高二上学期北师大版(2019)开学摸底考试数学试卷 A卷
【满分：150】
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.
1.已知复数z满足,则( )
A. B. C. D.
2.在中，，，点M在边上，且满足，则( )
A. B.1 C.2 D.
3.已知锐角,满足,则( )
A. B. C. D.
4.设l,m是不同的直线,,是不同的平面,则下列命题正确的是( )
A.若,,,则 B.若,,,则
C.若,,,则 D.若,,,则
5.在中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,向量,.若,则角C的大小为( )
A. B. C. D.
6.南宋晚期的龙泉窑粉青釉刻花斗笠盏如图1所示,这只杯盏的轴截面如图2所示,其中光滑的曲线是抛物线的一部分,已知杯盏盛满茶水时茶水的深度为,往杯盏里面放入一个半径为的小球,要使小球能触及杯盛的底部（顶点）,则最大值为( )
A. B. C. D.
7.已知函数的部分图象如图所示,且,则( )
A. B.
C. D.
8.已知直三棱柱的各顶点都在同一球面上，且，，，，则此球的表面积等于( )
A. B. C. D.
二、选择题：本题共3个小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得补部分分，有选错的得0分.
9.已知,,则下列结论正确的是( )
A. B.C. D.
10.下列说法正确的是( )
A.直线的倾斜角范围是
B.若直线与直线互相垂直,则
C.过两点,的直线方程为
D.经过点且在x轴和y轴上截距都相等的直线方程为
11.如图，在棱长为2的正方体中，P在线段上运动（包括端点），下列选项正确的有( )
A.
B.
C.直线与平面所成角的最大值是
D.的最小值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.已知向量,,若,则___________.
13.已知三棱锥的四个顶点在半径为的球面上，是边长为3的等边三角形，平面平面，平面平面，则________.
14.已知双曲线，圆与x轴交于A，B两点，M，N是圆O与双曲线在x轴上方的两个交点，点A，M在y轴的同侧，且AM交BN点C，若，则双曲线的离心率为______.
四、解答题：本题共5分，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15.（13分）回答下列问题.
(1)已知,,求的值;
(2)已知,求的值.
16.（15分）已知圆C与两坐标轴的正半轴都相切，且截直线所得弦长等于2.
（1）求圆C的标准方程；
（2）求圆C截直线所得弦长；
（3）若是圆C上的一个动点，求的最小值.
17.（15分）已知向量，，，.
（1）若A，B，C三点共线，求m的值；
（2）若四边形为矩形，求的值.
18.（17分）如图,在直三棱柱中,D为AC中点.
(1)求证：平面;
(2)若,,且,求三棱锥的体积.
19.（17分）如图,单位圆与x轴交于A,B两点,C为圆上一动点,.
（1）若,设点D为线段OA上的动点,求的最小值:
（2）若,向量,.求的最大值及对应的值.
答案以及解析
1.答案：B
解析：由,得,即,解得,所以.
2.答案：B
解析：由已知得
故选B
3.答案：A
解析：因为,
所以,
又因为,为锐角,则,,
而在上单调递减,从而,即.
故选:A.
4.答案：B
解析：对于A,若,,,此时l与m可能相交,如下图所示：
对于C与D,若,,,则与均可能发生,如下图所示：
对于B,若,,则,
又因为,故.
故选：B.
5.答案：C
解析：在中,由,,,得,
整理得,由余弦定理得,而,
所以.
故选：C.
6.答案：C
解析：以抛物线的顶点为坐标原点,对称轴为y轴,建立如图所示的平面直角坐标系,依题意可得A的坐标为,设抛物线的标准方程为,则,
解得,故该抛物线的标准方程为,
设小球大圆圆周方程,
联立方程组,解得或,
要使小球能触及杯盛的底部（顶点）,则小球与杯子有且只有一个交点,
就是抛物线的顶点,所以或无效,
考虑到抛物线不可能在x轴下方,所以不成立,即,
所以,解得,所以r最大值为.
故选：C.
7.答案：C
解析：由图可知,,解得,函数,
又由,,,,
只有时满足题意,可得,又由,可得,
故有,
故选：C.
8.答案：B
解析：如图底面三角形的外心是，，
在中，，
可得，
由正弦定理可得外接圆半径，
设此圆圆心为，球心为O，在中，
易得球半径，
故此球的表面积为
故选：B.
9.答案：ABD
解析：由①,以及,
对等式①两边取平方得,②,
,,由②, ,
由①②,可以看作是一元二次方程的两个根,
解得, ,
故A正确,B正确,C错误,D正确;
故选：ABD.
10.答案：AC
解析：对A:直线,其斜率,设直线倾斜角为,
故可得,则,故A正确;
对B:直线与直线互相垂直,则,
解得或,故B错误;
对:过两点,的直线方程为,故C正确;
对D:经过点且在x轴和y轴上截距都相等的直线方程为和,故D错误;
故选:AC.
11.答案：ACD
解析：对于选项A，由正方体性质，易得，，
因为，平面，
所以平面.
因为平面，所以，故A正确；
对于选项B，当P与B重合，则此时与夹角为，故B错误；
对于选项C，如图连接交于H，
因为平面，平面，所以.
因为，，平面，
所以平面，即平面，
所以为直线与平面所成角，所以.
所以当最小时最大，即时，最小.
由，可得，
此时，故的最大值为，
直线与平面所成角的最大值是，故C正确；
对于选项D，如图，将平面与平面沿翻折到同一个平面内
由题意，，，，，，
从而，，故为平行四边形.
又，故为矩形.
从而当P为与交点时，最小，此时，故D正确.
故选:ACD.
12.答案：
解析：因为,所以,解得.
13.答案：4
解析：将三棱锥转化为正三棱柱，设正三棱柱的外接球球心为，半径为，
取,中点为D,E，连接,交于，
因为是等边三角形，所以，，
平面平面，平面平面，面，则面，
平面平面，平面平面，面，则面，
因为平面，平面，所以，，
因为相交，且都属于平面，所以平面，
在中，外接圆半径，
所以由，得，解得，
故答案为：4
14.答案：
解析：由题意可知，故不妨设，，即为双曲线的焦点，，
因为可得
，即
故M点为的中点，根据双曲线的对称性可知N为的中点，
又因为，故，同理，即为正三角形，
故，，由点M在双曲线左支上，故，则.
故答案为：.
15.答案：(1)
(2)
解析：(2)因为且,所以,则,
又由.
(2)由,
可得,
又由.
16.答案：（1）；
（2）；
（3）21
解析：（1）由已知圆与两坐标轴的正半轴都相切，得圆C的圆心在直线上，
所以圆C的直径为，即.
设圆心C的坐标为，
则，所以圆C的标准方程为.
（2）因为圆心到的距离，
所以圆C截直线所得弦长为.
（3），
因为表示点与点之间的距离，
又点在圆C上，所以的最小值为，
所以z的最小值为.
17.答案：（1）；
（2）
解析：（1）因为，，，
所以，.
又A，B，C三点共线，所以，所以，
解得.
（2）由，
，
若四边形为矩形，则.即，
解得.
由，得
解得，.所以.
18.答案：(1)证明见解析;
(2).
解析：(1)在直三棱柱中,连接交于点O,连接OD,
由四边形是平行四边形,得O是的中点,而D为AC中点,
则,又平面,平面,
所以平面.
(2)由,平面,平面,则平面,
于是点,C到平面的距离相等,
由,,,D是AC的中点,得,
又,平面ABC,
所以三棱锥的体积.
19.答案：（1）;
（2）最大值为,或
解析：（1）依题意,,设,,
则,
当时,,当且仅当时取等号,
所以当时,取得最小值.
（2）依题意,,而,
于是
,由,得,
当或,即或时,,,
所以的最大值为,此时或.
