数学试题部分
（本卷满分150分 共4页 考试时间120分钟）
一、单选题（本题共8小题 每小题5分 共40分）
1．已知集合，，若，则（ ）
A．0 B．1 C．2 D．4
2．已知集合，，若，则（ ）
A． B． C． D．
3．已知集合，，若中有2个元素，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
4．已知集合，则“”是“”的（ ）
A．必要不充分条件 B．充分不必要条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
5．命题，的否定是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
6．已知，则（ ）
A． B． C．1 D．
7．17世纪，在研究天文学的过程中，为了简化大数运算，苏格兰数学家纳皮尔发明了对数，对数的思想方法即把乘方和乘法运算分别转化为乘法和加法运算，数学家拉普拉斯称赞“对数的发明在实效上等于把天文
()
学家的寿命延长了许多倍”.已知，，设，则所在的区间为（ ）
A． B．
C． D．
8．已知，，且，则的最小值为（ ）
A．4 B． C．6 D．
二、多选题（本题共4小题 每小题5分 满分20分）
9．如图，已知矩形表示全集，是的两个子集，则阴影部分可表示为（ ）
A． B． C． D．
10．当一个非空数集满足“任意，则，，，且时，”，我们称就是一个数域，以下关于数域的说法.其中正确的选项有（ ）
A．0是任何数域的元素
B．若数域有非零元素，则
C．集合是一个数域
D．任何一个数域的元素个数必为奇数
11．下列说法中正确的有（ ）
A．命题，则命题的否定是
B．“”是“”的必要条件
C．命题“”的是真命题
D．“”是“关于的方程有一正一负根”的充要条件
12．已知，则下列不等式可能成立，也可能不成立的是 （ ）
A． B．
C． D．
三、填空题（本题共4小题 每小题5分 满分20分）
13．若集合，实数的值为
14．已知集合，或.若，则实数的取值范围是 ．
15．命题“，”为假命题，则实数a的取值范围为 .
16．已知“”与“”互为充要条件，则“”和“”的最小值之和为 ．
四、解答题（本题共6小题 第17题10分 第18-22题12分 满分70分）
17．已知集合，，且.
(1)当时，求；
(2)若，求m的取值范围.
18．已知集合，．
(1)若，求；
(2)在①，②，③中任选一个作为已知，求实数的取值范围．
19．已知集合，集合，集合，且．
(1)求实数a的值组成的集合；
(2)若，是的充分不必要条件，求实数m的取值范围．
20．计算下列各式：
(1)；
(2)
21．新能源开发能够有效地解决我国能源短缺和传统能源使用带来的环境污染问题，国家新能源政策的出台，给新能源产业带来了春天，已知江苏某新能源企业，年固定成本万，每生产台设备，另
需投入成本万元，若年产量不足台，则；若年产量不小于台，则，每台设备售价万元，通过市场分析，该企业生产的设备能全部售完.
(1)写出年利润（万元）关于年产量（台）的关系式；
(2)年产量为多少台时，该企业所获利润最大？
22．对于数集，，定义向量集，若对任意，存在使得，则称X是“对称的”.
(1)判断以下三个数集、、是否是“对称的”（不需要说明理由）；
(2)若，且是“对称的”，求的值；
(3)若“对称的”数集，满足：，，.求证：.2024-2025连云港市城头高级中学开学质量检测
数学参考答案（详解版）
1．A
【分析】根据集合的交集求解即可.
【详解】因为，，
所以，故.
故选：A
2．A
【分析】由，得到，再根据集合的运算得解.
【详解】易知，，由得，则，
所以，，
故选：A．
3．A
【分析】根据题意分析可知：，，，列不等式求解即可.
【详解】由中有2个元素可知：，，，
可得，解得，
所以实数的取值范围为.
故选：A.
4．B
【分析】根据给定条件，利用充分条件、必要条件的定义判断即得.
()
【详解】当时，，则；
反之，当时，或，解得或，
若，，满足，若，显然满足，
因此或，
所以“”是“”的充分不必要条件.
故选：B
5．A
【分析】根据全称存在量词命题的否定形式，直接求解.
【详解】全称存在命题的否定是存在量词命题，并且否定结论，
所以命题，的否定是，.
故选：A
6．B
【分析】把指数式化为对数式后，利用对数的运算性质进行计算即可.
【详解】由，可得，
所以
故选：B．
7．C
【分析】先求出的值，结合选项即可判断．
【详解】，
，
所以所在的区间为.
故选：C
8．D
【分析】利用乘“1”法及基本不等式计算可得.
【详解】因为，，且，
所以，
当且仅当，即，时取等号.
故选：D
9．AC
【分析】利用集合的交集、并集以及补集的定义，结合韦恩图分析各选项即可求得结果.
【详解】根据图示可知阴影部分表示的元素是属于集合，而不属于集合，
即在阴影部分区域内任取一个元素，则满足，且，即且；
因此阴影部分可表示为，即A正确；
且，因此阴影部分可表示为，C正确，
易知阴影部分表示的集合是和的真子集，即B错误，D错误.
故选：AC
10．AB
【分析】根据新定义进行验证.
【详解】对任意数域，只要有，则，A正确；
是的一个非零元素，则，因此，，依此类推所有正整
数是的元素，从而，B正确；
集合中，，但，因此不是数域，C错；
有理数集是一个数域，但有理数集中元素个数是无穷多个，D错；
故选：AB．
11．AD
【分析】根据全称命题与特称命题的否定、充分必要条件等逐项判断即可.
【详解】命题的否定是，故A正确；
不能推出，例如，但；也不能推出，例如，而；
所以“”是“”的既不充分也不必要条件，故B错误；
当时，，故C错误；
关于x的方程有一正一负根，
所以“”是“关于的方程有一正一负根”的充要条件，故D正确.
故选：AD.
12．ABD
【分析】AB作差法比较大小，举出可能成立和可能不成立的例子；C选项，利用基本不等式得到C一定正确；D选项，由基本不等式入手，举出可能成立和可能不成立的例子.
【详解】A选项，，故，
当时，，即，
当时，，即，
A可能成立，也可能不成立，
B选项，，
因为，所以，
当时，，
当时，，
故B可能成立，也可能不成立；
C选项，因为，所以，故，
所以，而，
故，即，C一定正确；
D选项，若，由基本不等式得，
两个等号成立的条件为，
但，不妨设，
此时，
当时，显然，
故可能成立，也可能不成立，D正确.
故选：ABD
13．
【分析】由已知中集合，根据集合相等对应元素分别相等，我们可以分若、、，三种情况进行分类讨论，结合集合元素的性质，即
可得到答案．
【详解】令,,，,,，
,,，，，
若，则，则,,，,,，满足要求；
若，则，而中元素，矛盾；
若，则，则,,，,,，满足要求；
故实数的值为.
故答案为：
14．或
【分析】根据题意，若，则，分情况讨论，进而求解，得出答案．
【详解】已知集合，或.
若，则，
当，即时，满足条件；
当时，即当时，若，则或，
解得（舍）或，
综上，实数的取值范围是或.
故答案为：或.
15．
【分析】原命题为假，则其否定为真，转化为二次不等式的恒成立问题求解.
【详解】命题“，”的否定为：“，
”，因为原命题为假命题，所以其否定为真，
所以当即时，恒成立，满足题意；
当即时，只需，
解得：.
综上所述，实数的取值范围是.
故答案为：.
16．23
【分析】根据配凑原式，使得相乘可得一个常数，再利用基本不等式即可求解.
【详解】，
当且仅当，即时取等号；
，
当且仅当，即，
解得或时取等号，
所以和的最小值之和为5+18=23.
故答案为：23.
17．(1)；
(2).
【分析】（1）根据已知条件求得集合，再求即可；
（2）由集合的包含关系，列出满足的不等式即可求得结果.
【详解】（1）当时，，因为，
所以.
（2）由题可知，，因为，
所以且，解得
所以m的取值范围为.
18．(1)
(2)选①②③，答案均为.
【分析】（1）根据交集的概念求出答案；
（2）选①②③均可得到，从而得到不等式组，求出答案.
【详解】（1）时，，
故；
（2）选①，，则，
由于，故，
故，解得，
故实数的取值范围是；
选②，，故，
由于，故，
故，解得，
故实数的取值范围是；
选③，，故，
由于，故，
故，解得，
故实数的取值范围是.
19．(1)
(2)
【分析】（1）先求出集合，然后根据得到，由此分析集合并求解出的值，则结果可知；
（2）先求解出，然后将问题转化为“是C的真子集”，由此列出关于的不等式，则结果可求.
【详解】（1）因为，
由，知，则或或，
当时，所以，
当时，所以，
当时，所以，
所以的取值集合为．
（2）由题意得，，故，
又是的充分不必要条件，
所以是的真子集，于是，
解得：，经检验符合条件，
综上，实数m的取值范围是．
20．(1)
(2)
【分析】（1）根据指数幂的运算与根式的性质化简运算即可；
（2）根据指对互化可得，再根据对数运算性质及对数恒等式化简运算即可.
【详解】（1）
（2）设，则，所以
所以
21．(1)
(2)当年产量为台时，该企业所获利润最大为万元.
【分析】（1）分、两种情况讨论，根据年利润总收入另外投本固定投本，可得出关于的函数关系式；
（2）分别求出当、时，的最大值，比较大小后可得出结论.
【详解】（1）解：依题意，若年产量不足台，另外投本，固定投本万，
总收入万元，故利润；
若年产量不小于台，另外投本，固定投本万，
总收入万元，故利润.
故.
（2）解：当，时，，
此时，当时，；
当，时，
，
当且仅当时，即当时，等号成立，
因为，故时，利润取得最大值，，
综上可知，当年产量为台时，该企业所获利润最大为万元.
22．(1)是，是，否
(2)
(3)证明见解析
【分析】（1）由题意直接判断即可；
（2）由题意可得，因为，所以中必有一个负数一个正数，分类整合即可求解；
（3）取，设，得到，假设，推导出异号，从而之中恰有一个为，最后分类研究得出即可.
【详解】（1）由题意可判断：是，是，否
（2）因为，且是“对称的”，
所以可取，设满足，即，
因为，所以中必有一个负数一个正数，
而X中只有一个负数，所以必有一个是，
若则，但且，与题意矛盾；
若则，其中，当时，，不符合题意；
当时，，符合题意；当时，，不符合题意；
所以.
（3）证明：取，设，满足，
所以，所以异号，
因为是X中的唯一的负数，
所以中之一为，另一个为，所以；
假设，其中，则，
选取，并设，满足，
所以，则异号，从而之中恰有一个为，
若，则，而正数，故即，与矛盾；
若，则，矛盾，
所以当时，，
综上，得证.
【点睛】关键点点睛：取，设，得到，假设，推导出异号，从而之中恰有一个为，最后分类研究得出即可.分类整合进行推理判断是解决第三问的关键.
