2023-2024学年江苏省南京市中华中学高二上学期期末数学试题
一、单选题
1．已知方程表示椭圆，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．已知等差数列的公差不为0，且成等比数列，则的公比是（ ）.
A．1 B．2. C．3 D．5
3．已知，记在处的切线为，则过与垂直的直线方程为（ ）.
A． B． C． D．
4．已知直线，圆，其中若点在圆外，则直线与圆的位置关系是（ ）.
A．相交 B．相切 C．相离 D．相交或相切
5．数列满足，则数列的前8项和为（ ）.
A．63 B．127 C．255 D．256
6．已知为圆上两动点，且，则弦的中点到直线距离的最大值为（ ）．
A． B． C． D．4
7．已知函数，则的最大值为（ ）.
A．2 B． C． D．
8．已知双曲线的左、右焦点分别为，焦距为若双曲线右支上存在点，使得，且，则双曲线的离心率（ ）.
A． B． C． D．
二、多选题
9．已知为椭圆上一点，分别为椭圆的上焦点和下焦点，若构成直角三角形，则点坐标可能是（ ）.
A． B．
C． D．
10．已知数列的前项和为，下列命题正确的有（ ）.
A．若为等差数列，则一定是等差数列
B．若为等比数列，则一定是等比数列
C．若，则一定是等比数列
D．若，则一定是等比数列
11．下列不等式恒成立的有（ ）.
A．当时，
B．当时，
C．（其中，为自然对数的底数）
D．当时，
12．已知点，点在曲线上运动，点在圆上运动，则的值可能是（ ）.
A．1 B．3 C．4 D．5
13．已知为椭圆上一点，，分别为上动点，则的最大值为 ．
14．已知在处取得极小值，则实数的值为 ．
15．已知数列的前项和为，则数列的通项公式为 .
16．已知抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线交于两点，分别过作准线的垂线，垂足分别为.若，四边形的面积为，则 ．
四、解答题
17．已知抛物线上一点到其焦点F的距离为2.
(1)求抛物线方程；
(2)直线与拋物线相交于两点，求的长.
18．已知数列的前项和为，且_________.
在①；②成等比数列；③三个条件中任选一个补充在横线上，并解答下面问题：
(1)求数列的通项公式；
(2)若数列的前项和，求证：.
19．已知函数
(1)若，求函数的单调减区间；
(2)若在上单调递减，求实数的取值范围.
20．已知分别为双曲线的左，右焦点，过双曲线左顶点的直线与圆相切.
(1)求直线的方程；
(2)若直线与双曲线交于另一点求的面积.
21．已知正项数列满足，且
(1)求数列的通项公式；
(2)若的前项和为，求.
22．已知椭圆的离心率为，椭圆的左，右焦点与短轴两个端点构成的四边形面积为.
(1)求椭圆的方程；
(2)若直线与轴交于点，与椭圆交于两点，过点作轴的垂线交椭圆交于另一点，求面积的最大值.
2023-2024学年江苏省南京市中华中学高二上学期期末数学试题
答案
1．答案：D
解：依题意，解得或
故选：D
2．答案：C
解：设等差数列的公差为，由成等比数列，得，
整理得，则，所以的公比.
故选：C
3．答案：A
解：由，求导得，则切线的斜率为，
因此过与垂直的直线斜率为1，方程为.
故选：A
4．答案：A
解：因为点在圆外，所以可得，
圆心到直线的距离，
所以直线与圆相交．
故选：A．
5．答案：C
解：由，得，
因此数列是首项为1，公比为2的等比数列，
数列的前8项和为.
故选：C
6．答案：C
解：依题意，所以，
因为为的中点，所以，
如图所示，过点作直线的垂线，垂足为，
连接，则圆心到直线的距离为，
因为当且仅当三点共线时等号成立，
所以，
所以的最大值为.
故选：C
7．答案：B
解：，
由于，则，
令,即，解得，,即，解得，
因此在单调递增，在单调递减，
故，
故选：B
8．答案：D
解：由双曲线的定义可知得
因为，，
设，则，
，
，
为直角三角形
，
，即，
，
故选：D
9．答案：AD
解：椭圆的焦点，设，
由为直角三角形，则直角可能为
若为直角，则，由，得；
若为直角，则，由，得；
若为直角，则在圆上，
由，解得，
所以点坐标可能是AD.
故选：AD
10．答案：AC
解：对于A，设等差数列的公差为，则，
则，
同理可得，
所以，所以，，仍为等差数列，故A项正确；
对于B,取数列为，1，，1，，，，不能成等比数列，故B项不正确；
对于C，由可得时，，相减可得（），
由可得，因此对任意都成立，故是等比数列，C正确，
对于D，由可得，相减可得，若，不是等比数列，故D错误．
故选：AC．
11．答案：ABD
解：对于A，令，则，故在单调递增，故，故，A正确，
对于B，设，则当时在单调递减，
当时，在单调递增，故，故，B正确，
对于C，令, ，当在单调递增，
当在单调递减，所以，故，故C错误，
对于D，令，则，
故在单调递增，故，故，D正确，
故选：ABD
12．答案：CD
解：抛物线的焦点，准线，圆的圆心为，半径为1，
过点作于，设点，，，
，
当且仅当三点共线，点位于之间时等号成立，
，
因此，
当且仅当，即时取等号，
所以的最小值为4，AB不可能，CD可能.
故选：CD
13．答案：
解：圆的圆心，半径，圆的圆心，半径，
由在椭圆上，得，解得，，
则椭圆的焦点，，
因此，
当且仅当分别为线段的延长线与圆的交点，
所以的最大值为.
故答案为：
14．答案：1
解：由，求导得，由在处取得极小值，
得，解得，此时，
当时，，当且仅当时取等号，当时，，
因此是函数的极小值点，所以.
故答案为：1
15．答案：
解：由可得，
两式相减可得，
当时，，
故，
故答案为：
16．答案：
解：由题意可知直线有斜率且不为0,设所在直线方程为，
联立，得．
不妨设在第一象限，,，,，
则，
又，，即，
联立，解得或（舍，
则，即，进而可得
所以
解得，
故答案为：
17．答案：(1)
(2)
解：（1）由题：抛物线上一点到其焦点F的距离为2，
即，
所以抛物线方程：
（2）联立直线和得，解得，
，
18．答案：(1)
(2)证明见解析
解：（1）由，得，得，
所以数列为等差数列，公差．
若选①，因为，所以，得，
所以，，
所以，
若选②，因为成等比数列，所以，
所以，所以，
所以，所以．
若选③，因为，所以，
所以，
（2），
所以，
又因为，所以．
19．答案：(1)；
(2).
解：（1）当时，，求导得，
由，解得，
所以函数的单调减区间为.
（2）由函数，求导得，
由在上单调递减，得，，
函数在上单调递减，，于是，解得，
所以实数的取值范围是.
20．答案：(1)或
(2)
解：（1）
由知左顶点，
当直线斜率不存在时与圆不想切不符合题意；
当直线斜率存在时，设即，
由与圆相切得，解得或，
所以直线的方程为或.
（2）由知，所以渐近线斜率为，
若直线的斜率为，则与双曲线只有点一个交点，不符合题意，舍去；
若直线的方程为，与双曲线有两个交点，
联立消去并整理得，解得或，
因为，所以，
又因为，所以.
21．答案：(1)
(2)
解：（1）由，得，
因为，所以，即，
因为，
所以数列是以3为公比，3为首项的等比数列，
所以；
（2）由（1）得，
所以，
所以，
所以
，
所以.
22．答案：(1)；
(2).
解：（1）设椭圆的焦距为，则，即，则，，
由的左，右焦点与短轴的两个端点构成的四边形的面积为，得，
即，解得，
所以椭圆的方程为.
（2）显然，设，则，
由消去得，，
则，
又，而与同号，
因此
，
当且仅当，即时等号成立，
所以面积的最大值为.
精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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