数据：
摸球的次数n 100 150 200 500 800 1000
摸到白球的次数m 59 96 116 295 480 601
摸到白球的频率 0.59 0.64 0.58 0.59 0.605 0.601
（1）请估计：当n很大时，摸到白球的频率将会接近 ；（精确到0.1）
（2）试估算口袋中红球有多少只？
（3）请画树状图或列表计算：从中先摸出一球，不放回，再摸出一球，这两只球颜色不同的概率是多少？
七、（本题满分12分）
22．如图，把△ABC绕着顶点A逆时针旋转50°，得到△ADE，其中点B的对应点D恰好落在AC边上，点F，G分别是AC，AE上的点，AF＝AG，延长BF交DG于点H．
（1）求证：BF＝DG；
（2）求∠FHG的度数．
八、（本题满分14分）
23．如图，AB是⊙O的直径，点D在AB的延长线上，C、E是⊙O上的两点，且CE＝CB，∠BCD＝∠CAE，延长AE交BC的延长线于点F．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）求证：CE＝CF；
（3）若BD＝1，，求⊙O的半径．
参考答案
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）
1．抛物线y＝﹣（x+1）2﹣2的顶点坐标是（ ）
A．（1，2） B．（1，﹣2） C．（﹣1，﹣2） D．（﹣1，2）
解：∵抛物线的顶点式为：y＝﹣（x+1）2﹣2，
∴顶点坐标为：（﹣1，﹣2），
该题答案：C．
2．如图所示的圆形纸板被等分成10个扇形挂在墙上，玩飞镖游戏（每次飞镖均落在纸板上），则飞镖落在阴影区域的概率是（ ）
A． B． C． D．
解：圆形纸板被等分成10个扇形，飞镖落在每个扇形的概率是．
阴影部分有4个，所以飞镖落在阴影部分的概率为．
该题答案：D．
3．已知⊙O的半径r＝3，PO＝，则点P与⊙O的位置关系是（ ）
A．点P在⊙O内 B．点P在⊙O上 C．点P在⊙O外 D．不能确定
解：∵OP＝＞3，
∴点P与⊙O的位置关系是点在圆外．
该题答案：C．
4．下列事件中，属于必然事件的是（ ）
A．任意购买一张电影票，座位号是奇数
B．五个人分成四组，这四组中有一组必有两人
C．抛一枚质地均匀的硬币，正面朝上
D．打开手机就有未接电话
解：A、任意购买一张电影票，座位号是奇数是随机事件，不符合题意；
B、五个人分成四组，这四组中有一组必有两人是必然事件，符合题意；
C、抛一枚质地均匀的硬币，正面朝上是随机事件，不符合题意；
D、打开手机就有未接电话是随机事件，不符合题意；
该题答案：B．
5．下列关于x的一元二次方程中，有两个不相等的实数根的方程是（ ）
A．x2+2＝0 B．2x2+3x+2＝0
C．4x2﹣12x+9＝0 D．3x2+5x﹣8＝0
解：A、∵Δ＝b2﹣4ac＝02﹣4×1×2＝﹣8＜0，
∴此方程没有实数根，
故本选项不符合题意；
B、∵Δ＝b2﹣4ac＝32﹣4×2×2＝﹣7＜0，
∴此方程没有实数根，
故本选项不符合题意；
C、∵Δ＝b2﹣4ac＝（﹣12）2﹣4×4×9＝0，
∴此方程有两个相等的实数根，
故本选项不符合题意；
D、∵Δ＝b2﹣4ac＝52﹣4×3×（﹣8）＝121＞0，
∴此方程有两个不相等的实数根，
故本选项符合题意．
该题答案：D．
6．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠C＝130°，则∠BOD的度数为（ ）
A．70° B．90° C．100° D．110°
解：∵∠A+∠C＝180°，∠C＝130°，
∴∠A＝180°﹣130°＝50°，
∴∠BOD＝2∠A＝100°．
该题答案：C．
7．下列图形是中心对称图形的有（ ）个
①正方形；②矩形；③等边三角形；④线段；⑤角；⑥平行四边形
A．5 B．4 C．3 D．2
解：①正方形；②矩形；④线段；⑥平行四边形是中心对称图形，共4个；
该题答案：B．
8．已知点A（a，2）与点B（﹣3，b）关于原点对称，则a+b的值为（ ）
A．5 B．﹣5 C．1 D．﹣1
解：∵点A（a，2）与点B（﹣3，b）关于原点对称，
∴a＝﹣（﹣3）＝3，b＝﹣2，
∴a+b＝3+（﹣2）＝1．
该题答案：C．
9．如图，AB与⊙O切于点B，OB＝3，C是OB上一点，连接AC并延长与⊙O交于点D，连接OD，∠A＝40°，∠D＝30°，则的长为（ ）
A． B．π C． D．
解：∵AB与⊙O切于点B，
∴∠ABO＝90°，
∵∠A＝40°，
∴∠ACB＝50°，
∴∠OCD＝∠ACB＝50°，
∵∠D＝30°，
∴∠DOB＝180°﹣30°﹣50°＝100°，
∴的长＝＝，
该题答案：C．
10．如图，△ABC内接于圆O，已知∠ACB＝90°，AC＝BC，顶点A，B，C恰好分别落在一组平行线中的三条直线上，若相邻两条平行线间的距离是1cm，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．cm2 B．cm2
C．cm2 D．cm2
解：过点C作CD⊥AF，垂足为D，延长DC交BG于点E，
∴∠ADC＝90°，
∵AF∥BG，
∴∠BEC＝180°﹣∠ADC＝90°，
∴∠ACD+∠DAC＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠DCA+∠BCE＝180°﹣∠ACB＝90°，
∴∠DAC＝∠BCE，
由题意得：DC＝3cm，CE＝4cm，
∵∠ADC＝∠BEC＝90°，AC＝BC，
∴△CBE≌△ACD（AAS），
∴CE＝AD＝4cm，
∴BC＝AC＝＝＝5（cm），
∴AB＝＝＝5（cm），
∴图中阴影部分的面积＝π （）2﹣△ABC的面积
＝π×（）2﹣AC BC
＝π﹣×5×5
＝（cm2），
该题答案：C．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11．若把一个半径为5，圆心角为120°的扇形做成圆锥的侧面，则该圆锥的底面圆的半径为 ．
解：设圆锥的底面圆的半径为r，
根据题意得2π r＝，
解得r＝，
即这个圆锥的底面圆的半径为．
答案：．
12．书架上有数学书3本，语文书2本，从中任意抽取一本是数学书的概率是 ．
解：从中任意抽取一本是数学书的概率＝＝．
答案：．
13．如图，AB是⊙O的直径，点C是圆上一点，∠BAC＝75°，则∠OCB＝ ．
解：∵⊙O是△ABC的外接圆，∠BAC＝70°，
∴∠BOC＝2∠BAC＝2×75°＝150°，
∵OC＝OB（都是半径），
∴∠OCB＝∠OBC＝（180°﹣∠BOC）＝15°．
答案：15°．
14．如图，在等边三角形ABC中，AB＝6，D是线段BC上一点，以AD为边在AD右侧作等边三角形ADE，连接CE．
（1）若CD＝2时，CE＝ ；
（2）设BD＝a，当△EDC的面积最大时，a＝ ．
解：（1）∵△ADE与△ABC都是等边三角形，
∴AC＝AB＝6，AE＝AD，∠DAE＝∠BAC＝60°．
∴∠DAE﹣∠CAD＝∠BAC﹣∠CAD，
即∠CAE＝∠BAD．
在△CAE和△BAD中，
，
∴△CAE≌△BAD（SAS）．
∴CE＝BD，
∵CD＝2，
∴BD＝BC﹣CD＝6﹣2＝4，
∴CE＝4，
答案：4；
（2）过E作EF⊥BC于F，如图所示：
则∠EFC＝90°，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC＝∠ACB＝60°，
由（1）得：△CAE≌△BAD，
∴CE＝BD＝a，∠ACE＝∠ABD＝60°，
∴CD＝6﹣a，∠ECF＝180°﹣60°﹣60°＝60°，
∴∠CEF＝90°﹣60°＝30°，
∴CF＝CE＝a，EF＝CF＝a，
∴△EDC的面积＝CD×EF＝（6﹣a）×a＝a（6﹣a）＝﹣（a﹣3）2+，
∴当a＝3时，△EDC的面积最大＝，
答案：3．
三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15．解方程：2x2﹣2x﹣1＝0．
【解答】解法一：原式可以变形为，
，
，
∴，
∴，．
解法二：a＝2，b＝﹣2，c＝﹣1，
∴b2﹣4ac＝12，
∴x＝＝，
∴x1＝，x2＝．
16．如图，⊙O的半径为5，AB为弦，OC⊥AB，交AB于点D，交⊙O于点C，CD＝2，求弦AB的长．
解：∵⊙O的半径为5，
∴OA＝OC＝5，
∵CD＝2，
∴OD＝5﹣2＝3，
∵OC⊥AB，OC过O，
∴AB＝2AD，∠ODA＝90°，
在Rt△ODA中，由勾股定理得：AD＝＝＝4，
∴AB＝2AD＝8．
四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17．一个不透明的袋中装有20个只有颜色不同的球，其中5个黄球，8个黑球，7个红球．
（1）求从袋中摸出一个球是黄球的概率；
（2）现从袋中取出若干个黑球，搅匀后，使从袋中摸出一个球是黑球的概率是，求从袋中取出黑球的个数．
解：（1）∵一个不透明的袋中装有20个只有颜色不同的球，其中5个黄球，8个黑球，7个红球，
∴从袋中摸出一个球是黄球的概率为：＝；
（2）设从袋中取出x个黑球，
根据题意得：＝，
解得：x＝2，
经检验，x＝2是原分式方程的解，
所以从袋中取出黑球的个数为2个．
18．如图，在直角坐标系中，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，每个小正方形的顶点叫格点，△ABC和△DEF的顶点都在格点上，已知A点坐标为（﹣3，﹣2）结合所给的平面直角坐标系解答下列问题：
（1）画出△ABC向上平移4个单位长度后所得到的△A1B1C1，并写出点B1的坐标；
（2）画出△DEF绕点O按顺时针方向旋转90°后所得到的△D1E1F1，并写出点D1的坐标；
（3）判断△A1B1C1和△D1E1F1是否是关于某点成为中心对称的图形．若是，请直接写出对称中心的坐标；若不是，请说明理由．
解：（1）如图，△A1B1C1为所作，B1的坐标为（﹣4，1）；
（2）如图，△D1E1F1为所作，D1的坐标为（2，﹣3）；
（3）△A1B1C1和△D1E1F1是关于点（﹣1，﹣1）成为中心对称的图形．
五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19．某玩具厂计划生产一种玩具熊猫，每日最高产量为40只，且每日产出的产品全部售出．已知生产x只玩具熊猫的成本为R（元），售价每只为P（元），且R、P与x的关系式分别为R＝500+30x，P＝170﹣2x．
（1）当日产量为多少时，每日获得的利润为1750元？
（2）当日产量为多少时，可获得最大利润？最大利润是多少？
解：（1）∵生产x只玩具熊猫的成本为R（元），售价每只为P（元），且R，P与x的关系式分别为R＝500+30x，P＝170﹣2x，
∴（170﹣2x）x﹣（500+30x）＝1750，
解得 x1＝25，x2＝45（大于每日最高产量为40只，舍去）．
（2）设每天所获利润为W，
由题意得，W＝（170﹣2x）x﹣（500+30x）
＝﹣2x2+140x﹣500
＝﹣2（x2﹣70x）﹣500
＝﹣2（x2﹣70x+352﹣352）﹣500
＝﹣2（x2﹣70x+352）+2×352﹣500
＝﹣2（x﹣35）2+1950．
当x＝35时，W有最大值1950元．
答：当日产量为25只时，每日获得利润为1750元；要想获得最大利润，每天必须生产35个工艺品，最大利润为1950．
20．小明进行实心球训练，他尝试利用数学模型来研究实心球的运动情况，建立了如图所示的平面直角坐标系，实心球从y轴上的点A处出手，运动路径可看作抛物线，在点B处达到最高位置，落在x轴上的点C处．小明某次试投时的数据如图所示．
（1）根据图中信息，求出实心球路径所在抛物线的表达式．
（2）若实心球投掷距离（实心球落地点C与出手点A的水平距离OC的长度）不小于9.6m，成绩为满分，请通过计算，判断小明此次试投的成绩是否能达到满分．
解：（1）依题意，抛物线的顶点B的坐标为（4，3.6），点A的坐标为（0，2）．
设该抛物线的表达式为y＝a（x﹣4）2+3.6，
∵抛物线过点A（0，2），
∴a（0﹣4）2+3.6＝2，
解得a＝﹣0.1，
∴该抛物线的表达式为y＝﹣0.1（x﹣4）2+3.6；
（2）令y＝0，得﹣0.1（x﹣4）2+3.6＝0，
解得x1＝10，x2＝﹣2（C在x轴正半轴，故舍去），
∴点C的坐标为（10，0），
∴OC＝10＞9.6，
∴小明此次试投的成绩能达到满分．
六、（本题满分12分）
21．在一个不透明的口袋里装有颜色不同的红、白两种颜色的球共5只，某学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复，如表是活动进行中的一组统计数据：
摸球的次数n 100 150 200 500 800 1000
摸到白球的次数m 59 96 116 295 480 601
摸到白球的频率 0.59 0.64 0.58 0.59 0.605 0.601
（1）请估计：当n很大时，摸到白球的频率将会接近 ；（精确到0.1）
（2）试估算口袋中红球有多少只？
（3）请画树状图或列表计算：从中先摸出一球，不放回，再摸出一球，这两只球颜色不同的概率是多少？
解：（1）当n很大时，摸到白球的频率将会接近0.6；
答案：0.6；
（2）由（1）摸到白球的概率为0.6，则摸到红球的概率为1﹣0.6＝0.4，所以可估计口袋中红球的个数为：5×0.4＝2（只）；
（3）画树状图为：
共有20种等可能的结果数，其中两只球颜色不同占12种，
所以两只球颜色不同的概率＝＝．
七、（本题满分12分）
22．如图，把△ABC绕着顶点A逆时针旋转50°，得到△ADE，其中点B的对应点D恰好落在AC边上，点F，G分别是AC，AE上的点，AF＝AG，延长BF交DG于点H．
（1）求证：BF＝DG；
（2）求∠FHG的度数．
【解答】证明（1）：由题意得：
△ABC≌△ADE，
∴∠BAF＝∠DAG，AB＝AD；
在△ABF与△ADG中，
，
∴△ABF≌△ADG（SAS），
∴BF＝DG．
（2）∵△ABF≌△ADG，
∴∠ABF＝∠ADG，
∴∠ABF+∠AGH＝∠ADG+∠AGH；
由题意得：∠BAF＝∠DAG＝50°，
∴∠ABF+∠AGH＝∠ADG+∠AGH
＝180°﹣50°＝130°，
∴∠FHG＝∠BHG＝360°﹣130°﹣100°
＝130°．
八、（本题满分14分）
23．如图，AB是⊙O的直径，点D在AB的延长线上，C、E是⊙O上的两点，且CE＝CB，∠BCD＝∠CAE，延长AE交BC的延长线于点F．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）求证：CE＝CF；
（3）若BD＝1，，求⊙O的半径．
【解答】（1）证明：连接OC，如图所示，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠CAD+∠ABC＝90°，
∵CE＝CB，
∴∠CAE＝∠CAB，
∵∠BCD＝∠CAE，
∴∠CAB＝∠BCD，
∵OB＝OC，
∴∠OBC＝∠OCB，
∴∠OCB+∠BCD＝90°，
∴∠OCD＝90°，
∵OC为圆的半径，
∴CD是⊙O的切线；
（2）证明：∵∠BAC＝∠CAE，∠ACB＝∠ACF＝90°，AC＝AC，
∴△ABC≌△AFC（ASA），
∴CB＝CF，
又∵CB＝CE，
∴CE＝CF；
（3）解：∵∠BCD＝∠CAD，∠ADC＝∠CDB，
∴△DCB∽△DAC，
∴，
∴，
∴AD＝2，
∴AB＝AD﹣BD＝2﹣1＝1，
∴⊙O的半径为0.5．
