第十一单元 直线型的证明与计算——选填题
专题一 直线型基本结构(1) ——设参与导角
方法：情况不明，导角先行. 当解题方法不明显时，往往设参导角处理，发现角度的关系.
核心考点一 设参导角
01. 如图, △ABC中, ∠ACB=45°, 点E在BC上, AB=AE, BG⊥AE于F, 交AC于G, 若 CG=1, 则 BC的长为 .
核心考点二 设参导角与镜面角的处理
02. 如图, 在Rt△ABC中, ∠C=90°, 点D, E分别在AC, AB上, 连接DE, BD, ∠BDE=2∠CBD,AD=BD, 若DE=5, BC=8, 则△ADE的面积为 .
03.如图,在Rt△ABC中,∠A=90°,D为AC边上一点,E为BC边上一点,连接BD,DE,∠BDA=∠EDC, CD=DE=4, BD=10, 则AD的长为 .
核心考点三 设参导角与全等构造
04. 如图, 在△ABC中, ，点D为AC上一点，且满足( E 为BD上一点, ∠AEB=60°, 延长AE交BC于F, 则△ABF的面积为 .
专题二 直线型基本结构(2)——正方形有关的计算和证明
01.如图,在正方形ABCD中,点E,F分别在 BC,CD上,连接AE,AF,EF, 4F=45°.若∠BAE=α, 则∠FEC一定等于 ( )
A. 2α
C. 45°-α
02.如图, 点E是正方形ABCD的边BC上一点, FG垂直平分AE且分别交AB,AE,BD,CD于点F,H,I,G.若FH=2,IG=6,则HI的长度为 ,sin∠FIB的值为 .
03.如图，已知正方形ABCD的边长为1，E为AB边上一点，以点D为中心，将 按逆时针方向旋转得△DCF,连接EF, 分别交 BD, CD 于点M, N. 若 则sin∠EDM= .
04.如图, 在等腰Rt△ABC中, 点D为 外一点, 且∠D=45°,过点A作AF∥BC交DC于点F, 交BD于点E, 若 则
专题三 直线型基本结构(3)——相似构造有关的计算和证明(1)
核心考点一 由角平分线想到对称型相似或等腰
01.如图, 四边形ABCD中, AC平分. 且∠ADC+∠ACB=180°, 则AB 的长为 .
核心考点二 一角独处，两侧添补，构造一线三等角型相似
02. 如图, 中， , 点 D在 BC上, 点E在AD上,且∠BEC=135°, 则 的值为 .
核心考点三 灵活利用三角函数
03. 如图, BE是 的角平分线，F是AB上一点， BE, CF相交于点 G. 若 则
专题四 直线型基本结构(4)——相似构造有关的计算和证明(2)
核心考点一 斜 A 字型相似的构造
01. 如图, 在△ABC中, . D, E分别是边BC, AB上的一点, 若 则四边形ACDE的面积为 .
核心考点二 构造子母型相似或者构造一线三等角相似
02.如图, 在△ABC中, 点E, F在边BC上, 点D在边AC上, 若 则m的值为 .
核心考点三 利用两角相等构造一线三等角相似
03.如图,在梯形ABCD中, , P为边AB上一点, 连PC,PD,( 且 则
专题五 直线型基本结构(5)——二倍角问题的处理
核心考点一 直接构造等腰得二倍角 (常用结构)
01. 如图, 在△ABC中, 求 tan2α的值.
02.如图,在在四边形ABCD中,. ,对角线AC, BD相交于点O. 若AB=AC=5,BC=6, ∠ADB=2∠CBD, 则AD的长为 .
核心考点二 对称得二倍角
03如图, 在四边形ABCD中, AB=9, CD=20, BD⊥CD, ∠ABD=2∠BCD=2∠BAC,则AC= .
C
核心考点三 对称分割二倍角
04.如图,在 中， D是AB上一点，且. 若 AD=26 BD=11,则BC的长为 .
核心考点四 分割三倍角转化为二倍角
05. 如图, 在1 中， 点 D 在边CA 上, 使得( 且 则 BC的长为 .
06.如图, 在△ABC中, AC=5, BC=11, ∠BAC=3∠ABC, 则 的面积为 .
核心考点五 由二倍角构造等腰
07. 如图, 中, 点E在边AC上, ，CD垂直于BE的延长线于点D, BD=8, AC=11, 则边BC的长为 .
08.如图, 在 中, 点 D 在边 BC上( 且满足. 于 H, 若 则 的值为 .
专题六 直线型基本结构(6)——子母型与拓展(热点 )
核心考点一 放垂利用三角函数和子母型
01. 如图, 在△ABC中, CD是AB边上的中线， 则AC的长为 .
核心考点二 利用三角函数的线段比构造三垂直，再结合子母型
02. 如图, 在△ABC中, ∠B=90°, 点D是BC边上的一点, ∠BAD=∠C, 若 则 BD= .
核心考点三 全等、勾股与子母型
03. 如图, 在△ABC中, AB=AC, CD⊥AB于点D, 点E在CD上, ∠AEB=90°, 若∠DAE=∠DCA,CE=2, 则DE的长为 .
核心考点四 利用已知特殊角构造特殊角得子母型
04. 如图, 在△ABC中, ∠BAC=120°, AD⊥BC于点D, BD=5, CD=2, 则AD的长为 .
05.如图, ,延长BC交AD于点E,连接BD,若 ，则
核心考点五 子母型与取值范围
06.如图, 正方形ABCD中, E, F是AD上的两个动点(不与端点重合) , 且AE=DF(E在F的左侧且不与F重合), CF交BD于G, BE交AG于H, 设 则 m的取值范围是 .
07. (1) 模型探索: 已知: 如图1, 在 中， 求证：
(2) 模型应用: 已知: 如图2, 在 中， 则
(3) 拓展应用: 已知: 如图3, 在 中， , 求AB 的长.
专题七 直线型基本结构(7) ——图形的拼接
方法：图形的剪切与重组，相似、勾股或等积法
01.先将如图1的等腰三角形的纸片沿着虚线剪成四块，再用这四块小纸片进行拼接，恰好拼成一个如图2无缝隙、不重叠的正方形，则该等腰三角形底角的正切值是 .
02. 在. 中， , 点G, F分别为AB, BC的中点, 连接EG,DF, 将 分成四块(如图1中I，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ) ，四块图形恰好能拼成如图2的矩形，则
03在某次数学探究活动中，小明将一张斜边为4的等腰 硬纸片剪切成如图所示的四块(其中D, E, F分别AB, AC, BC的中点, G, H分别为DE, BF的中点)，小明将这四块纸片重新组合拼成四边形(相互不重叠，不留空隙)，则所能拼成的四边形中周长的最大值为 ，最小值为 .
专题八 直线型基本结构(8) ——勾股树
方法：①婆罗摩笈多基本图； ②手拉手与面积证明勾股； ③相似与面积.
核心考点一 勾股树与婆罗摩笈多图
01.如图, 在 Rt△ABC中, 分别以 的三边为边向外作三个正方形ABHL, ACDE, BCFG, 连接DF. 过点C作AB的垂线CJ, 垂足为J, 分别交DF, LH于点I, K. 若CI=5, CJ=4, 则四边形AJKL的面积是 .
核心考点二 勾股树与手拉手
02. 如图, 在 Rt△ABC中, ∠BAC=90°, 四边形ABHL, ACFG, BCDE都是正方形, 于点N，交BC于点M. 若 则：
核心考点三 勾股树与相似
03. 如图, 在 Rt△ABC中, ∠ACB=90°, 以其三边为边向外作正方形, P是AE边上一点, 连接PC并延长交HI于点Q，连接CG交AB于点K. 若 则 的值为 .
专题九 直线型基本结构(9)——四边形折叠相关计算和证明
01. 如图, 在矩形ABCD中, 点E为AD 上一点，且 将 沿BE翻折，得到△A'BE, 连接CA'并延长, 与AD相交于点F, 则DF的长为 .
02.如图, 折叠矩形纸片ABCD, 使点D落在AB边的点M处, EF为折痕, AD=2. 设AM的长为t，用含有 t的式子表示四边形CDEF的面积是 .
03如图, 边长为1的正方形ABCD中, 点E为AD的中点, 连接BE, 将 沿BE折叠得到 BF交AC于点G, 求CG的长.
04. 如图, 折叠矩形 ABCD 的一边 AD, 使点 D 落在BC边上的点 F处. 若折痕 且 连接DF，则点A到DF的距离为 .
专题十 直线型基本结构(10)——对称相关计算和证明
01.如图, 在△ABC中, AB=AC, D是AC的中点, 将 CD沿BD折叠得到△BED, 则AF= .
02.如图, 在四边形ABCD中, BD⊥CD, 2∠BAC+∠ACB=90°, 且 若 则AC的长为 .
03.如图, 在矩形ABCD中, 点E在边AB上, 与 关于直线EC对称，点B的对称点F在边AD上，点G为CD中点，连接BG分别与CE，CF交于M，N两点.若 MG=1, 则NB的长为 ,sin∠AFE的值为 .
04.正方形ABCD边长为6, 动点E, F分别在边AB, CD上运动, 连接EF, 将四边形EBCF沿EF翻折, 使 "经过D点，求点B'到AD的最大距离.
