1.3空间向量及其运算的坐标表示同步练习卷-高二数学上学期人教A版（2019）选择性必修第一册
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
一、单选题
1．已知空间向量，，若与垂直，则等于（ ）
A． B．
C． D．
2．已知，，，若，，三向量共面，则实数λ等于（ ）
A．1 B．2
C．3 D．4
3．已知空间向量，，且，则（ ）
A． B． C．1 D．17
4．四棱锥的底面为矩形，平面，在棱上，，则（ ）
A． B． C． D．
5．下列四对向量中，垂直的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
6．空间向量在上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
7．在空间直角坐标系中，点到x轴的距离为（ ）
A．2 B．3 C． D．
8．若空间向量，则与的夹角的余弦值为（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
9．已知向量，，，则（ ）
A．与方向相同的单位向量是 B．
C． D．
10．已知空间向量，，则（ ）
A． B．
C． D．在的投影向量的坐标是
11．下列说法正确的有（ ）
A．若，共线，则
B．任意向量满足
C．若是空间的一组基底，且，则四点共面
D．已知，，则在上的投影向量为
三、填空题
12．设，，，，则 .
13．已知，则向量在上的投影向量的坐标是 .
14．若异面直线的方向向量分别是，，则异面直线与的夹角的余弦值等于 ．
四、解答题
15．已知空间三点，，，设，．
(1)求；
(2)与互相垂直，求实数的值．
16．已知空间向量．
(1)若，且，求的坐标；
(2)若，且，求的最大值．
17．如图，在直三棱柱中，线段，，的中点分别为，，.已知，，.
(1)证明：；
(2)求.
18．如图，在棱长为的正方体中，为的中点，，分别在棱，上，，．
(1)求线段的长．
(2)求与所成角的余弦值．
19．如图，棱长为2的正方体中，E、F分别是棱AB，AD的中点，G为棱上的动点．
(1)是否存在一点G，使得面？若存在，指出点G位置，并证明你的结论，若不存在，说明理由；
(2)若直线EG与平面所成的角为，求三棱锥的体积；
(3)求三棱锥的外接球半径的最小值．
参考答案：
1．B
【分析】借助空间向量的坐标运算及垂直的性质计算可得的值，再利用模长公式计算即可得解.
【详解】因为，，所以，
因为与垂直，所以，所以，
解得，所以，所以.
故选：B.
2．A
【分析】根据题意，存在实数使得，列出方程组，即可求解.
【详解】若向量，，共面，则，其中，
即，
所以，
∴解得
故选：A.
3．A
【分析】根据空间向量平行的坐标关系运算求解.
【详解】，
，，即，
，解得，
.
故选：A.
4．B
【分析】以为原点，建立空间直角坐标系，设，求得向量，结合向量的数量积的运算公式，即可求解.
【详解】如图所示，以为原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，
如图所示，由，设，
可得，则，
所以．
故选：B．
5．B
【分析】根据两向量垂直的判定方法计算即可.
【详解】对A，因为，故两向量不垂直，故A错误；
对B，因为，故两向量垂直，故B正确；
对C，因为，故两向量不垂直，故C错误；
对D，因为，故两向量不垂直，故D错误；
故选：B.
6．A
【分析】根据两个向量的坐标，结合投影向量概念，可以通过计算得出结果.
【详解】与方向相同的单位向量为，
由，，则，，
所以向量在向量上的投影向量为.
故选：A.
7．D
【分析】结合空间直角坐标系，数形结合利用勾股定理求解点到x轴的距离.
【详解】
在空间直角坐标系中，
过作平面，垂足为，则轴，
在坐标平面内，过作轴，与轴交于，
由，则，，
由，平面，平面，
则轴平面，平面，
则轴，故即点到x轴的距离，
则.
故选：D.
8．C
【分析】利用空间向量夹角的坐标表示即可求解.
【详解】由题意，得.
故选:C.
9．ABD
【分析】利用坐标运算处理向量的线性运算、垂直平行问题和数量积夹角问题.
【详解】，，
可得与方向相同的单位向量是，A正确．
因为，所以，B正确．
因为，，所以与不垂直，C错误．
，D正确．
故选：ABD
10．AD
【分析】根据空间向量坐标运算法则计算可得.
【详解】因为，，
所以，故A正确；
，故B错误；
，所以，故C错误；
又，
所以在的投影向量为，故D正确；
故选：AD
11．CD
【分析】按空间向量的基本性质逐项判断即可.
【详解】，共线，则或四点共线，故A错误；
向量的数量积运算不满足结合律，故B错误；
若是空间的一组基底，则三点不共线，且，
则，即，所以四点共面，故C正确；
因为，即是单位向量，
且，所以在上的投影向量为，故D正确；
故选：CD
12．
【分析】由向量平行相关知识可得答案.
【详解】由题得，则，所以
故答案为：
13．
【分析】
根据投影向量的知识求得正确答案.
【详解】，，
所以向量在上的投影向量的坐标是：
.
故答案为：
14．/
【分析】利用空间向量的数量积与模长公式计算夹角即可.
【详解】设异面直线与的夹角为，则，
.
故答案为：
15．(1)
(2)或
【分析】（1）应用向量线性关系坐标运算得，，根据向量夹角的坐标公式求夹角余弦值；
（2）首先求出，的坐标，再根据向量垂直列方程求参数．
【详解】（1）由题设，，
所以．
（2）由，，而，
所以，
可得或．
16．(1)
(2)
【分析】（1）直接由向量共线定理、数量积的坐标公式运算即可求解.
（2）首先由向量垂直的坐标表示得到条件等式，结合基本不等式即可求解，注意取等条件是否成立.
【详解】（1）由题意，，所以不妨设，
又，
从而，
解得，所以.
（2）由题意，所以，即，
又因为，
所以由基本不等式可得，等号成立当且仅当，
解得，
所以当且仅当时，的最大值为.
17．(1)证明见解析
(2)
【分析】
（1）建系，利用空间向量的坐标运算证明线线垂直；
（2）根据空间向量的坐标运算求，进而可得结果.
【详解】（1）
由题意易知，，两两相互垂直，以A为坐标原点，，，分别为，，轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系.
则，，，，.
因为，，
所以，因此.
（2）
因为，，
则，，
可得，
所以.
18．(1)
(2)
【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量法求得的长.
（2）利用向量法求得与所成角的余弦值.
【详解】（1）以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，
所以，即线段的长为.
（2），，，，
所以，，
，．
所以，
所以．
所以，与所成角的余弦值为．
19．(1)存在点G为的中点，证明见解析
(2)
(3)
【分析】（1）存在一点G，当点G为的中点，连接，利用三角形中位线和平行线的传递性得到，再利用线面平行的判定即可证明结论；
（2）首先根据题意得到，再求出，根据计算即可；
（3）建立空间直角坐标系，首先确定球心在上，设外接球球心为，设，，得出的坐标，设，由，得出，求出的范围，再由即可求出的最小值．
【详解】（1）存在一点G，当点G为的中点，使得面，
连接，如图所示：
∵点分别是的中点，，
又，且，
∴四边形是平行四边形，，，
又∵平面，且平面EFG，∴平面．
（2）取的中点，连接，，由题意可知，平面，且，
是直线与平面所成的角，即，
在中，，
∴在中，，
又
，
．
（3）以点为坐标原点，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系，如图所示，连接，
则，
所以，，
因为，，
所以，即，
因为平面，平面，所以平面，
又因为，所以三棱锥的外接球的球心在上，设外接球球心为，
设，，则的坐标为，
设，
则，即，
所以，
设，则，则，
而，当且仅当，即时，等号成立，
因为，所以，
三棱锥的外接球的半径
，
因为，所以，所以，
三棱锥的外接球半径的最小值为．
精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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