【高中数学人教A版（2019）必修第一册同步测试】第二章 一元二次函数、方程和不等式
一、单项选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.
1．把121写成两个正数的积，则这两个正数的和的最小值为( )
A.11 B.22 C.44 D.2√11
2．对于实数a，b，c，下列说法正确的是( )
A.若，则 B.若，则
C.若，则 D.若，则
3．若集合，，则( )
A. B. C. D.
4．若两个正实数x,y满足且存在这样的x,y使不等式有解,则实数m的取值范围是( )
A.或 B.
C.或 D.
5．已知正实数a，b满足，若不等式对任意正实数a，b以及任意实数x恒成立，则实数m的取值范围是( )
A. B. C. D.
6．“不等式在R上恒成立”的一个必要不充分条件是( )
A. B. C. D.
7．已知实数a，b满足，则下列不等式中正确的是( )
A. B. C. D.
8．设全集,集合,集合,则( )
A. B. C. D.
二、多项选择题：本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求. 全部选对得 6 分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.
9．设正实数x，y满足，则下列说法正确的是( )
A.的最小值为2 B.的最小值为1
C.的最大值为4 D.的最小值为2
10．已知函数+2，则( )
A.的值域为
B.直线是曲线的一条切线
C.图象的对称中心为
D.方程有三个实数根
11．已知，，且，则( )
A. B. C. D.
三、填空题：本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12．，恒成立，则实数a的取值范围是________.
13．若，，则下列不等关系中不一定成立的序号是________.
①；②；③；④；⑤；⑥.
14．当时,的最大值为________.
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．设函数
(1)若不等式对一切实数x恒成立，求a的取值范围；
(2)解关于x的不等式：.
16．已知函数,.
（1）若,求不等式的解集;
（2）若,对,,使得成立,求b的取值范围.
17．已知a，b，c均为正数，且.
（1）是否存在a，b，c，使得，说明理由；
（2）证明：.
18．(1)用篱笆围一个面积为的矩形菜园，当这个矩形的边长为多少时，所用篱笆最短 最短篱笆的长度是多少
(2)用一段长为的篱笆围成一个矩形菜园，当这个矩形的边长为多少时，菜园的面积最大 最大面积是多少
19．建造一个容积为，深为的长方体无盖水池，如果池底和池壁的造价分别为每平方米120元和80元，那么水池的最低总造价是多少元？
参考答案
1．答案：B
解析：设，，，则，
当且仅当时，等号成立.
2．答案：C
解析：若或，或显然无意义.故A选项错误；
若，则.故B选项错误；
因为，所以各项同时乘以a得.故C正确；
若，则.故D错误.故选C.
3．答案：B
解析：，，，
故选：B.
4．答案：A
解析：由题意,,
当且仅当,即,时等号成立.
故若存在这样的x,y使不等式有解.
即或.
故选：A.
5．答案：C
解析：由题意得.由基本不等式，得，当且仅当，即，时等号成立.又，所以，则，因此实数m的取值范围是.故选C.
6．答案：C
解析：“不等式在R上恒成立”，
显然不满足题意，
，解得，
对于A，是充要条件，故A错误；
对于B，因为推不出，故B错误；
对于C，因为，反之不能推出，故C正确；
对于D，因为推不出，故D错误.
故选：C.
7．答案：A
解析：，则,故A正确;
当，时,满足,但，，,故BCD错误.
故选:A.
8．答案：D
解析：因为,所以,所以,
因为,所以,所以,
所以.
故选：D.
9．答案：AD
解析：对于A，因为，，，
所以，
当且仅当时等号成立，
所以的最小值为2，故A正确；
对于B，，当且仅当时等号成立，
所以的最大值为1，故B错误；
对于C，，当且仅当时等号成立，
所以，即的最大值为2，故C错误；
对于D，，当且仅当时等号成立，
所以的最小值为2，故D正确.
故选:AD.
10．答案：BD
解析：A.时，，当时等号成立，当时，，当时等号成立，所以的值域为.故A错误.
B.令，得，又，所以图象在点处的切线方程是，即，又，所以图象在点处的切线方程是，即，故B正确.
C.的图象的对称中心是，所以的图象的对称中心是，将其图象向右平移1个单位长度得的图象，对称中心是，故C错误.
D.由，解得或，当时，得，有1个实数根，当时，或，有2个实数根，所以共有3个实数根，故D正确.故选BD.
11．答案：ACD
解析：A.，当且仅当时，等号成立.正确.
B.，当且仅当时，等号成立.错误.
C.，当且仅当，即时，等号成立.正确.
D.，即，当且仅当时，等号成立.正确.
故选ACD
12．答案：
解析：因为，整理得，
当时，则不恒成立，不合题意；
当时，则，解得；
综上所述：实数a的取值范围是.
故答案为：.
13．答案：②⑤⑥
解析：，又，，
，所以①正确.
若，，
，可以设，，，，则，所以②不一定成立.
，故③正确.
，，，故④正确.
，可以设，，，，则没有意义，故⑤不一定成立.
，可以设，，，，则，故⑥不一定成立.
故答案为：②⑤⑥.
14．答案：1
解析：因为,所以,则,
所以,当且仅当即时,等号成立,
所以的最大值为1.
故答案为:1
15．答案：(1)；
(2)答案见解析
解析：（1）对一切实数x恒成立，等价于，恒成立.
当时，不等式可化为，不满足题意.
当，有，即，解得
所以a的取值范围是.
（2）依题意，等价于，
当时，不等式可化为，所以不等式的解集为.
当时，不等式化为，此时，所以不等式的解集为.
当时，不等式化为，
①当时，，不等式的解集为；
②当时，，不等式的解集为；
③当时，，不等式的解集为；
综上，当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为.
16．答案：（1）时,不等式的解集为时,不等式的解集为;时,不等式的解集为
（2）
解析：（1）令,解得或,
①当时,,不等式的解集为,
②当时,,不等式的解集为,
③当时,,不等式的解集为.
综上所述：时,不等式的解集为时,不等式的解集为;时,不等式的解集为.
（2）由,
代入整理得,令,
①当,即时,对任意,.
所以此时不等式组无解.
②当,即时,对任意,.
所以解得
③当,即时,对任意,.
所以.此时不等式组无解.
④当,即时,对任意,.
所以此时不等式组无解.
综上,实数b的取值范围是.
17．答案：（1）不存在，理由见解析
（2）证明见解析
解析：（1）不存在a，b，c，使得.理由如下：
因为a，b，c都是正数，且，所以，
所以
，
当且仅当，即，时取等号，
即的最小值为，
所以不存在a，b，c，使得.
（2）因为
，当且仅当时等号成立，
所以.
18．答案：(1)当这个矩形菜园是边长为10m的正方形时，所用篱笆最短，最短篱笆的长度为40m
(2)
解析：设矩形菜园的相邻两条边的长分别为xm，ym，篱笆的长度为.
(1)由已知得，由，可得，所以，
当且仅当时，上式等号成立.
因此，当这个矩形菜园是边长为10m的正方形时，所用篱笆最短，最短篱笆的长度为40m；
(2)由已知得，则，矩形菜园的面积为.
由，可得，
当且仅当时，上式等号成立.
因此，当这个矩形菜园是边长为9m的正方形时，菜园的面积最大，最大面积是.
19．答案：水池的最低总造价是1760元
解析：设水池池底的一边长为xm，则另一边长为m，总造价为：
当且仅当即以时，y取最小值1760.
所以水池的最低总造价是1760元.
精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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