数学试题部分
（本卷满分150分 共4页 考试时间120分钟）
一、单选题（本题共8小题 每小题5分 共40分）
1．设全集则图中阴影部分所表示的集合是（ ）
A． B． C． D．
2．已知集合，，，则集合的关系为（ ）
A． B．
C． D．
3．若集合，，则（ ）．
A． B．
C． D．
4．已知命题：，，使得，则为（ ）
A．，，使得
B．，，使得
C．，，使得
()
D．，，使得
5．已知命题，若命题p是假命题，则a的取值范围为（ ）
A．1≤a≤3 B．－1≤a≤3
C．1
A． B．
C． D．
7．为了衡量星星的明暗程度，公元前二世纪古希腊天文学家喜帕恰斯提出了星等这个概念.星等的数值越小，星星就越亮.1850年，由于光度计在天体光度测量的应用，英国天文学家普森又提出了亮度的概念，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足，其中星等为的星的亮度为.已知小熊座的“北极星”与大熊座的“玉衡”的星等分别为和，且当较小时，，则“玉衡”与“北极星”的亮度之比大约为（ ）
A． B． C． D．
8．实数，，满足且，则下列关系成立的是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题（本题共4小题 每小题5分 满分20分）
9．我们知道，如果集合，那么S的子集A的补集为且，类似地，对于集合A、B我们把集合且，叫做集合A和B的差集，记作，例如：，，则有，，下列解析正确的是（ ）
A．已知，，则
B．如果，那么
C．已知全集、集合A、集合B关系如上图中所示，则
D．已知或，，则或
10．设是实数集的一个非空子集，如果对于任意的（与可以相等，也可以不相等），且，则称是“和谐集”．则下列说法中为正确题的是（ ）
A．存在一个集合，它既是“和谐集”，又是有限集
B．集合是“和谐集”
C．若都是“和谐集”，则
D．对任意两个不同的“和谐集”，总有
11．下列命题为真命题的是（ ）
A．是的必要不充分条件
B．或为有理数是为有理数的既不充分又不必要条件
C．是的充分不必要条件
D．的充要条件是
12．已知，都为正数，且，则下列说法正确的是（ ）
A．的最大值为 B．的最小值为
C．的最大值为 D．的最小值为
三、填空题（本题共4小题 每小题5分 满分20分）
13．已知集合或，，若，则实数的取值范围 ．
14．已知全集且，，，
且，则的值为 ．
15．若不等式的一个充分条件为，则实数a的取值范围是 .
16．已知，且，则的最小值为 ．
四、解答题（本题共6小题 第17题10分 第18-22题12分 满分70分）
17．设全集，集合，.
(1)若，求，
(2)若，求实数的取值范围.
18．已知集合，，
(1)若，求；
(2)是否存在自然数k，b，使得？若存在，求出k，b的值；若不存在，说明理由．
19．已知集合，
(1)若，求；
(2)在①；②；中任选一个，补充到横线上，并求解问题．
若_____，求实数a的取值范围．
20．已知命题p：方程有两个相异实根，命题q：不等式恒成立.
(1)命题p是真命题，求实数a的取值范围；
(2)若命题p与命题q中有且仅有一个是真命题，求实数a的取值范围.
21．（1）．
（2）已知，，计算的值．
22．我们知道，声音通过空气传播时会引起区域性的压强值改变.物理学中称为“声压”.用P表示（单位：Pa（帕））：“声压级”S（单位：dB（分贝））表示声压的相对大小.已知它与“某声音的声压P与基准声压的比值的常用对数（以10为底的对数）值成正比”，即（k是比例系数）.当声压级S提高60dB时，声压P会变为原来的1000倍.
(1)求声压级S关于声压P的函数解析式；
(2)已知两个不同的声源产生的声压P1，P2叠加后得到的总声压，而一般当声压级S<45dB时人类是可以正常的学习和休息的.现窗外同时有两个声压级为40dB的声源，在不考虑其他因素的情况下，请问这两个声源叠加后是否会干扰我们正常的学习？并说明理由.（参考数据：lg2≈0.3）2024-2025连云港市灌南高级中学开学质量检测
数学参考答案（详解版）
1．B
【分析】图中阴影部分所表示的集合是由此能求出结果．
【详解】设全集,
则图中阴影部分所表示的集合是：．
故选：B．
2．B
【分析】用列举法表示各个集合，结合子集、真子集的定义进行判断即可.
【详解】因为，
，
，
所以，
故选：B
3．B
【分析】根据集合的交集运算求解.
【详解】因为，，
所以.
()
故选：B
4．C
【分析】由全称命题和特称命题的否定形式，可得解.
【详解】由全称命题和特称命题的否定形式，可得命题：，，
使得的否定为：，，使得.
故选：C .
5．B
【分析】由命题p是假命题，可知其否定为真命题，由此结合判别式列不等式，解得答案.
【详解】由题意:命题是假命题,
其否定: 为真命题,
即，解得，
故选：B
6．C
【分析】根据根式运算公式和指数运算公式判断各选项.
【详解】，A错；
，B错；
，C对；
，D错，
故选：C.
7．B
【分析】理解题意，把已知数据代入公式计算即可.
【详解】由题意，可得，
.
故选：B.
8．D
【分析】根据等式可变形为，利用完全平方可得大小，由得，做差，配方法比较大小.
【详解】由可得，则，
由可得，利用完全平方可得
所以，
，
，
综上，
故选：D
【点睛】本题主要考查了做差法比较两个数的大小，考查了推理与运算能力，属于难题.
9．BD
【分析】根据集合新定义判断A、B，应用韦恩图确定判断C，由求集合判断D.
【详解】A：由且，故，错误；
B：由且，则，故，正确；
C：由韦恩图知：如下图阴影部分，
所以，错误；
D：或，则或，正确.
故选：BD
10．ABC
【分析】A选项可举出实例；BC选项可进行推导出为真命题；D可举出反例.
【详解】A项中，根据题意是“和谐集”，又是有限集，故A项正确；
B项中，设，
则，所以集合是“和谐集”，故B项正确；
C项中，根据已知条件，可以相等，故任意“和谐集”中一定含有0，所以，故C项正确；
D项中，取都是“和谐集”，
但5不属于，也不属于，所以不是实数集，故D项错误．
故选：ABC．
11．BD
【分析】由已知，选项A，可举例当时，判断是否满足必要性；选项B，选项C，选项D，可根据条件和结论分别验证充分性和必要性.
【详解】选项A，必要性：，当时，此时，该选项错误；
选项B，，中有一个数为有理数时，不一定为有理数（如：），所以或为有理数不一定能推导出为有理数；为有理数时，，可能均为无理数（如：），所以，此时为有理数不一定能推导出或为有理数，所以该选项正确；
选项C，充分性：，必要性：，应为充要条件，所以该选项错误；
选项D，必要性：，
所以，
即，所以；
充分性：，则，该选项正确.
故选：BD.
12．ABD
【分析】利用基本不等式一一判断即可.
【详解】对于A：，，，
，当且仅当，即，时，等号成立，
即的最大值为，故A正确，
对于B：，，，
，
由A可知，，，当且仅当，时，等号成立，
即的最小值为，故B正确，
对于C：，，，
，当且仅当，即，时，等号成立，
显然不成立，所以的最大值取不到，故C错误，
对于D，，，，
，
当且仅当，即，时，等号成立，
即的最小值为，故D正确，
故选：ABD．
13．或
【分析】根据，利用数轴，列出不等式组，即可求出实数的取值范围.
【详解】用数轴表示两集合的位置关系，如上图所示，
或
要使，只需或，解得或．
所以实数的取值范围或.
故答案为：或
14．66
【分析】由题意，A、B的元素个数最多为2个，分别对集合元素个数（即）分类讨论，即可结合集合的整数元素求得对应的整数解，即可确定非负数
【详解】由题意，A、B的元素个数最多为2个.
，，
对，，如有根可设为 ；
对，，如有根可设为 .
（1）当，不符合；
（2）当，则，则，则，故或且有，即此时与矛盾，不符合；
（3）当，则，则，则，
i.当，不符合；
ii.当，，则，不符合；
iii.当，则，则，
综上，.
故答案为：66
15．
【分析】根据含绝对值不等式的解法，求解不等式的解集，结合充分条件，列出关系式，即可求解.
【详解】由不等式，
当时，不等式的解集为空集，显然不成立；
当时，不等式，可得，
要使得不等式的一个充分条件为，则满足，
所以，即
∴实数a的取值范围是.
故答案为：.
16．3
【分析】将拼凑成，再结合基本不等式即可求解.
【详解】原式变形可得，由得，
则，
当且仅当时取到等号，所以，，
故的最小值为3.
故答案为：3
17．(1)；或
(2)
【分析】（1）先代入化简集合，再利用集合的交并补运算即可得到结果；
（2）先由得到，再分类讨论与两种情况，结合数轴法即可得到所求.
【详解】（1）因为，所以，
又因为，，
所以，或，
故或.
（2）因为，所以，
因为，，
所以当时，，解得，此时；
当时，，
由数轴法得，解得，故；
综上：，即.
18．(1)
(2)存在，，
【分析】（1）根据题意得到，解得答案。
（2）题目转化为且，联立方程，考虑和两种情况，计算，得到，再联立方程得到，考虑两个不等式有解的情况，计算得到答案。
【详解】（1）当时，，联立方程得，解得或；
故.
（2），故且，
联立方程得，消去y得，，
由知，
当时，方程有解，故不符合题意；
当时，，即；
联立方程得，消去y得，，
，，即；
若有解，则，即；
若有解，则，即；
，，代入得，且，故且，
故；
综上所述，当，时，
19．(1)或；
(2)答案见解析.
【分析】（1）利用并集和补集的定义运算即得；
（2）若选①，则，分，讨论即得；若选②，可得，进而可得，即得.
【详解】（1）当时，集合，
又，或
所以或；
（2）选①，
由，得，
当时，，得，此时，符合题意；
当时，得，解得，
综上，实数a的取值范围是；
若选②，
由，得，则，
解得，
实数a的取值范围是．
20．(1)
(2)
【分析】（1）由判别式大于0即可求解；
（2）分p真q假和p假q真两种情况，列不等式组即可求解.
【详解】（1）∵命题p是真命题，
∴有两个相异实根，
∴，解得.
∴实数a的取值范围为
（2）∵命题p与命题q中有且仅有一个是真命题,
∴有p真q假和p假q真两种情况.
当q是真命题时，不等式恒成立，
即有，得，
由（1）可知，当p是真命题时，实数a的取值范围为，
当p真q假时，有，.
当p假q真时，有，得.
所以实数a的取值范围为.
综上：实数a的取值范围为
21．（1）1；（2）.
【分析】（1）根据给定条件，利用指数运算法则计算作答.
（2）利用指数式与对数式互化求出n，代入并结合对数运算法则求解作答.
【详解】（1）原式．
（2）由得：，而，
所以，.
22．(1)
(2)不会，理由见解析
【分析】（1）根据已知条件代入具体数据即可求出参数的值，从而确定解析式
（2）将声压级代入解析式求出声压，根据求出叠加后的声压，代入解析式可求出对应的声压级，与45比较大小，判断是否会干扰学习
【详解】（1）由题意得： ，，所以，所以声压级S关于声压P的函数解析式为
（2）不会干扰我们正常的学习，理由如下：
将代入得：，所以，解得：，即所以，代入得：，所以不会干扰我们正常的学习.
