第二十四章《圆》单元测试卷（解析版）
一、选择题：本题共10题，每题3分，共30分．每小题只有一个选项符合题目要求．
1．有下列五个命题：
半圆是弧，弧是半圆；周长相等的两个圆是等圆；半径相等的两个半圆是等弧；
直径是圆的对称轴；直径平分弦与弦所对的弧．其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【分析】根据弧的定义，可知半圆是弧，而弧不一定是半圆，即可判断错误；根据圆的周长计算公式：C=2πr可得，周长相等，则半径相等，两圆是等圆，即可判断正确；根据半径相等的两个半圆是等弧，即可判断正确；根据对称轴是直线，而直径是线段，即可判断错误；根据垂直于弦的直径平分弦并且平分弦所对的弧，即可判断错误．
【详解】解：半圆是弧，而弧不一定是半圆，故该命题错误；
周长相等，则半径相等，两圆是等圆，故该命题正确；
半径相等的两个半圆是等弧，故该命题正确；
对称轴是直线，而直径是线段，故该命题错误；
垂直于弦的直径平分弦与弦所对的弧，故该命题错误．
综上可得：命题、正确．
故选：B
2．如图，点在上，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据圆周角定理即可求解．
【详解】解：∵，，
∴，
故选：B．
3．如图，的半径为5，为弦，半径，垂足为点，若，则的长是（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
【答案】C
【分析】本题考查的是垂径定理．连接，根据勾股定理求出的长，进而可得出结论．
【详解】解：连接，
，，，
，
．
故选：C．
4 . 如图，是的直径，点C在上，且，过点C的弦于线段相交于点E，
连接．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，圆周角定理，熟练掌握圆周角是解题的关键．连接，根据题中的角度关系证明，求出，根据圆周角定理即可得到答案．
【详解】解：连接，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
故选：C．
某公园中央地上有一个大理石球，小明想测量球的半径，于是找了两块厚的砖塞在球的两侧
（如图所示），并量得两砖之间的距离刚好是，则大理石球的半径是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】该题主要考查了垂径定理、勾股定理及其应用问题；解题的方法是作辅助线，构造直角三角形；解题的关键是灵活运用垂径定理、勾股定理来分析、判断、解答．
如图，作辅助线；首先根据题意求出线段的长度；设圆的半径为r，运用勾股定理列出关于r的方程，求出r，即可解决问题．
【详解】解：如图，连接交于点D；
则，
设的半径为r，则，
在直角中，，
由勾股定理得
解得：．
故选：D．
6．如图，点B，C，D在上，若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查圆内接四边形，圆周角定理，在上取一点A，连接，根据圆内接四边形的对角互补，结合圆周角定理，进行求解即可．
【详解】解：如图，在上取一点A，连接，
∵四边形是圆内接四边形，
∴．
∵，
∴，
∴．
故选：A．
7 .如图，在中，，是上的一点，以为直径的与相切于点，
连接、，若，，则的长度是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查的是含30度角的直角三角形的性质，切线的性质．先连接，证明，，再进一步解答即可．
【详解】解：如图，连接，
切圆于，
于，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
．
故选：B．
8．如图，正六边形内接于，，则的长为（ ）
A．2 B． C．1 D．
【答案】C
【分析】本题考查了正六边形的性质，等边三角形的判定和性质，由正六边形的性质得到，得到为等边三角形，进而得到，判断出为等边三角形是解题的关键．
【详解】解： ∵是正六边形，
∴，
∵，
∴为等边三角形，
∴，
故选：C．
如图，正方形的边长为2，为对角线的交点，点，分别为，的中点．
以为圆心，为半径作圆弧，再分别以，为圆心，为半径作圆弧，，
则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了正方形的性质，扇形面积的计算．连接，根据在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧，所对的弦分别相等，利用面积割补法可得阴影部分的面积等于弓形面积，即等于扇形面积减去直角三角形的面积之差．
【详解】解：连接，，如图，
正方形的边长为2，为对角线的交点，
由题意可得：，经过点，且，．
点，分别为，的中点，
，
，．
以为弦的两个弓形面积相等．
．
故选：C
10 .如图，的半径为2，圆心的坐标为，
点是上的任意一点，，且、与轴分别交于、两点，
若点、点关于原点对称，则的最小值为（ ）
A. 3 B. 4 C. 6 D. 8
【答案】C
【解析】
【详解】分析：连接OP．由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，得到OP=AB，当OP最短时，AB最短．连接OM交⊙M于点P，则此时OP最短，且OP=OM－PM，计算即可得到结论．
详解：连接OP．
∵PA⊥PB，OA=OB，∴OP=AB，当OP最短时，AB最短．
连接OM交⊙M于点P，则此时OP最短，且OP=OM－PM==3，
∴AB的最小值为2OP=6．故选C．
二、填空题：本大题共8个小题．每小题3分，共24分．把答案填在题中横线上．
11 .《墨经》是中国古籍中最早讨论滑轮力学的著作，如图所示是书中记载的一个滑轮机械，
称为“绳制”，若图中的定滑轮半径为，滑轮旋转了，
则重物“甲”上升了 （绳索粗细不计，且与滑轮之间无滑动，结果保留）
【答案】
【分析】本题考查弧长的计算，根据弧长的计算方法，计算弧长即可．
【详解】由题意得，重物上升的距离是半径为，圆心角为所对应的弧长．
即：
故答案为：．
12．如图，圆拱桥的拱顶到水面的距离CD为9m，水面宽AB为6m，则桥拱半径OC为 m．
【答案】5
【分析】连接OA，根据垂径定理求出AD．在Rt△AOD中，根据勾股定理列式计算即可．
【详解】连接OA．
∵OD⊥AB，∴ADAB=3．在Rt△AOD中，OA2=OD2+AD2，即OC2=（9﹣OC）2+32，解得：OC=5．
故答案为5．
如图，在中，是边上的一点，以为直径的经过点，且是的切线．
若半径，，则的长为 ．
【答案】
【分析】本题考查了切线的性质—“圆的切线垂直于经过切点的半径”，也考查了圆周角定理和勾股定理．掌握切线的性质和圆周角定理是解本题的关键．
连接，如图，先根据切线的性质得到，则可计算出，再判断为等边三角形得到，接着利用圆周角定理得到，然后根据勾股定理计算的长．
【详解】解：连接，如图，
是的切线，
，
，
，
，
，
为等边三角形，
，
为直径，
，
．
故答案为：．
如图，用一个半径为，弧长为的扇形铁皮制作一个无底的圆锥，
则圆锥的高 ．
【答案】8
【分析】本题考查的是圆锥的计算，正确理解圆锥的底面圆周长是扇形的弧长是解题的关键，根据圆的周长公式求出圆锥的底面半径，再根据勾股定理计算，得到答案．
【详解】解：∵弧长为，
∴圆锥的底面周长为，
∵圆锥的底面半径为，
则圆锥的高，
故答案为∶8．
如图，为半圆的直径，且，半圆绕点B顺时针旋转，点A旋转到点的位置，
则图中的阴影部分的面积为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了扇形的面积的计算，根据“阴影部分的面积=扇形的面积+以为直径的半圆的面积 -以为直径的半圆的面积=扇形的面积”即可求解．
【详解】解：由旋转的性质得，，
故答案为：．
如图，平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于点，，
以第一象限内点C为圆心半径为2的圆经过A、B两点，则点C的坐标为 ．
【答案】
【分析】过点C分别作于点D，轴于点E，先根据二次函数求出A、B两点的坐标，再进一步求出线段的长，利用垂径定理与勾股定理求出的长，即点C的纵坐标，再证明的长，即点C的横坐标．
【详解】解：过点C作于点D，轴于点E，连接，如图所示，
∵二次函数的图象与x轴交于点A，B，
∴由得， ，，
∴A、B两点的坐标分别为，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
在中， ，
∴点C的纵坐标为 ，
∵轴，，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，
∴点C的横坐标为2，
∴点C的坐标为，
故答案为：．
17．如图，已知、是的两条弦，且，，，分别连接、并延长，两线相交于点，若，则的半径为 ．
【答案】
【分析】本题考查了圆周角定理，勾股定理和含角的直角三角形的性质．连接，根据，可知为直径，所以，根据，得，，所以，再根据勾股定理得，即可求出答案．
【详解】解：如图，连接，
，
为直径，
，
，，，
，，则，
，
在中，，
，
，
的半径为．
故答案为：．
如图，在平面直角坐标系xOy中，以原点O为圆心的圆过点A（5，0），
直线y=kx-2k+3（k≠0）与⊙O交于B、C两点，则弦BC的长的最小值为 ．
【答案】
【分析】易知直线y=kx-2k+3过定点D（2，3），运用勾股定理可求出OD，由条件可求出半径OB，由于过圆内定点D的所有弦中，与OD垂直的弦最短，因此只需运用垂径定理及勾股定理就可解决问题．
【详解】解：对于直线y=kx-2k+3=k（x-2）+3，
当x=2时，y=3，
故直线y=kx-3k+4恒经过点（2，3），记为点D．
过点D作DH⊥x轴于点H，
则有OH=2，DH=3，OD==．
∵点A（5，0），
∴OA=5，
∴OB=OA=5．
由于过圆内定点D的所有弦中，与OD垂直的弦最短，
因此运用垂径定理及勾股定理可得：
BC的最小值为2BD=2=2×．
故答案为．
三、解答题：（本大题共6个小题，共46分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．如图，内接于.，D是上任一点，.求证：DA平分.
【答案】详见解析
【分析】根据同弧所对的圆周角相等可得∠ADC=∠ABC，由得∠ACB=∠ABC，等量代换得∠ADC=∠ACB，再由已知可得∠ADC=∠ADE，即DA平分．
【详解】证明：，
.
，
.
，
，
即DA平分.
20．如图，是的直径，是的一条弦，且于，连接、、．
求证：．
【解答】证明：是的直径，，
，
，
又，
．
．
21．如图，AB是⊙O的直径，C是的中点，CE⊥AB于 E，BD交CE于点F．
（1）求证：CF﹦BF；
（2）若CD﹦6， AC﹦8，则⊙O的半径和CE的长．
【答案】（1）见解析
（2）5 ，
【分析】（1）要证明CF=BF，可以证明∠ECB=∠DBC；AB是⊙O的直径，则∠ACB=90°，又知CE⊥AB，则∠CEB=90°，根据同角的余角相等证出∠ECB=∠A，再根据同圆中，等弧所对的圆周角相等证出∠DBC=∠A，从而证出∠ECB=∠DBC；
（2）在直角三角形ACB中，AB2=AC2+BC2，又知，BC=CD，所以可以求得AB的长，即可求得圆的半径；再根据三角形面积求得CE的长．
【详解】（1）证明：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠A=90°-∠ABC．
∵CE⊥AB，
∴∠CEB=90°，
∴∠ECB=90°-∠ABC，
∴∠ECB=∠A．
又∵C是的中点,
∴
∴∠DBC=∠A，
∴∠ECB=∠DBC，
∴CF=BF；
（2）解：∵
∴BC=CD=6，
∵∠ACB=90°，
∴⊙O的半径为5，
22 .如图，直角三角形中，，点为上一点，以为直径的上一点在上，
且平分．
(1)证明：是的切线；
(2)，，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)8
【分析】本题考查了切线的判定、勾股定理等知识，熟练掌握切线的判定定理、勾股定理是解题的关键．
（1）连接，根据平行线判定推出，推出，根据切线的判定推出即可；
（2）根据勾股定理求出，再根据线段的和差求解即可．
【详解】（1）证明：连接，
，
，
平分，
，
，
∴，
，
，
，
，
为半径，
是切线；
（2）解：设，
在中，，，
，
由勾股定理，得：，
解得：，
，
．
如图，为的直径，为线段延长线上一点，为的切线，为切点，
连接，，．．
（1）求的度数；
（2）求证：；
（3）已知的半径为6，求图中阴影部分的面积．（结果保留
【解答】（1）解：为的切线，
，
，
由圆周角定理得，；
（2）证明：在中，，
，
，
；
（3）解：在中，，
图中阴影部分的面积．
24．如图，在△ABC中，AB=AC．
(1) 如图1，若O为AB的中点，以O为圆心，OB为半径作⊙O交BC于点D，过D作DE⊥AC，垂足为E．
① 试说明：BD=CD；
② 判断直线DE与⊙O的位置关系，并说明理由．
如图2，若点O沿OB向点B移动，以O为圆心，以OB为半径作⊙O与AC相切于点F，
与AB相交于点G，与BC相交于点D，DE⊥AC，垂足为E，已知⊙O的半径长为4，CE=2，
求切线AF的长．
【答案】(1)①证明见解析；②直线DE与⊙O相切，理由见解析；(2)AF=3．
【分析】（1）①连接AD，已知AB是⊙O的直径，根据直径所对的圆周角是直角即可得∠ADB=90°，即AD⊥BC；再由等腰三角形三线合一的性质即可证得结论；（2）直线DE与⊙O相切，连接OD，已知AB=AC、OB=OD，根据等腰三角形的性质可得∠ODB=∠B=∠C，即可判定OD∥BC，由DE⊥AC可得DE⊥OD，由此即可判定DE与⊙O相切；（2）根据已知条件易证四边形ODEF是矩形，即可得OD=EF=4；设AF=x，则AB=AC=x+6，AO =x+2，在Rt△AOF中，利用勾股定理列出方程（x+2）2=x2+42，解方程求得x的值，即可求得AF的长.
【详解】(1)①连接AD，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，即AD⊥BC，
∵AB=AC，AD⊥BC，
∴BD=CD；
②直线DE与⊙O相切，
理由：连接OD，
∵AB=AC，OB=OD，
∴∠ODB=∠B=∠C，
∴OD∥BC，
∵DE⊥AC，
∴DE⊥OD，
∴DE与⊙O相切；
(2)由(1)同理得，DE与⊙O相切，
连接OF，
∵EF与⊙O相切，DE⊥AC，
∴∠ODE=∠OFE=∠EDF=90°，即四边形ODEF是矩形，
∴OD=EF=4，
设AF=x，则AB=AC=x+6，AO=x+6﹣4=x+2，
在Rt△AOF中，
（x+2）2=x2+42，
解得，x=3，
即AF=3．
精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "()
" ()
第二十四章《圆》单元测试卷
一、选择题：本题共10题，每题3分，共30分．每小题只有一个选项符合题目要求．
1．有下列五个命题：
半圆是弧，弧是半圆；周长相等的两个圆是等圆；半径相等的两个半圆是等弧；
直径是圆的对称轴；直径平分弦与弦所对的弧．其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．如图，点在上，，则（ ）
A． B． C． D．
3．如图，的半径为5，为弦，半径，垂足为点，若，则的长是（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
4 . 如图，是的直径，点C在上，且，过点C的弦于线段相交于点E，
连接．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
某公园中央地上有一个大理石球，小明想测量球的半径，于是找了两块厚的砖塞在球的两侧
（如图所示），并量得两砖之间的距离刚好是，则大理石球的半径是（ ）
A． B． C． D．
6．如图，点B，C，D在上，若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
如图，在中，，是上的一点，以为直径的与相切于点，
连接、，若，，则的长度是（ ）
A． B． C． D．
8．如图，正六边形内接于，，则的长为（ ）
A．2 B． C．1 D．
如图，正方形的边长为2，为对角线的交点，点，分别为，的中点．
以为圆心，为半径作圆弧，再分别以，为圆心，为半径作圆弧，，
则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
10 .如图，的半径为2，圆心的坐标为，
点是上的任意一点，，且、与轴分别交于、两点，
若点、点关于原点对称，则的最小值为（ ）
A. 3 B. 4 C. 6 D. 8
二、填空题：本大题共8个小题．每小题3分，共24分．把答案填在题中横线上．
11 .《墨经》是中国古籍中最早讨论滑轮力学的著作，如图所示是书中记载的一个滑轮机械，
称为“绳制”，若图中的定滑轮半径为，滑轮旋转了，
则重物“甲”上升了 （绳索粗细不计，且与滑轮之间无滑动，结果保留）
12．如图，圆拱桥的拱顶到水面的距离CD为9m，水面宽AB为6m，则桥拱半径OC为 m．
如图，在中，是边上的一点，以为直径的经过点，且是的切线．
若半径，，则的长为 ．
如图，用一个半径为，弧长为的扇形铁皮制作一个无底的圆锥，
则圆锥的高 ．
如图，为半圆的直径，且，半圆绕点B顺时针旋转，点A旋转到点的位置，
则图中的阴影部分的面积为 ．
如图，平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于点，，
以第一象限内点C为圆心半径为2的圆经过A、B两点，则点C的坐标为 ．
17．如图，已知、是的两条弦，且，，，分别连接、并延长，两线相交于点，若，则的半径为 ．
如图，在平面直角坐标系xOy中，以原点O为圆心的圆过点A（5，0），
直线y=kx-2k+3（k≠0）与⊙O交于B、C两点，则弦BC的长的最小值为 ．
三、解答题：（本大题共6个小题，共46分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．如图，内接于.，D是上任一点，.求证：DA平分.
20．如图，是的直径，是的一条弦，且于，连接、、．
求证：．
21．如图，AB是⊙O的直径，C是的中点，CE⊥AB于 E，BD交CE于点F．
（1）求证：CF﹦BF；
（2）若CD﹦6， AC﹦8，则⊙O的半径和CE的长．
22 .如图，直角三角形中，，点为上一点，以为直径的上一点在上，
且平分．
(1)证明：是的切线；
(2)，，求的长．
如图，为的直径，为线段延长线上一点，为的切线，为切点，
连接，，．．
（1）求的度数；
（2）求证：；
（3）已知的半径为6，求图中阴影部分的面积．（结果保留
24．如图，在△ABC中，AB=AC．
(1) 如图1，若O为AB的中点，以O为圆心，OB为半径作⊙O交BC于点D，过D作DE⊥AC，垂足为E．
① 试说明：BD=CD；
② 判断直线DE与⊙O的位置关系，并说明理由．
如图2，若点O沿OB向点B移动，以O为圆心，以OB为半径作⊙O与AC相切于点F，
与AB相交于点G，与BC相交于点D，DE⊥AC，垂足为E，已知⊙O的半径长为4，CE=2，
求切线AF的长．
精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "()
" ()
