第十四单元 二次函数综合题的解决方法
专题一 抛物线与线段关系
核心考点一 线段的大小比较
01.如图, 抛物线 与x轴交于A(-1, 0) , B(3, 0) 两点, 与y轴交于点C. 有一宽度为1的直尺平行于y轴，在点O，B之间平行移动，直尺两长边被线段BC和抛物线截得两线段DE，FG. 设点D的横坐标为t ，且( , 试比较线段 DE 与 FG的大小.
核心考点二 化斜为直
02. 如图, 抛物线 与x轴交于A(3, 0), B(8, 0) 两点, 与y轴交于点 C，直线 经过点B. 点P 在抛物线上，设点 P的横坐标为m. 若点 P 在直线BC上方的抛物线上，过点P作. 垂足为Q，求 的最大值.
专题二 抛物线与点线距离
核心考点一 点到直线的距离相等与平行转化，再分类讨论
01.如图, 抛物线 交x轴于A，B两点(A在B的左边) ，C是第一象限抛物线上一点，直线AC交y轴于点P. 当( 1时，在抛物线上存在点D(异于点B)，使B，D两点到AC的距离相等，求出所有满足条件的点D的横坐标.
核心考点二 化斜为直与配方求最值
02. 如图, 抛物线. 与x轴交于A和B两点，与y轴交于点C，连接AC，作直线BC. 将直线BC向下平移. 个单位长度，交抛物线于 B'，C'两点. 在直线 上方的抛物线上是否存在定点D，无论m取何值时，都是点D到直线 的距离最大 若存在，请求出点D的坐标； 若不存在，请说明理由.
专题三 抛物线与平行四边形
01.如图, 抛物线 与.x轴交于点A,B, 与y轴交于点C, 连接AC, BC. P是x轴上任意一点. 点Q在抛物线上，若以点A，C，P，Q为顶点，AC为一边的四边形为平行四边形时，求点Q的坐标.
02. 抛物线 交x轴于A，B两点(A在B的左边) ，平行四边形ACDE的顶点C在y轴的正半轴上，顶点E在y轴右侧的抛物线上.
(1) 如图1, 若点C的坐标是 (0, 3) , 点E的横坐标是 直接写出点A，D的坐标；
(2) 如图2，若点D在抛物线上，且平行四边形ACDE的面积是 12，求点E的坐标.
专题四 抛物线与矩形、菱形、正方形
核心考点一 抛物线与正方形
01如图, 点A在y轴正半轴上. 正方形ABCD的顶点 B, D在二次函数. 的图象上，点B，D在y轴的同侧，且点B在点D的左侧，设点B，D的横坐标分别为m，n，试探究n-m是否为定值. 如果是，求出这个值； 如果不是，请说明理由.
核心考点二 抛物线与菱形
02.如图, 点A在y轴正半轴上. 菱形ABCD的顶点B, C, D在二次函数. 的图象上, 且. 轴，求菱形的边长；
核心考点三 抛物线与矩形
03.如图, 抛物线 交x轴于A，B两点，交y轴于点C. P是x轴上方抛物线上的一个动点. 在平面直角坐标系内是否存在点Q，使得以B，C，P，Q为顶点的四边形是矩形 若存在，请求出点Q的坐标； 若不存在，请说明理由.
专题五 抛物线与面积——割补法与铅垂法、平行转化法
核心考点一 重叠面积的处理——同时加或减重叠面积
01. 如图, 抛物线 交x轴于A，B两点(点A在点B左侧)，交y轴于点C，D为抛物线上第四象限的动点，直线AD交BC于点 P，连接AC，BD，设 和 的面积分别为 和 当 的值最小时，求直线AD的解析式.
核心考点二 铅垂法 (宽高公式) 法
02.如图, 抛物线的顶点在原点, 且点C (2, 1) 在此抛物线上, 直线. 与抛物线交于A，B两点(点C在直线AB下方)，若 求m的值.
核心考点三 平行转化 (拉窗帘) 法
03. 如图, 已知抛物线 经过点A(2，1) ，B为y轴右侧抛物线上一点. 若 的面积为6，求点B的坐标.
04.如图, 抛物线 与x轴交于A, B两点, 与y轴交于点C(0, 6),D为线段BC上的一动点，过动点 D作 交抛物线第一象限部分于点P，连接PA，PB，记 与 的面积和为S. 当S取得最大值时，求点P的坐标，并求出此时S的最大值.
核心考点四 铅锤法 (宽高公式) 与含参计算
05. 如图, 抛物线 交x轴于A，B两点(点A在点B的左边)，交y轴正半轴于点C，点P在抛物线上，平面上有两点. 求 的面积的最小值.
06. 如图, 抛物线 与x轴交于点A，B，直线l与抛物线有且只有一个公共点E，l与抛物线对称轴交于点F，若 的面积为 求点E的坐标.
专题六 抛物线与全等及全等构造
01.如图, 过定点的直线: 与抛物线. 交于A, B两点, 直线. 与抛物线交于点E，F， 轴, 点G, H在直线. 上， 当. 时，求k的值.
02如图, 点A在抛物线. (对称轴l右侧)上，点B在对称轴l上， 是以OB为斜边的等腰直角三角形，求点A的坐标.
专题七 抛物线与相似及相似构造 ( 1)——线段比
核心考点一 线段最值
01.如图, 抛物线 与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，P是直线AC上方的抛物线上一点，连接BP交AC于点D.当 )的值最大时，求点 P 的坐标及 的最大值.
02. 如图, 抛物线 分别交x轴于点A，B，交y轴于点C，点G为y轴负半轴上的一动点，过点 G作 直线EF与抛物线交于点E，F，与直线. 交于点H, 若 求点 G 的坐标.
专题八 抛物线与相似及相似构造 (2)——特殊角
核心考点一 由特殊角构造一线三等角型相似
01.如图, 抛物线 与x轴交于A(3, 0), B(8, 0)两点, 与y轴交于点C, 点P在抛物线上, 设点P的横坐标为m. 连接AC, AP, PC, 若 是以CP 为斜边的直角三角形，求点 P的坐标.
核心考点二 由特殊三角函数值(特殊角) 构造一线三等角型相似
02. 如图, 抛物线. 交x轴于A，B两点(点A在点B的左边) ，交y轴正半轴于点C，点P在抛物线上，若 求点 P的横坐标.
专题九 抛物线与相似及相似构造 (3) ——妙用三角函数
核心考点一 利用等角构造对称型相似
01.如图, 已知抛物线 与x轴交于A，B两点(点A在点B的左边) ，与y轴交于点C，点E为抛物线上x轴下方一动点，点F在x轴上方的抛物线上，EF交x轴于 G，且 轴于M，求 的值.
核心考点二 利用内心构造对称型相似
02.如图, 抛物线. 与x轴交于点A, B, 直线. 与抛物线交于点C，D，若 的内心落在x轴上，求k的值.
专题十 抛物线与相似及相似构造 (4) ——定角与角度转化
核心考点一 利用三角函数构造直角得相似与参数计算
01.如图, 抛物线 与x轴正半轴交于A，B两点，与y轴交于点C. 若 求 的值.
核心考点二 直接利用 (或平行转化) 定角度构造直角三角形类相似
02.如图, 抛物线 与x轴交于A，B两点(A在B左侧)，与y轴交于点C. 为x轴上一点，在抛物线第四象限的图象上有一点G，连PG交线段AC于点D，当 时，求出点 G的坐标.
专题十一 抛物线与相似及相似构造(5)——阿氏圆与胡不归
核心考点一 由特殊线段构造子母型相似求最值——阿氏圆
01.如图, 抛物线 与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，以点B为圆心，画半径为2的圆，点P为⊙B上一个动点，请求出 的最小值.
核心考点二 利用三角函数化折为直——胡不归
02.如图, 抛物线 与x轴交于 B两点, M(t, 0) 是x轴正半轴上的动点，点 在抛物线上. 当 的最小值为 时，求抛物线的解析式.
专题十二 抛物线与相似及相似构造(6)——分类讨论思想
核心考点一 由等角构造相似与分类讨论
01如图,抛物线 与x轴交于A，B两点，点 在抛物线上.( 轴于点 D，连接AC. E为抛物线上一点，当 时，求点E的坐标.
核心考点二 顶点不确定对应关系与分类讨论
02.如图, 抛物线. 交x轴于A，B两点(A在B的左边)，交y轴于点C.作直线 ,分别交x轴, 线段BC, 抛物线于D, E, F三点, 连接CF. 若, 与 相似，求t的值；
专题十三 抛物线与角的关系处理(1) ——等角和角度差
01. 如图, 抛物线 交x轴于A, B两点, 与y轴交于点C, 连AC, BC, 点P在抛物线上，且 ，求点P的坐标.
02. 如图, 抛物线. 与x轴交于A，B两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C，P为第一象限内抛物线上一点，若点E的坐标为(1，0) ，且. 求点 P的坐标.
专题十四 抛物线与角的关系处理(2)——二倍角
方法：直接构造二倍角或者利用轴对称或者直角三角形斜边上的中线.
01.如图, 抛物线 与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，P为第一象限抛物线上的点, 连接CA, CB, PB, PC. 当. 时，求点P的坐标.
02.如图, 已知抛物线 与x轴交于点A，B两点(点A在点B的左边)与y轴交于点C. 点D是抛物线 上一点，并且 求点 D的坐标.
专题十五 抛物线与角的关系处理 (3)——角平分线
01.如图, 抛物线 交x轴于原点O和点A，顶点为点B，在第四象限抛物线上有一点P, OP平分, ，求点 P 的坐标.
02.如图,抛物线 的顶点为P,交x轴负半轴于点M,交射线AB: y=2x-2于点 N, 轴于点Q，当NP平分 时，求m的值.
专题十六 抛物线与参数计算 (1) ——线参处理(热点方法)
01.如图, 直线. 与抛物线 相交于A，B两点(点A在点B的左侧) ，顶点为点D，过点A作 轴，垂足为E，与直线BD交于点F，求线段EF的长.
02.如图, 直线 与抛物线 相交于 A，B两点(点A 在点 B的左侧) .
(1) 不论k取何值，直线 必经过定点P，直接写出点P的坐标；
(2) 已知B，C两点关于抛物线 的对称轴对称. 求证：直线AC 必经过一定点.
专题十七 抛物线与参数计算(2)——点参处理(热点方法)
01.如图, 过B(2, 0)点的直线BD交抛物线 于点D, F, 过点F的直线. 交抛物线于另一点E，试说明直线DE恒过一定点.
02.如图,点P是y轴负半轴上一点, PM, PN与抛物线 均有唯一公共点 M，N(异于原点)，过点P的直线交抛物线于点E，G，交MN于点F，若 求k的值.
专题十八 抛物线与参数计算(3)——恒存在
核心考点一 直角恒存在性
01. 如图, 直线 与抛物线 交于M，N两点，在抛物线上存在定点Q，使得对于任意实数k，都有 求点Q的坐标.
核心考点二 等角恒存在
02如图, 抛物线 与x轴交于A，B两点(A在B点左边)，与y轴负半轴交于 C点，P是线段AC上一个动点，F点在线段AB 上，且. ，若P 点总存在两个不同的位置使 求m满足的条件.
专题十九 抛物线与参数计算(4) ——唯一存在
01.如图, M是x轴正半轴上一动点, N(0, 3) . 经过点M的直线PQ交抛物线 于P，Q两点. 当点 M运动到某一个位置时，存在唯一的一条直线PQ，使 求点M的坐标.
02. 如图, 抛物线 与y轴交于点C，过C作( 轴与抛物线交于点D，在直线. 上是否存在唯一一点 P，使得 若存在，请求出此时k的值；若不存在，请说明理由.
专题二十 抛物线与参数计算(5) ——过定点的动直线
01. 如图，已知抛物线为 直线 k为常数) 与抛物线交于E，F两点，M为线段EF的中点，直线 与抛物线交于G，H两点，N为线段GH的中点. 求证：直线MN经过一个定点.
02.如图, 点F在抛物线. 上，点 平移线段EF至HG, 使H,G分别与E，F对应，且H，G均落在抛物线上，连接FH. 求证：直线FH经过一个定点.
专题二十一 抛物线与参数计算(6)——定直线上的动点
01.如图, 过点(1, 4) 的直线与抛物线 交于C, D两点, 直线PC, PD与抛物线均只有一个公共点，且PC，PD与y轴不平行，问点P是否在一条定直线上 若是，求该直线的解析式； 若不是，请说明理由.
02. 如图, 直线. 与抛物线 交于O，G两点，过OG的中点H作直线MN(异于直线OG)交抛物线 于M，N两点，直线MO与直线GN交于点P. 问点P是否在一条定直线上 若是，求该直线的解析式； 若不是，说明理由.
专题二十二 抛物线与参数计算(7) ——直线的位置关系
核心考点一 互相垂直
01.如图, 抛物线 直线l： 与x轴交于点D，经过点D的直线 与抛物线只有唯一公共点，求 与 的数量关系.
核心考点二 互相平行
02. 如图, 抛物线 交y轴于点C, 过点D (0, 2c) 的直线交抛物线于点F，E，FC交x轴于点Q，过点E的直线l与抛物线只有一个公共点，l交y轴于点P. 求证：
03.如图, 抛物线 与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C.平行于 BC的直线MN交抛物线于 M，N两点，作直线 MC，NB的交点P，求点 P的横坐标.
04.如图, 点P是抛物线 上不与原点重合的点，直线 与抛物线只有唯一公共点P，交y轴于点Q，过点Q的直线QS交抛物线于点R，S(R，S与点P不在同一象限)，且 点T是PS中点，求证： 轴.
专题二十三 抛物线与参数计算(8) ——定值
核心考点一 截距相关的线段
01 如图, 抛物线. 交x轴于A, B两点(A在B的左边) , F是原点O关于抛物线顶点的对称点，不平行y轴的直线l分别交线段AF，BF(不含端点) 于G，H两点，若直线l与抛物线只有一个公共点，求证：FG+FH的值是定值.
核心考点二 抛物线和直线的参数关系
02如图, 抛物线 与x轴负半轴交于点C，与y轴交于点G，点P在点C左侧抛物线上，点Q在y轴右侧抛物线上，直线CQ交y轴于点F，直线PC交y轴于点H，设直线PQ解析式为. 若 试证明 为一个定值.
专题二十四 抛物线与参数计算(9)——抛物线内接斜X 型
核心考点一 截距相关的线段
01如图, 抛物线 交x轴于A，B两点(A在B的左边)，C是第一象限抛物线上一点，直线AC交y轴于点P. 直线BP 交抛物线于另一点E，连接CE交y轴于点F，点C的横坐标为m. 求. 的值(用含m的式子表示) .
核心考点二 线段比
02.如图, 已知抛物线 与x轴交于A，B，与y轴交于点C. 点N为y轴上一点, AN, BN交抛物线于E, F两点, 求 的值.
专题二十五 抛物线与参数计算 (10 )——倒数和
01.如图, 过点D (2, 0) 的直线交抛物线 于点E, F, 点Q(4, m) 为抛物线上一点, 射线 QE, QF分别交x轴于点G, H, 求 的值.
02. 如图, 抛物线 与x轴交于点A，B(点B在点A的右侧) ，与y轴交点为C. 直线 与抛物线交于P，Q两点(点Q在点P的右侧)，与直线 交于点R. 试证明：无论k取任何正数， 恒成立.
专题二十六 抛物线大综合 (1)——定直线上的动点
01.抛物线 与x轴交于A, B(1, 0)两点, 与y轴交于点C(0, 3).
(1) 求抛物线的解析式；
(2) 如图1，Q是AC上方抛物线上一点，若 求点Q的坐标；
(3) 如图2，过点D(0，1)的直线交抛物线于E，F两点，过点E的直线与过点F的直线交于点P，若直线PE和PF与抛物线均只有一个公共点，求P，C两点间的距离d的最小值.
02.已知抛物线. 交x轴于A(1, 0), B(3, 0) 两点, M为抛物线的顶点，C，D为抛物线上不与A，B重合的相异两点，记AB中点为E，直线AD，BC的交点为P.
(1) 求抛物线的函数表达式；
(2) 若 C (4, 3) , 且 , 求证: C, D, E三点共线;
(3) 小明研究发现：无论C，D在抛物线上如何运动，只要C，D，E三点共线，求证： 的面积为定值.
专题二十七 抛物线大综合(2) ——等腰与相似
01.抛物线 交x轴于A，B两点(A在B的左边) ，C是抛物线的顶点.
(1) 当 时，直接写出A，B两点的坐标；
(2) D是对称轴右侧抛物线上一点，且
①如图1, 求线段 CD的长;
②如图2, 当m>2时, T(t, 0) (t>0), P为线段OC上一点. 若 与 相似，且符合条件的点P有2个，求t，m之间的数量关系.
专题二十八 抛物线大综合 ( 3) ——构造相似
01. 抛物线 的对称轴为 与x轴交于点A(4, 0) 和点B, 与y轴交于点C.
(1) 求抛物线的解析式；
(2) 点D 是抛物线的顶点，点E为抛物线对称轴上一点，点Q 为抛物线对称轴右侧上一点，若 与 相似，求点Q的坐标；
(3) 点 P是直线 上的动点(点P不在抛物线的对称轴上) ，过点P的两条直线 与抛物线均只有唯一公共点且都不与y轴平行， 分别交抛物线的对称轴于点M，N，点G为抛物线对称轴上点M，N下方一点，若恒有( ，求点G的坐标.
