3.2双曲线同步练习卷-高二数学上学期人教A版（2019）选择性必修第一册
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
一、单选题
1．已知直线平面，直线平面，且．若P是平面上一动点，且点P到直线m、n的距离相等，则点P的轨迹是（ ）
A．直线 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线
2．已知双曲线C经过点，其渐近线方程为，则双曲线C的方程为（ ）
A． B．
C． D．
3．若椭圆的离心率和双曲线的离心率恰好是关于的方程的两个实根，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．已知双曲线的离心率为，其中一条渐近线（斜率大于0）与圆交于M，N两点，且则（ ）
A．1 B． C．2 D．4
5．下列双曲线中以为渐近线的是（ ）
A． B．
C． D．
6．已知双曲线，则下列选项中正确的是（ ）
A．
B．若的顶点坐标为，则
C．的焦点坐标为
D．若，则的渐近线方程为
7．已知双曲线右支上非顶点的一点A关于原点O的对称点为B，F为其右焦点，若，设且，则双曲线离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．已知点是双曲线的上焦点，是下支上的一点，点是圆上一点，则的最小值是（ ）
A．7 B．6 C．5 D．
二、多选题
9．已知曲线（ ）
A．若，则是椭圆，其焦点在轴上
B．若，则是双曲线，其渐近线方程为
C．若，则是圆，其半径为
D．若，，则是两条直线
10．已知双曲线：的左右焦点分别为，，实轴长为8，离心率为，点，，是双曲线上的任意两点，过点分别作双曲线的两条渐近线的垂线，垂足分别为，两点.下列说法正确的是（ ）
A．若点满足，则的周长为52
B．若点在双曲线的左支，则的最小值为13
C．存在点，使得
D．若直线的斜率为，线段的垂直平分线与轴交于点，则或
11．已知两点，若直线上存在点，使得，则称该直线为“点定差线”，下列直线中，是“点定差直线”的有（ ）
A． B． C． D．
三、填空题
12．经过点的双曲线的标准方程为 ．
13．已知是双曲线的左右焦点，过的直线交双曲线右支于两点，分别是和的内切圆半径，则的取值范围是 .
14．若斜率为的直线l过双曲线的上焦点，与双曲线的上支交于两点，，则的值为 ．
四、解答题
15．在平面直角坐标系中，已知动点、，点是线段的中点，且点在反比例函数的图象上，记动点的轨迹为曲线．
(1)求曲线的方程；
(2)若曲线与轴交于两点，点是直线上的动点，直线分别与曲线交于点(异于点)．求证：直线过定点．
16．已知双曲线的两个焦点分别为，，双曲线上一点与，的距离差的绝对值等于.
(1)求双曲线的标准方程．
(2)过双曲线：的右焦点，倾斜角为的直线交双曲线于，两点，求．
17．已知双曲线C：过点，右焦点F为，左顶点为A
(1)求双曲线C的方程
(2)动直线交双曲线C于M，N两点，求证：的垂心在双曲线C上．
18．已知双曲线是上的任意一点.
(1)设点的坐标为，求的最小值；
(2)若分别为双曲线的左 右焦点，，求的面积.
19．在平面直角坐标系中，动点P与定点的距离和它到定直线的距离的比是常数，设动点P的轨迹为曲线C．
(1)求曲线C的方程；
(2)以原点O为端点作两条互相垂直的射线与曲线C分别交于点M,N．求证：是定值．
参考答案：
1．C
【分析】画图分析，根据题意建立等量关系即可得到点的轨迹是双曲线.
【详解】如图：
不妨设n在平面α内射影为b，则m与b相交，m与b垂直，
设直线n与平面α的距离为d，
则在平面α内，以m为x轴，b为y轴建立平面直角坐标系，
则P到m的距离为，P到b的距离为，从而P到直线n的距离为
所以，即，故轨迹为双曲线．
故选：C．
2．C
【分析】由渐近线方程可设双曲线为且，再由点在双曲线上，将点代入求参数m，即可得双曲线方程.
【详解】由题设，可设双曲线为且，又在双曲线上，
所以，则双曲线的方程是.
故选：C.
3．D
【分析】根据离心率得出，的范围，利用离心率恰好是关于的方程的两不等实根，即可得出实数的取值范围.
【详解】由椭圆与双曲线的性质可知，椭圆的离心率，双曲线的离心率，
关于的方程有两个不相等的实根，，
令，则解得：．
故选：D．
4．C
【分析】根据双曲线的离心率求出渐近线方程，再借助点到直线距离公式求出弦心距，进而列出弦长求解即可得出结果.
【详解】双曲线的离心率为，得，
解得：于是双曲线的渐近线方程为，即，
圆的圆心，半径，
当渐近线（斜率大于0）时，即为时，
点到此直线的距离为，
又因为弦长，解得：.
故选：C.
5．A
【分析】分别求出各个选项的渐近线，找到满足渐近线为的方程即可.
【详解】对于选项A:由，焦点在轴上，易得,所以渐近线为，即，故选项A正确；
对于选项B:由，焦点在轴上，易得,所以渐近线为，即，故选项B错误；
对于选项C:由，焦点在轴上，易得,所以渐近线为，即，故选项C错误；
对于选项D:由，焦点在轴上，易得,所以渐近线为，即，故选项D错误.
故选：A.
6．D
【分析】根据即可判断A；根据双曲线的顶即可判断出B错误；分、两种情况，依次求出，即可判断C；根据双曲线的渐近线方程的求法即可判断D.
【详解】对于A项：因为方程表示双曲线，
所以，解得或，A错误；
对于B项：因为的顶点坐标为，所以，解得，B错误；
对于C项：当时，，
当时，，C错误；
对于D项：当时，双曲线的标准方程为，则渐近线方程为，D正确.
故选：D
7．C
【分析】作出对应的图象，设双曲线的左焦点为，连接，易得四边形为矩形，根据双曲线的定义找到关于离心率的表达式，求出离心率的取值范围即可．
【详解】
解：如图所示，设双曲线的左焦点为，连接,
，四边形为矩形,因此,
则．
,,
即，则,
,,
则,
故双曲线离心率的取值范围是，
故选：C．
8．B
【分析】根据题意，结合圆的性质和双曲线的定义，即可求解.
【详解】由圆可化为，则，半径为1，
因为是的下焦点，则，
由双曲线定义可得，
所以，
当且仅当四点共线时，取得最小值，即的最小值是.
故选：B.
9．ABD
【分析】对于A，化为椭圆的标准方程，即可判断；对于B，直接判断C是双曲线，求出其渐近线方程；对于C，求出圆的半径为，不一定是，即可判断；对于D，直接判断C是两条直线.
【详解】对于A，方程可化为，，，所以椭圆焦点在轴上，故A正确；
对于B，由，所以方程表示双曲线，令，解得，
所以双曲线的渐近线为，故B正确；
对于C，若，曲线可化为，所以圆的半径为，而不一定等于，故C错误；
对于D，若，，方程可化为，即，表示两条直线，故D正确.
故选：ABD.
10．ABD
【分析】由题意首先得到双曲线方程以及渐近线方程，选项A，根据双曲线定义运算即可判断；选项B，画出图形，通过三角形两边之和大于第三边即可判断；对于C通过基本不等式可求得的最小值，从而即可判断；对于D，联立直线方程和双曲线方程，结合韦达定理、判别式垂直平分线的求法即可判断.
【详解】由题可知，所以，，，
双曲线：，渐近线为即.
选项A，若，则，所以，，
则的周长为，所以选项A正确.
选项B，
，
当且仅当，，三点共线且点在线段上时(即点与点重合)取最小值.所以选项B正确.
选项C，
设，则，所以，
，
当且仅当，即点为或时，取最小值.所以选项C错误.
选项D，设直线的方程为，设，，
联立得，
所以，，
由得，即或；
线段的中点为，
所以线段的垂直平分线方程为，
令得，由得或，所以选项D正确.
故选：ABD.
【点睛】关键点睛：对于A选项的判断较为常规，判断B选项的关键是数形结合，判断C选项的关键是通过比较的最小值和的大小，判断D选项的关键是联立直线方程和双曲线方程，利用韦达定理、判别式来解决.
11．ABD
【分析】根据双曲线定义得到的轨迹方程为，，联立四个选项中的直线，求出交点横坐标，从而判断出答案.
【详解】则由题意得，
故点的轨迹为以为焦点，长轴长为2的双曲线的右支，
故，，
故点满足的轨迹方程为，，
A选项，联立与，解得，负值舍去，满足要求，A正确；
B选项，联立与，解得，负值舍去，满足要求，B正确；
C选项，联立与，解得，不合要求，C错误；
D选项，联立与，解得，负值舍去，D正确.
故选：ABD
12．
【分析】由待定系数法即可联立方程求解.
【详解】设双曲线的标准方程为，
代入点的坐标可得解得
所以双曲线的标准方程为．
故答案为：
13．
【分析】设和的内切圆的圆心分别为，首先根据双曲线和切线的性质可证得轴，然后根据三角形相似关系求出的关系，再根据题意求出的取值范围，从而可求出的范围，进而可求出范围.
【详解】由，得，则，
设圆与分别切于点，连接，
由圆的切线的性质可得，
由双曲线的定义可知，即，
设，则，得，所以，
因为轴，所以的横坐标也为，同理可证得的横坐标也为，
所以轴，且三点共线，
由三角形内切圆的性质可知分别为的角平分线，
所以，
所以∽，所以，
因为，所以，得，
因为双曲线的渐近线为，所以其倾斜角分别为和，
因为直线交双曲线右支于两点，所以直线的倾斜角的范围为，
设直线的倾斜角为，则，所以，
所以，
所以，
因为，所以，
令，
由对勾函数的性质可知在上递减，在上递增，
因为，，，
所以，
所以，
即的取值范围是为.
故答案为：
【点睛】关键点点睛：此题考查双曲线的几何性质，考查双曲线的焦点三角形问题，考查焦点三角形内切圆，解题的关键是根据双曲线的性和圆的切线的性质得到焦点三角形的圆心的横坐标与双曲线的顶点横坐标相同，考查数形结合的思想和计算能力，属于较难题.
14．/
【分析】先假设出直线方程，再代入双曲线方程，利用韦达定理得，，再结合有，联立解得的值，从而得解．
【详解】因为双曲线：，所以，
设直线方程为，代入双曲线方程消去得．
设，
因为，且，
所以，．
因为，所以，
所以，，
两式联立解得（负值舍去）．
故答案为：.
15．(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）由已知条件可得出，设点，则，计算出的值，即可得出曲线的方程；
（2）设点在点的左侧，则由题意得、，设、、，写出直线的直线方程，与双曲线的方程联立，求出点的坐标，可得出直线的方程，对直线的斜率是否存在进行分类讨论，化简直线的方程，即可得出直线所过定点的坐标.
【详解】（1）因为点在反比例函数的图象上，所以，
设点，因为点是线段的中点，所以，可得，
所以，整理得．
所以曲线的方程为．
（2）证明：不妨设点在点的左侧，
则由题意得、，
设、、，则直线的方程为，
直线的方程为，
联立得：，
当时，，
由韦达定理得：，解得：，，
同理得：，，
当的斜率存在时，即时，，
直线的方程为，即，
此时恒过点；
当时，、，此时直线的方程为，过点；
当时，、，此时直线的方程为，过点．
综上，直线过定点．
16．(1)；
(2).
【分析】（1）根据给定条件，利用双曲线定义求出方程即得.
（2）求出直线的方程，与双曲线方程联立求出弦长即得.
【详解】（1）依题意，双曲线的半焦距，实半轴长，则虚半轴长，
所以双曲线的标准方程为.
（2）依题意，直线的方程为，即，设
由消去并整理得，解得，
所以.
17．(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）根据双曲线过的点以及双曲线的焦点坐标，列方程求出，即可求得答案；
（2）联立直线与双曲线C的方程，可得根与系数关系式，过点A作MN的垂线，设该垂线与双曲线的另一个交点为H，结合根与系数的关系式化简，从而证明H为的高线的交点，即可证明结论.
【详解】（1）由题意知双曲线C：过点，右焦点F为，
故，即，
则，解得，
故双曲线C的方程为；
（2）联立，得，
满足，设,
则，
又，过点A作MN的垂线，设该垂线与双曲线的另一个交点为H，
则直线AH的方程为，
由，可得，解得（舍）或，
则，
则
，
故，即H为的高线的交点，
即H为的垂心，故的垂心在双曲线C上.
【点睛】难点点睛：本题考查双曲线方程的求解以及直线和双曲线位置关系中的证明问题，综合性强，难点在于证明的垂心在双曲线C上，解答时要通过证明H为的高线的交点来证明，计算过程较为复杂，需要计算十分细心.
18．(1)；
(2).
【分析】（1）设出点的坐标为，表示出，利用点再双曲线上，借助二次函数知识计算即可;
（2）由双曲线的定义及余弦定理表示出，结合面积公式计算即可.
【详解】（1）
设点的坐标为，
则，
因为，所以当时，取得最小值.
（2）由双曲线的定义知①,
由余弦定理得②,
根据①②可得，所以.
19．(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）设动点P的坐标为，根据题意由求解；
（2）易知当中有一条斜率不存在，另一条斜率为0时，不符合题意．设，则，与双曲线方程联立，求得，求解．
【详解】（1）设动点P的坐标为,
因为动点P与定点的距离和它到定直线的距离的比是常数，
所以，
化简，得，即曲线C的方程为．
（2）当中有一条斜率不存在，另一条斜率为0时，中有一条直线与曲线C不相交，所以不符合题意．
设，则，
联立方程解得，则．
用替换上式中的k即得．
因此，
即是定值．
精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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