江苏地区一轮复习模拟题汇编：平面解析几何-2025年高考数学核心考点突破
一、单选题
1．（23-24·江苏南京·模拟）方程所表示的直线（ ）
A．恒过点 B．恒过点
C．恒过点和点 D．恒过点和点
2．（23-24·江苏南京·二模）已知直角梯形，且，，，，则过其中三点的圆的方程可以为（ ）
A． B．
C． D．
3．（23-24·江苏南京·三模）设圆：与圆：，点，分别是，上的动点，为直线上的动点，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
4．（2024·江苏苏州·三模）已知过抛物线的焦点的直线与相交于两点，轴上一点满足，则（ ）
A．1 B．2 C． D．
5．（23-24·江苏南京·一模）已知为椭圆的左焦点，都在此椭圆上，是菱形，则此椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
6．（23-24·江苏南京·模拟）已知是圆上两点，且，直线上存在点使得，则的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
7．（23-24·江苏南京·二模）在平面直角坐标系中，点是椭圆上的动点，椭圆的左、右焦点分别为，，则的最大值为（ ）
A． B．2 C． D．
8．（2024·江苏扬州·模拟预测）双曲线具有光学性质，从双曲线一个焦点发出的光线经过双曲线镜面反射，其反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点．若双曲线E：的左、右焦点分别为，，从发出的光线经过图中的A，B两点反射后，分别经过点C和D，且，，则E的离心率为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．（23-24·江苏南京·二模）已知是坐标原点，直线过抛物线的焦点，且与交于两点点在第一象限，且直线与的准线交于点，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．若，则
C．若，则
D．为钝角
10．（23-24·江苏扬州·模拟）已知圆，则（ ）
A．圆与直线必有两个交点
B．圆上存在4个点到直线的距离都等于1
C．圆与圆恰有三条公切线，则
D．动点在直线上，过点向圆引两条切线，为切点，则四边形面积最小值为2
11．（23-24·江苏南京·模拟）如图，是椭圆与双曲线在第一象限的交点，且共焦点的离心率分别为，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．若，则
C．若，则的最小值为2
D．
三、填空题
12．（23-24·江苏南京·模拟）设是直线上的动点，过作圆的切线，则切线长的最小值为 ．
13．（23-24高二下·上海·模拟）该椭圆的左右焦点为，点是上一点，满足，则的面积为 ．
14．（2025·江苏苏州·模拟预测）已知抛物线的焦点为，满足若过点的直线交于，则有．在上有三点构成等边三角形，其中心的轨迹记为，则的轨迹方程为 ，试给出一圆，使得对上任意一点，过点作的两条切线分别交于不同于的点，则必为的切线： ．
四、解答题
15．（23-24·江苏无锡·模拟）已知圆C过三点．
(1)求圆C的方程；
(2)斜率为1的直线l与圆C交于M，N两点，若为等腰直角三角形，求直线l的方程．
16．（23-24·江苏南京·模拟预测）已知椭圆C：的离心率为，且过点．
(1)求椭圆C的方程；
(2)过右焦点F的直线l与椭圆C交于A，B两点，若，求的面积．
17．（2024·江苏·三模）已知为等轴双曲线上一点，且到的两条渐近线的距离之积等于.
(1)求的方程；
(2)设点在第一象限，且在渐近线的上方，分别为的左 右顶点，直线分别与轴交于点.过点作的两条切线，分别与轴交于点（在的上方），证明：.
18．（2024·江苏南京·二模）已知抛物线与双曲线（，）有公共的焦点F，且．过F的直线1与抛物线C交于A，B两点，与E的两条渐近线交于P，Q两点(均位于y轴右侧).
(1)求E的渐近线方程；
(2)若实数满足，求的取值范围．
19．（23-24·江苏南京·模拟）如图在平面直角坐标系中，分别是双曲线的左右顶点，动点在双曲线的右支上且位于第一象限，直线和分别与轴交于点，当点坐标为时，直线刚好与双曲线的一条渐近线垂直.
(1)求双曲线的标准方程；
(2)是否存在定点，使得以为直径的圆过点，若存在求出定点坐标，若不存在请说明理由；
(3)求四边形的面积的取值范围.
参考答案：
1．A
【分析】将方程化为，令的系数等于0，即可得到答案.
【详解】，，
令，解得，
即方程所表示的直线恒过定点．
故选：．
2．C
【分析】直接将点的坐标代入检验即可逐一判断各个选项.
【详解】对于A，，的坐标都不满足圆的方程，
即圆不可能过四个点中的三个点，故A不符合题意；
对于B，，的坐标都不满足圆的方程，
即圆不可能过四个点中的三个点，故B不符合题意；
对于C，，，的坐标都满足圆的方程，
的坐标不满足圆的方程，
即圆过四个点中的三个点，故C符合题意；
对于D，，的坐标都不满足圆的方程，
即圆不可能过四个点中的三个点，故D不符合题意.
故选：C.
3．C
【分析】分析发现两圆心和的连线恰好垂直于直线，从而得出当与和共线时最小，从而得解.
【详解】
因为圆：的标准方程为；
圆：的标准方程为：
所以和的圆心坐标分别为、，半径，，
所以直线的斜率，而直线的斜率为1
所以直线与直线垂直，如图，
所以当与和共线时最小，此时，
又此时，，
所以最小值为.
故选：C
4．D
【分析】利用给定条件找到变量之间的关系，结合平面向量的坐标表示求解即可.
【详解】
设，，，
联立方程组得到，消可得，
解得，因为，所以，
而，
而，
解得，此时，，
，故D正确.
故选：.
【点睛】关键点点睛：本题考查解析几何，解题关键是合理利用给定条件消去变量，然后利用得平面向量的坐标表示结合韦达定理到所要求的定值即可．
5．B
【分析】设右焦点为，因为四边形是菱形，可得，，根据，，又，推得，计算得答案；
【详解】
设右焦点为，连接，因为四边形是菱形，则关于轴对称，
所以，
因为和是等边三角形，
所以，在中，，
所以，又，
所以，所以
故选：B.
6．A
【分析】根据题意分析可知：点的轨迹是以原点为圆心，半径为的圆，且直线与圆有交点，结合直线与圆的位置关系列式求解即可.
【详解】由题意可知：圆的圆心为，半径，
设中点为，则，
且，可得，
又因为，可知为边长为2的等边三角形，
则，可得，
可知点的轨迹是以原点为圆心，半径为的圆，
因为直线上存在点使得，
即直线与圆有交点，
可知圆心到直线的距离，解得：.
故选：A.
【点睛】方法点睛：求圆的方程有两类方法：
（1）几何法，通过研究圆的性质、直线和圆、圆与圆的位置关系，进而求得圆的半径和圆心，得出圆的方程；
（2）代数法，求圆的方程必须具备三个独立条件，利用“待定系数法”求出圆心和半径．
7．D
【分析】根据椭圆定义以及点点距离即可求解.
【详解】依题意，设，而，，
则
，
要使最大，则在右半椭圆上，故，
，此时点位于右顶点.
故选：D
8．C
【分析】使用题设条件得到的比值，然后引入参数并得到等量关系，最后使用余弦定理即可得到齐次方程并求解.
【详解】连接，根据题意，三点共线，三点共线.
而，且由知，
故.
所以，
故可设，，.
由于，
故.
从而，，故，.
而，结合余弦定理得.
故，解得，所以.
故选：C.
【点睛】关键点点睛：本题的关键在于在求得线段间比例后引入参数，方便后续的研究.
9．AD
【分析】根据直线过抛物线的焦点求出可判断A；设直线，与抛物线方程联立，利用可判断B；过作，由抛物线的定义可知，根据得直线的倾斜角可判断C；直线方程与抛物线方程联立，利用韦达定理代入的坐标表示，再利用向量的夹角公式可判断D.
【详解】对于A，由抛物线可得准线方程为，
又直线过抛物线的焦点，
则，所以，解得，故A正确；
对于B，由A选项可得，且焦点，当时，设直线，
设，，则，整理得，所以，
所以，故B错误；
对于C，过作，垂足为，由抛物线的定义可知，
若，则，则，
则直线的倾斜角为，则，故C错误；
对于D，由A选项可得，且焦点，因为直线
，则，整理得
，所以，
因为，所以
，
所以，所以为钝角，故D正确.
故选：AD.
10．AC
【分析】根据直线切过定点切该定点在圆内可判断A；求出圆的圆心到直线的距离可判断B；将圆化成标准形式为，转化为两圆外切可判断C；由，且当最小时最小时可判断D.
【详解】对于A，将直线整理得，由，
知，所以直线过定点，因为，
所以该定点在圆内，故A正确；
对于B，圆的圆心到直线的距离为，
所以过圆心且与直线平行的直线与圆相交有两个点到直线的距离为1，
与直线平行且与圆相切，并且与直线在圆心同侧的直线到的距离为1，
所以只有三个点满足题意，故B错误；
对于C，将圆化成标准形式为，
因为两圆有三条公切线，所以两圆外切，所以，
解得，故C正确；
对于D，连接，因为为切点，所以，
所以，且当最小时，最小，
所以当与直线垂直时，，又因为半径为2，
所以，
所以，故D错误.
故选：AC.
11．ABD
【分析】选项A：利用双曲线和椭圆的定义求解即可.选项B：利用余弦定理结合离心率求解即可，选项C：利用余弦定理结合基本不等式求解即可，选项D：利用半角公式结合弦化切求解即可.
【详解】对于A，椭圆，双曲线，
由椭圆 双曲线的定义可知，，解得，故A正确；
对于B，令，
由余弦定理得，
当时，，即，因此，故B正确；
当时，，即，有，
而，则有，解得，故C错误；
，
，解得，
而，因此，故D正确.
故选：ABD.
12．
【分析】由题意得当最小时，连线与直线垂直，由点到直线的距离公式和勾股定理可求得答案．
【详解】，
圆心，半径．
设切点为，
由题意可知，点到圆的切线长最小时，，
圆心到直线的距离，
切线长的最小值为：．
故答案为：．
13．9
【分析】解法一：由椭圆方程求出，设，然后由椭圆的定义结合已知条件列方程可求出，从而可求出的面积，解法二：利用焦点三角形的面积公式求解
【详解】解法一：由，得，则，
设，则由题意得
，
由，得，
所以，得，
所以的面积为
解法二：由，得，
因为
所以由焦点三角形的面积公式得．
故答案为：9
14． （答出一种特殊情况即可）
【分析】（1）先确定的方程，然后利用等边三角形的性质计算轨迹方程；
（2）先给出圆的方程，再计算验证即可.
【详解】
（1）设直线交的准线于点，据已知有，故.
而点都在线段外，故重合，从而在的准线上，所以的准线是.
这就得到，所以的方程是.
设上的三个不同点，，构成等边三角形，设该三角形的重心为，则.
所以的坐标分别是.
故，.
得，
.
两式分别相加，相减，得，.
故可得方程组.
展开即得.
将第一式减去第二式的倍，得，从而.
再由第二式得，两式作差即有.
所以，即.
所以或.
若，则由知，所以重合，这不可能.
故一定有，即.
另一方面，若，则取方程的一根后，根据上面类似的计算知.
取的坐标为，则等边三角形的顶点在上，且中心为.
综上，上的等边三角形的中心的轨迹方程为.
（2）我们设圆的方程为.
则对上的点，设过该点的与圆相切，则根据距离公式有.
从而，即.
设满足条件的分别为，则，.
同时，该直线与的另一个交点满足，从而由韦达定理知.
设，，则，.
而直线的方程为，即，从而圆心到直线的距离.
而，故，
所以，得.
且
.
故，得.
从而，
这就得到.
所以直线到圆的距离恰等于其半径，故是其切线.
故答案为：，.
【点睛】关键点点睛：本题的关键点在于对抛物线方程的使用和计算.
15．(1)
(2)或
【分析】（1）根据圆过点，得到圆心在上，设圆心坐标，再由圆心到圆上的点的距离相等求解；
（2）设直线l的方程为：，根据为等腰直角三角形，由圆心到直线的距离求解.
【详解】（1）解：因为圆过点，故圆心在上，
设圆心坐标，
则，解得．
故其半径．
故圆的方程为：；
（2）设直线l的方程为：，
因为为等腰直角三角形，
∴圆心到直线的距离，即，
解得或－8，所以l：或．
16．(1)
(2)
【分析】（1）由离心率的值及椭圆过的点的坐标，可得，的值，即求出椭圆的方程；
（2）设直线的方程，与椭圆的方程联立，可得两根之和及两根之积，由，可得参数的值，求出点到直线的距离及弦长的值，进而求出的面积．
【详解】（1）由题意可得，解得，，
所以椭圆的方程为：；
（2）由（1）可得右焦点，
当直线的斜率为0时，则直线的方程为，
因为，可得，，
所以，，，显然与，与已知条件矛盾，
所以直线的斜率不为0，
由于，故设直线的方程为，且，
设，，
联立，整理可得：，
可得①,②
因为，即,,，
可得，即，③
将③代入①，可得，，
再代入②可得：，可得，
点到直线的距离，
弦长，
所以
由于，且，所以．
，
17．(1)
(2)证明见详解
【分析】（1）设，根据等轴双曲线概念得，利用点到直线的距离公式即可求解.
（2）设，再由坐标得到直线的方程，继而可得坐标，设过且与双曲线相切的直线为，联立双曲线与直线方程，由及韦达定理可得坐标，继而可得，即，即，即可求证.
【详解】（1）设，
为等轴双曲线上一点，
，
双曲线渐近线为，
，
，
的方程为.
（2）设，
直线方程为，直线的方程为，
，
设过且与双曲线相切的直线为，
联立，
得，
，
即，
设直线的斜率分别为，则，
方程，
，
同理方程，
，
，
，
，
，
，
.
【点睛】关键点点睛：本题考查双曲线的性质及直线与双曲线的相切关系，解题关键是直线与双曲线的相切关系.本题中设过且与双曲线相切的直线为，联立双曲线与直线方程，由及韦达定理可得，则，又，得，即，即，即可求证.
18．(1)
(2)
【分析】（1）由两曲线有公共的焦点F，且，得，，可求渐近线方程；
（2）通过设直线方程，联立方程组，借助韦达定理，表示出和，由求的取值范围．
【详解】（1）抛物线与双曲线（，）有公共的焦点F，
设双曲线E的焦距为，则有，
又，则.
由，得，
所以E的渐近线的方程为
（2）设，，
1与E的两条近线交于P，Q两点均位于y轴右侧，有，
由，解得，，
.
设， 由，消去得，
则有，
，
由，，
有，即，
由，有，所以.
【点睛】方法点睛：
解答直线与圆锥曲线的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系，涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形，强化有关直线与圆锥曲线联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．
19．(1)
(2)不存在，理由见解析
(3)
【分析】(1)直线刚好与双曲线的一条渐近线垂直，可得到与的关系，又因为当点坐标为在双曲线上，代入可解得；
(2)设出点坐标，假设存在定点定点且坐标为，算出直线方程，直线方程，解出点坐标，根据为直径的圆过点，所以，代入化简即可求解；
(3) 四边形的面积等于三角形与面积之和，且两个三角形全等，化为求两个三角形面积和，代入化简，根据动点在双曲线得右支上且位于第一象限，即可求得.
【详解】（1）因为当点坐标为时，
直线刚好与双曲线的一条渐近线垂直，
，又因为渐近线斜率为，
所以
又因为在双曲线上，代入解之可得，
所以双曲线为；
（2）因为双曲线为，所以，设,
所以，因为点在双曲线的右支上且位于第一象限，
直线和分别与轴交于点，
直线方程为，直线方程为，
令可得点坐标，所以，
假设存在定点，使得以为直径的圆过点，所以，
即，
所以不存在定点满足.
（3），
根据动点在双曲线得右支上且位于第一象限，
所以，则，，
所以
.
所以四边形的面积的取值范围为.
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