第四单元 相似模型及构造
专题一 相似模型及构造 (1) ——平行构相似
01.如图, △ABC中, D, E分别为边AB,AC上的一点, 且 则△ABC与△ADE相似比的值为 .
02.如图,△ABC中,BD⊥AB,BD,AC相交于点D, 则△DBC的面积是 .
03. 如图, 点O是四边形ABCD对角线AC, BD的交点, 与 互补， AB=7, AC=5, 则BC的长为 .
04.边长分别为10，6，4的三个正方形拼接在一起，它们的底边在同一直线上(如图)，则图中阴影部分的面积为 .
05.如图, 已知. , BC上一点D, 满足. 若 则
06. 如图, △ABC中, ∠BAC=90°, AD⊥BC于点D, 点M在AD上, 且2AD·AM=BD·DC, BM交AC于点E, EF⊥BC于点F, 若AE=4, EC=9, 求EF的长.
07. 如图, 在△ABC中, AC>AB, AD是角平分线, AE是中线, BF⊥AD于点G, 交AE于点F, 交AC于点M, EG的延长线交AB于点H, 若∠BAC=60°, 则
08. 如图, 在△ABC中, 点D在AB边上, 点F在BC边上, 过点D作. 交AC于点E, AF交DE于点M, 在DC上取点N, 使MN∥AC, 连接FN.
(1) 求证:
(2) 若AB=5, BC=6, AC=4, 当MN=FN时, 求BF的长.
专题二 相似模型及构造 (2)——射影型与子母型
核心考点一 认识模型
01. 如图, △ABC中, ∠BAC=90°, D为AC的中点, AE⊥BD, E为垂足, 求证: ∠CBD=∠ECD.
B
核心考点二 直接应用模型
02.如图, △ABC中, AB=5, AC=3, 点D在边AB上, 且∠ACD=∠B, 则线段AD的长为 .
03.△ABC中, AB=6, ∠ABC=60°, D为BC上一点, ∠DAC=60°, 若BD=x, CB=y,则y与x之间的关系为 .
04. 在△ABC中, ∠BCA=90°, BC=AC, D为AB边上一动点,连接CD, E为CD中点, 连接BE. 若∠BED=45°, 则 的值为 .
核心考点三 射影型与子母型、勾股定理结合
05.如图, 在△ABC中, D 为边AC 上一点, 于点H，连接CH, 延长AH交BC于点E,若AC=6, ∠DHC=45°, 则EH的长是 .
核心考点四 构造子母型模型
06.如图,M,N分别是□ABCD边BC,CD的中点,若 则 的值为 .
核心考点五 构造一线三等角与子母型结合
07. 如图, 在△ABC中,. 则CD 的长为 .
核心考点六 子母型与平行构相似
08.【问题背景】 (1) 如图1, 在△ABC中, D为AB上一点, 求证：
【尝试应用】 (2) 如图2, 在 ABCD中, E为BC上一点, F为CD延长线上一点, FE, FB分别交AD于点H, G. 若∠BFE=∠A, BF=4, BE=3, GH∶AG=9∶8, 求 的值.
专题三 相似模型及构造 (3) ——一线三等角
“一线三等角”是一个常见的相似模型，指的是有三个等角的顶点在同一条直线上构成的相似图形. 这个角可以是直角，也可以是锐角或者钝角. 对于“一线三等角”，有的地区叫“K型图”，也有的地区叫“M型图”. 中点型“一线三等角”中间的三角形与两侧的三角形相似.
“一线三等角”的起源：三垂直
DE绕A 点旋转，从外到内，从一般位置到特殊位置.
下面分几种类型讨论：
一、直角形“一线三等角”———“一线三直角”
结论: △ADB∽△CEA
二、锐角形“一线三等角”
结论: △ADB∽△CEA, 当A为DE中点时, △ADB∽△CEA∽△CAB
三、钝角形“一线三等角”
结论: △ADB∽△CEA, 当A为DE中点时,
常考类型：
核心考点一 三角齐见，模型自现——发现模型
01.如图，等边 的边长为3，点P为BC边上一点，且. ，点D为AC边上一点，若. 则CD的长为 .
02. 如图, 在正方形ABCD中, E为AB边的中点, G, F分别为AD, BC边上的点, 若 BF=2, ∠GEF=90°, 则GF的长为 .
03. 如图，矩形ABCD 中，由8个面积均为1的小正方形组成的L 型模板如图放置，则矩形 ABCD的周长为 .
核心考点二 隐藏局部，小修小补——补一个角
04. 如图, 在矩形ABCD 中, BC=4, AB=2, Rt△BEF的顶点E在边CD上,且 则BE= .
05. 如图, Rt△ABC中, D 为AB的中点, E为BC边上一点, 且 , 连接DE,DC, ∠EDC=45°, 则BC= .
06.四边形ABCD中,∠ABC=∠BCD=120°,AB=BC=k·CD.若BC上存在唯一的点P,使∠APD=120°,则k= .
核心考点三 一角独处，两侧添补——补两个角
07. 如图, 在△ABC中, ∠BAC=60°, ∠ABC=90°, 直线 与 之间的距离是1，l 与 之间的距离是2, l , l , l 分别经过点A, B, C, 则边AC的长为 .
08. 如图, △ABC, 以AB为边, 向外做Rt△OAB, 使C, O在AB 同侧, 且∠BOA=90°,∠OAB=60°,连接OC, 若∠OCA=∠OAB, 且CO=3, CA=4, 则BC= .
09. 如图, 在矩形ABCD 中, E为边 AB上一点, AE=2, BE=4, 连接DE, 作∠DEF=45°交边 BC于点F, 若AD=x, BF=y, 则y关于x的函数关系式为 .
核心考点四 构造同侧一线三等角综合题
11.如图, 在四边形ABCD中, ∠ABC=90°, AB=3, BC=4, CD=10, DA= 则BD的长为 .
核心考点五 构造异侧一线三等角综合题
12. 如图, 点 P 为 内一点, 点D在BC上, 且∠ , 则PB 的长为 .
13. 中， P 为 内一点，且 若 PB=2,则 PC的长为 .
专题四 相似模型及构造(4)——中点型一线三等角
方法：一线三等角的中间一角顶点为中点时，称为中点型一线三等角，此时，中间的三角形与两侧的三角形相似，即三个三角形都相似，中点为旁心.
核心考点一 认识模型
01.如图, 在△ABC中, AB=AC, 点E在边BC上移动(点E不与点B, C重合), 满足∠DEF=∠B, 且点D, F分别在边AB, AC 上.
(1) 求证: △BDE∽△CEF;
(2) 当点E移动到BC的中点时, 求证: FE平分∠DFC.
核心考点二 利用模型的性质求线段、周长、面积
02. 如图, 在 Rt△ABC中, AB=AC, 点D是BC的中点, 点E, F分别在边AB, AC上, 若 则.△DEF的面积为 .
03. 如图, 在 中， D为BC的中点， E, F分别在AB, AC上, 若 则△AEF的周长是 .(用含m，n的代数式表示)
04. 如图, 在四边形ABFC中, 点D是AB边的中点, 若 求线段CF的长.
05.如图, 在矩形ABCD中, E为AD的中点, EF⊥EC交AB于F, 连接FC(AB>AE) , 设 当k= 时, △AEF∽△BCF.
核心考点三 发现隐藏的中点型一线三等角
06.如图, 在△ABC中, CD平分∠ACB交AB于点D, 若G为 的内心, E, F 分别为BC, AC边上的点, 且CE=CF, BE=5, AF=2, 求EF的长.
07.如图, 在等腰△ABC中, AB=AC, 点O为底边 BC的中点, 以O为圆心作圆与AB,AC相切, 切点分别为D, E. 过圆上一点F作⊙O的切线分别交AB, AC于M, N, 则 的值是 .
专题五 相似模型及构造(5)——旋转相似
核心考点一 认识模型
01. 如图, 若△ADE∽△ABC, 求证: △ADB∽△AEC.
核心考点二 模型应用
02.将含30°角且大小不等的两个三角板按如图摆放，使直角顶点重合，连接AE，BD，则
03.如图, 已知∠ACB=∠DCE=90°, ∠ABC=∠CED=∠CAE=30°, AC=3, AE=8, 求AD的长.
04.如图, 在△BAC中, ∠BAC=90°, tan∠ACB=2, 将△BAC绕点A 顺时针旋转至△DAE, 点D刚好落在BC射线上, 若△BDE 的面积为4, 则BD的长为 .
05.如图, 在 中， 在△DEC绕C 旋转过程中，当 时, 则. 的值是 .
核心考点三 旋转相似与特殊角、解三角形
06.如图, 点A, B, E在同一直线上, , 连AF,CE交于点H, AF, CB交于点D. 若 则
07.如图, 矩形ABCD中, AB∶BC=3∶5, 将矩形ABCD绕点C顺时针旋转得到矩形CEGF, 若点E在AD上, 连接BF, DF, 则
核心考点四 模型构造
08. 如图, D 是 内一点， ∠
09.如图, 中， 点 P是 内一点，且 则△PAC的面积为 .
专题六 相似模型及构造(6) ——十字架模型
01. 某班数学课题学习小组对矩形内两条互相垂直的线段与矩形两相邻边的数量关系进行探究，提出下列问题，请你给出证明.
问题背景: 如图, 在矩形ABCD中, EF⊥GH, EF分别交AB, CD于点E, F, GH分别交AD,BC于点 G, H. 求证:
结论应用：如图，在满足上题的条件下，又AM⊥BN，点M，N分别在BC，CD边上，若 则
02. 如图, 矩形纸片.ABCD,. 点E, F分别在AD, BC上, 把纸片如图沿EF折叠, 点A, B的对应点分别为A', B', 连接 '并延长交线段CD于点G，则 的值为 .
03. 如图，把边长为 且 的平行四边形ABCD对折，使点B和D 重合，求折痕MN的长.
专题七 相似模型及构造(7) ——对角互补模型
01如图, Rt△ABC中,. , 点D, E, F分别在线段AB, AC, BC上,且BD=2AD, DE⊥DF, 则
02. 如图, 在矩形ABCD中, AB=3, BC=5, 点E在对角线AC上, 连接BE, 作 , 垂足为E,直线EF交线段DC于点 F，则
03. 如图, 若AB=BC=6, DA=DC=8, ∠BAD=90°, DE⊥CF, 求DE∶CF 的值.
04. 如图, 等腰 中， , D为AB中点, E, F分别是BC, AC上的点(且E不与B, C重合) , 且 若 则 的值是 .(用含n的式子表示)
专题八 相似模型及构造 (8) ——相似的性质应用
核心考点一 相似三角形的相似比等于周长比
01.如图, D是等边 边AB上的一点，且 现将 折叠，使点C与D重合, 折痕为EF, 点E, F分别在AC和BC上, 则(
核心考点二 相似三角形的相似比和对应的高之比
02.如图, 已知锐角 中, 边BC长为12, 高AD长为8, 矩形EFGH的边GH在BC边上, 其余两个顶点E, F分别在AB, AC边上, EF交AD于点K.
(1) 求 的值；
(2) 设EH=x, 矩形EFGH的面积为S, 求S与x的函数关系式, 并求S的最大值.
核心考点三 相似三角形的相似比的平方等于面积比
03.如图, DE平分等边 的面积，折叠 得到 AC分别与DF,EF相交于G, H两点. 若.DG=m,EH=n,用含m，n的式子表示GH的长是 .
04. 如图, △ABC中, D为BC的中点, 点E在AC的延长线上, 且 , 延长AD交BE于点 F.
(1) 若 则
(2) 若BD=5, BF=4, 则EF的长为 .
05. 问题背景:
(1) 如图1, △ABC中, DE∥BC分别交AB, AC于D, E两点, 过点E作. 交BC于点F.请按图示数据填空：
四边形DBFE的面积S= , △EFC的面积 的面积
探究发现：
(2) 在(1) 中, 若BF=a, FC=b, DE与BC间的距离为h, 试证明:
拓展迁移：
(3)如图2, 平行四边形DEFG的四个顶点在△ABC的三边上, 若△ADG, △DBE, △GFC的面积分别为2, 5, 3, 试利用(2) 的结论求△ABC的面积.
核心考点四 相似三角形的相似比与周长比和勾股定理、最值结合
06. 如图,在 中,∠ACB=90°, 作 垂足分别为D，E，设 的周长分别为C , C , C , 直接写出 的最大值为 .
专题九 相似模型及构造(9)——相似与黄金分割点
方法：若C为线段AB上一点，且. ，则称C为线段AB的黄金分割点，就有黄金比.含有36°角的等腰三角形，短边∶长边
01.如图,等腰△ABC中,AB=AC=10,顶角∠A=36°,BD为∠ABC的平分线,则CD的长是 .
02. 如图, 正五边形ABCDE的对角线AC和BE相交于点F, 若 AE=2, 则AF的长为 .
03. 如图, 在△ABC中, AB=AC, 点E, F分别在AB和AC上, CE与BF相交于点D. 若AE=CF,D为BF的中点, 则. 的值为 .
04.如图，是以点O为圆心，AB为直径的圆形纸片，点C在⊙O上，将该圆形纸片沿直线CO对折, 点B落在⊙O 上的点 D处(不与点A重合) , 连接CB, CD, AD. 设CD与直径AB交于点 E. 若 AD=ED, 则. 度; ；的值等于 .
05.如图,在矩形ABCD中, 分别交AC,AD于点F,E,若. 则
06. 如图是一张矩形纸片，点E在AB边上，把 沿直线CE对折，使点B落在对角线AC上的点F处, 连接DF. 若点E, F, D在同一条直线上, 则
07. 已知正方形ABCD中, 点M为边AB的中点.
(1) 如图1, 点 G 为线段CM上一点, 且 , 延长AG, BG分别与边BC, CD交于点E,F. ①求证: BE=CF; ②直接写出 的值；
(2) 如图2, 在边BC上取一点E, 满足. 连接AE交CM于点G，连接BG并延长交CD于点 F, 求 的值.
专题十 相似模型及构造(10)——子母型的构造与勾股定理
方法：当特殊角和等角同时出现时，往往想到构造子母型和作垂，构造此结构。
01.如图, 在 中, D为AB边上一点, E为CD中点, ∠A=∠BED=45°,则 BD的长为 .
02.如图,已知矩形ABCD中, ,点E,F分别在AB,BC上, ,连接DE,DF,设 α.当 时, 求BE的长.
03.如图, 中， , D 为边 AC上的点, 则AB 长是 .
专题十一 相似模型及构造(11)——奔驰型 (布洛卡点) 与共边型相似
01. 如图1, 若P是△ABC内部一点, 且∠PAC=∠PCB=∠PBA=α, 则称P为△ABC的布洛卡点, 同时称α为△ABC的布洛卡角. 布洛卡点是法国数学家和数学教育家克雷尔首次发现，后来被数学爱好者法国军官布洛卡重新发现，并用他的名字命名，布洛卡点的再次发现，引发了研究“三角形几何”的热潮.
如图2, 在△ABC中, AB=AC, P 是△ABC内部一点, ∠PAC=∠PCB, ∠APC=∠BPC, 且∠BAC=∠APB.
(1) 说明P为△ABC的布洛卡点, 并求∠BAC;
(2) 若D为BC中点, 作AE⊥AP交DP的延长线与点E, 连接CE, 求 的值.
02. 如图, △ABC中, ∠ABC=60°, 点P是△ABC内一点, 使得∠APB=∠BPC=∠CPA, 且PA=8,PC=6, 则PB= .
A
03. 如图, ∠ACB=90°, 点D, E分别在BC, AB上, ∠ADE=90°, ∠AED=∠B+∠BAD.
(1) 求证:
(2) 作EF⊥BC于点 F, 且BD的长.
专题十二 相似模型及构造(12)——共圆型相似
核心考点一 斜A字型相似
01.在锐角 中, 点D, E分别在边AB, AC上, 于点F， 于点 G,
(1) 求证:
(2) 若 , 求AF的长.
02.如图, 等腰 的顶点B,C在⊙O上, , 点A在⊙O外, 于点D. 若 则⊙O的半径为( )
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
核心考点二 斜8字型相似
03. 如图, 在1 中， ⊙O为 的内切圆，切点分别为D, E, F, 直线EF交AO, BO于M, N两点, 则S_{ \triangle OMN}的值为 .
专题十三 直线型基本结构(1) ——特殊角与相似
01.如图, 在△ABC中, ，将AC绕着点C按顺时针旋转( 得到CD, 连接BD交AC于点E, 则
02如图, 直线 与l 的距离是l,l 与l 的距离是2, 点A, B, C分别在直线l , l , l 上, 若△ABC是等边三角形, 则△ABC的边长是 .
03. 如图, 在矩形ABCD 中, 点E, F 分别是AB, BC上的点, ∠FED=30°, ∠FDE=45°, 则BC的长度为 ( )
04. 如图, 在 中， , D是AC的中点, 点E在BC上, 分别连接BD, AE交于点 F. 若. 则
专题十四 直线型基本结构(2)——特殊角与三角函数
01. 将一副学生常用的三角板如图摆放在一起，组成一个四边形ABCD，连接AC，则 的值为 .
02.如图, 在Rt△ABC中, ∠A=90°, 点D在边AB上, 连接CD. 若 则tanB= .
03. 如图, 在矩形ABCD中, AB=6, BC=10, 将矩形ABCD沿BE折叠, 点A落在A'处, 若 EA'的 延长线恰好过点 C, 则sin∠ABE的值为 .
04如图, 在矩形ABCD中, 点E, F分别在BC, AD上,且. 于点G, 交CF于点P, 连接BP. 若BP=BC, 则tan∠BAE的值为 ( )
专题十五 直线型基本结构(3)——角的拼接与特殊角的三角函数之“12345”
01. 如图, 如果α, β都为锐角, 且 则α+β= °.
02.如图, 在矩形ABCD中, AB=6, BC=9, 点E, F 分别在BC, CD上, 若BE=3,∠EAF=45°,, 则 DF的长是 .
03.如图, 在矩形纸片ABCD中, 点E, F分别在矩形的边AB, AD上, 将矩形纸片沿CE,CF折叠,点B落在H处, 点D落在G处, 点C, H, G恰好在同一直线上,若 BE=2, 则 DF的长是 .
04.如图,正方形ABCD中,点P是BC的中点,把 沿着 PA翻折得到 ，过点C作( 交DE的延长线于点F, 若CF=2, 则
