2.4圆的方程同步练习卷-高二数学上学期人教A版（2019）选择性必修第一册
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
一、单选题
1．以为圆心，且经过点的圆的方程是（ ）
A． B．
C． D．
2．圆关于直线（，）对称，则的最小值是（ ）．
A． B． C． D．
3．“大漠孤烟直，长河落日圆”体现了我国古代劳动人民对于圆的认知.已知，，则以为直径的圆的方程为（ ）
A． B．
C． D．
4．已知点在曲线上，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
5．已知圆关于直线对称，则实数（ ）
A． B． C． D．或
6．已知圆M的方程为，则直线关于点M的对称直线方程为（ ）
A． B． C． D．
7．已知圆经过两点，且圆心在直线上，则过点的直线与圆相交所截最短弦长为（ ）
A．1 B． C． D．2
8．在平面直角坐标系Oxy中，A为直线l：上在第一象限内的点，，以AB为径的圆C与直线交于另一点.若，则A点的横坐标为（ ）
A． B．3 C．3或 D．2
二、多选题
9．若方程表示的曲线为圆，则实数的值可以为（ ）
A．0 B． C．1 D．2
10．已知圆心为的圆与点，则（ ）
A．圆的半径为2 B．点在圆外
C．点在圆内 D．点与圆上任一点距离的最小值为
11．已知直线，，设两直线分别过定点，，直线和直线的交点为，为坐标原点，则（ ）
A．直线过定点，直线过定点
B．
C．的最小值为7
D．若，，则恒满足
三、填空题
12．已知三角形ABC三个顶点的坐标分别是，则三角形ABC外接圆的方程是 .
13．已知A、B为圆C：上两个不同的点（C为圆心），且满足，则 ．
14．古希腊数学家阿波罗尼奥斯证明过这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数k（且）的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆．在平面直角坐标系中，设，，动点M满足，则动点M的轨迹方程为 ．
四、解答题
15．已知点，，，直线与轴交于点.
(1)求点的坐标；
(2)求的外接圆的标准方程.
16．已知点，圆上两动点满足，且四边形是矩形．
(1)当点在第一象限且横坐标为3时，求边所在直线的方程；
(2)求点的轨迹方程．
17．已知圆的圆心为直线与直线的交点，且圆的半径为.
(1)求圆的标准方程；
(2)若为圆上任意一点，，点满足，求点的轨迹方程.
18．已知圆过点，且圆心在直线上.
(1)若从点发出的光线经过直线反射，反射光线恰好平分圆的圆周，求反射光线的截距式.
(2)若点在直线上运动，求的最小值.
19．长度为6的线段，设线段中点为G，线段的两个端点P和Q分别在x轴和y轴上滑动.
(1)求点G的轨迹方程；
(2)设点G的轨迹与x轴交点分别为A，B（A点在左），与y轴交点分别为C，D（C点在上），设H为第一象限内点G的轨迹上的动点，直线与直线交于点M，直线与直线交于点N.试判断直线与的位置关系，并证明你的结论.
参考答案：
1．B
【分析】利用圆的定义及标准方程计算即可.
【详解】由题意知，圆心是，圆的半径，
所以圆的方程为．
故选：B．
2．A
【分析】根据题意可知直线经过圆心，整理得（，），结合基本不等式运算求解.
【详解】由圆可得标准方程为，
即圆心为，
因为圆关于直线对称，则该直线经过圆心，
即，整理得（，），
则，
当且仅当，即时，等号成立，
所以的最小值是.
故选：A．
3．A
【分析】
求出圆心坐标，求出圆的半径，即可求出圆的标准方程.
【详解】因为以、为直径两端点的圆的圆心坐标为，
半径为，所以所求圆的标准方程为，
即以为直径的圆的方程为.
故选：A
4．C
【分析】分析可知曲线为以为圆心，半径的上半圆，，根据圆的性质结合图形分析求解.
【详解】因为整理得，
表示以为圆心，半径的上半圆，
设，则，如图所示：
当三点共线时，取到最小值，
当为半圆的右端点时，取到最大值，
即，则，
所以的取值范围是.
故选：C.
5．C
【分析】根据圆的对称性得出圆心在直线上，求出圆心坐标代入直线方程计算并检验即可.
【详解】由题意可知，，
且圆心在直线上，代入直线方程得（舍去）
或.
故选：C
6．D
【分析】先给出点的坐标，所求直线应平行于已知直线，且点到这两条直线的距离相等.
【详解】点坐标为，设所求直线方程为
则有
两直线不能重合，
所以
故选：D.
7．B
【分析】设圆心为，半径为，代点求得圆方程，当直线与垂直时，弦长最短.
【详解】设圆的圆心为，半径为，
代入两点有，
解得圆，
圆心，设圆心到直线的距离为，
，
则弦长为，当直线与垂直时，弦长最短为.
故选：B.
8．B
【分析】由已知得，求得的方程，进而得，设，则，从而根据平面向量的数量积求出结果.
【详解】如图，由已知得，则，所以的方程为．
由解得．
设，则，从而．
所以，解得或．
又，所以，即点A的横坐标为3．
故选：B．
9．AD
【分析】先将方程合理转化，后结合二元二次方程表示圆的条件求解即可.
【详解】方程，即，
若方程表示圆，则，解得或，
结合选项可知AD正确，BC错误.
故选：AD
10．BD
【分析】将圆的方程配成标准式，即可得到圆心坐标与半径，求出，即可判断.
【详解】因为，即，
所以圆心为，半径，故A错误；
又，所以点在圆外，故B正确，C错误；
因为，所以点与圆上任一点距离的最小值为，故D正确.
故选：BD
11．AB
【分析】直线方程化简为点斜式，可确定判断A；可判断B；根据在以为直径的圆上，可确定的最小值；根据D，可写出点轨迹方程，与题意冲突，可判断D.
【详解】对于A：可化作，可发现过定点，
同理，过定点，A正确；
对于B：因为，所以恒成立，
因此是以为直径的圆上的点，根据定义，，B正确；
对于C：由题可知的中点为，，
所以在圆上，所以，C错误；
对于D：设，若，则，
化简可得：，与的方程不符合，D错误．
故选：AB．
12．（或）
【分析】解法一：待定系数法，设出圆的一般形式，将点的坐标代入，解方程组即可求解；
解法二：几何法，根据得的外接圆是以线段为直径的圆.然后确定圆心和半径，即可求解.
【详解】解法一：设的外接圆方程为，其中.
由题意得解得满足，
所以外接圆的方程为.
解法二：依题意，直线的斜率，直线的斜率，
则，即.因此的外接圆是以线段为直径的圆.
线段的中点为，半径，
所以外接圆的方程是.
故答案为：（或）
13．2
【分析】利用数量积的运算律，结合圆的性质计算即得，
【详解】依题意，，
由，得，解得，
所以.
故答案为：2
14．
【分析】首先设，代入两点间的距离求和，最后整理方程.
【详解】设，由，得，
可得：，即，
整理得，故动点的轨迹方程为.
故答案为：.
15．(1)
(2).
【分析】（1）根据题意求出直线的方程，再令即得；
（2）由（1）中的点坐标知，故的外接圆即以为直径的圆，计算即得.
【详解】（1）由题意，，故直线的斜率，
所以直线的方程为.
因为点在轴上，令，得，
所以点的坐标为.
（2）因为的顶点坐标分别为，，，
所以，所以的外接圆是以为直径的圆.
又中点为，
所以外接圆的圆心为，半径为，
所以的外接圆的方程为.
16．(1)；
(2).
【分析】（1）求出点的坐标，进而求出直线的斜率，再结合垂直关系求出直线的方程.
（2）由圆的性质可得线段的中垂线过原点，再借助圆的定义求出轨迹方程即得.
【详解】（1）设点，由，得，直线的斜率，而，
所以直线的方程为，即.
（2）由于线段是圆的弦，则线段的中垂线必过圆心，
又线段的中垂线是矩形的对称轴，因此该对称轴垂直平分线段，即，
显然不重合，当重合时，点重合，则点的轨迹是以为圆心，2为半径的圆（除点外），
所以点的轨迹方程是.
17．(1)
(2)
【分析】（1）先求得两条直线的交点坐标，也即求得圆心，从而求得圆的标准方程.
（2）根据向量共线列方程，然后利用代入法求得点的轨迹方程.
【详解】（1）由解得，则圆心为，半径为，
∴圆的标准方程为.
（2）设，.
由，可得，
则，又点在圆上，所以，
即，化简得，
∴点的轨迹方程为.
18．(1)
(2)20
【分析】（1）求出线段的垂直平分线方程，联立求出圆心，再求出点关于直线的对称点，结合反射光线恰好平分圆的圆周，可知知圆心在反射光线上，即可求得直线的点斜式，继而化为截距式；
（2）设，求出设为表达式，结合二次函数的最值，即可求得答案.
【详解】（1）由可得，线段的中点为，
故线段的垂直平分线方程为，即，
联立，
即圆心为，半径为，
故圆的方程为；
设点关于直线的对称点为，则，
解得，即，根据光路可逆知在反射光线上；
又反射光线恰好平分圆的圆周，可知在反射光线上；
故，则方程为，即，
故的截距式方程为；
（2）点在直线上运动，故设，
则，
当时，取得最小值20.
19．(1)；
(2)，证明见解析.
【分析】
（1）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，得到OG的长度，进而判断出G的轨迹，得到轨迹方程；
（2）写出四点的坐标，联立直线与直线的方程求出点M的坐标，联立直线与直线的方程求出N的坐标，再利用坐标求出并与进行比较即可.
【详解】（1）在中，因为G是线段PQ的中点，所以，
所以G的轨迹为以O为圆心，以3为半径的圆，
所以G的轨迹方程为.
（2），证明如下：
依题意，下列各点坐标为，
直线的方程为.
因为H为第一象限内点G的轨迹上的动点，
故设，且.
设直线的方程为，
，解得，即.
设直线的方程为，
，解得，即.
所以
，
又，
所以.
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