2023-2024学年上海市浦东新区高二下学期期中考试数学试题
一、单选题
1．若直线和直线平行，则
A．-2 B．-2或3 C．3 D．不存在
2．圆O1：和圆O2：的位置关系是
A．相离 B．相交 C．外切 D．内切
3．过点与抛物线有且只有一个交点的直线有（ ）
A．条 B．条 C．条 D．条
4．设椭圆的左右焦点为，，点P在该椭圆上，则使得为等腰三角形的点P的个数为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
二、填空题
5．双曲线的离心率是 .
6．若直线：的倾斜角为，则实数的值为 ．
7．已知椭圆长轴的一个顶点为，短轴的一个顶点为，则 ．
8．已知两点、，则直线的斜截式方程是 ．
9．若三点、、共线，则的值为 ．
10．已知抛物线的焦点是圆的圆心，则该抛物线的标准方程为 ．
11．若双曲线经过点，它的一条渐近线方程为，则双曲线的标准方程为 .
12．若为坐标原点，是直线上的动点，则的最小值为 .
13．已知椭圆的左、右焦点分别为，，若过且斜率为的直线与椭圆在第一象限交于点，且，则的值为 ．
14．省级保护文物石城永宁桥位于江西省赣州市石城县高田镇永宁桥建筑风格独特，是一座楼阁式抛物线形石拱桥当石拱桥拱顶离水面时，水面宽，当水面下降时，水面的宽度为 米
15．已知双曲线的左、右焦点分别为，，过的直线交该双曲线于点、，且，，则的面积为 ．
16．能使得命题“曲线上存在四个点满足四边形是正方形”为真命题的一个实数是 .
17．已知中，，．
(1)若，求边上的高所在直线的一般式方程；
(2)若点为边的中点，求边所在直线的一般式方程．
18．已知抛物线：的焦点为．
(1)求抛物线的焦点坐标和准线方程；
(2)过焦点的直线与抛物线交于、两点，若，求线段的长．
19．如图，某苗圃有两个入口、，，欲在苗圃内开辟一块区域种植观赏植物，现有若干树苗放在苗圃外的处，已知，，以所在直线为轴，中点为原点建立直角坐标系．
(1)工人计划将树苗运送至处，请帮助工人指出从哪个入口运送能够最近？并说明理由；
(2)工人将处树苗运送到苗圃内点处时，发现从两个入口、运输的最近距离相等，求出的点所有可能的位置．
20．已知点是椭圆：的一个顶点．
(1)若椭圆的焦点分别为、，求的面积；
(2)设、是椭圆上相异的两点，有如下命题：“若，则与关于轴对称”；请判断该命题的真假，并说明理由．
21．已知椭圆，抛物线.若直线与曲线交于点、，直线与曲线分别交于点、．当时，则称直线是曲线与的“等弦线”．
(1)求椭圆的离心率；
(2)直线同时满足以下两个条件：①直线经过原点②直线是与的“等弦线”．请求出的方程；
(3)已知点，，证明：过点存在与的“等弦线”．
2023-2024学年上海市浦东新区高二下学期期中考试数学试题
答案
1．【答案】C
【详解】∵直线和直线平行，
∴，解得：
经检验：两直线重合，两直线平行，
故选C
2．【答案】B
【详解】试题分析：由题意可知圆的圆心，半径，圆的圆心，半径，又，所以圆和圆的位置关系是相交，故选B．
【解析】圆与圆的位置关系．
3．【答案】B
【详解】解：①当过点的直线存在斜率时，设其方程为：，
由方程组，消得，
若，方程为，解得，此时直线与抛物线只有一个交点；
若，令，解得，此时直线与抛物线相切，只有一个交点；
②当过点的直线不存在斜率时，
该直线方程为，与抛物线相切只有一个交点；
综上，过点与抛物线有且只有一个交点的直线有条．
故选：B．
4．【答案】C
【详解】①当等腰的底时，可知P点为椭圆上下顶点时，2个点，满足题意；
②当等腰的腰时，分别以为圆心，以长为半径画弧，交椭圆于4个点；
综上所述，共6个点满足题意.
故答案选：C.
5．【答案】
【详解】试题分析：由题意得
【解析】双曲线离心率
6．【答案】
【详解】由题意可得，，
故.
故答案为：
7．【答案】
【详解】已知椭圆长轴的一个顶点为，短轴的一个顶点为，
则，
不妨设，，
则.
故答案为：．
8．【答案】
【详解】已知两点、，故直线的斜率，
则方程为：，整理得，
转化为直线的斜截式为．
故答案为：．
9．【答案】
【详解】因为三点、、共线，
又，，
所以，
所以，
所以．
故答案为：
10．【答案】．
【详解】圆的标准方程为，
圆心坐标为，即焦点坐标为，
，抛物线的标准方程为．
故答案为：．
11．【答案】
【详解】因为双曲线的一条渐近线方程为，则设所求双曲线的方程为，
点的坐标代入双曲线的方程，则有，即双曲线的方程为，
因此，该双曲线的标准方程为.
故答案为：.
12．【答案】
【详解】解：原点到直线的距离，
故的最小值为，
故答案为：．
13．【答案】4
【详解】
由，，
又直线的斜率为，
则，，
又椭圆方程为：，.
,解得，
又，，，即.
故答案为：4．
14．【答案】
【详解】建利坐标系如图，设抛物线方程为且，
则根据题意可知图中坐标为，
所以，可得，
所以抛物线方程为，
令，代入方程，解得，
可得到水面两点坐标分别为
所以水面的宽度为米．
故答案为：
15．【答案】
【详解】设，则根据题意可知，，
所以，，又易知，
在中，由勾股定理可得：，
解得，又，
所以，
所以的面积为．
故答案为：
16．【答案】或的任意实数，例如4
【解析】由题意可设，由对称性可得，可得，代入曲线方程，由双曲线的范围，解不等式即可得到所求值．
【详解】曲线上存在四个点满足四边形是正方形，
可设，由对称性可得，
则，
即，即，
由曲线的方程可得，
即有解，
即有，
可得，
解得或，
故答案为：或的任意实数，例如4．
17．【答案】(1)
(2)
【详解】（1）因为，，
所以，
因为是边上的高，
所以，
所以高所在直线的方程为；
（2）因为点为边的中点，
所以，
因此边所在直线的方程为.
18．【答案】(1)焦点坐标，准线方程为；
(2)．
【详解】（1）因为，解得，
则抛物线的焦点坐标，准线方程为；
（2）不妨设，，
因为，所以，
当时，解得，
不妨令，,
此时直线的方程为，
联立，消去并整理得，
由韦达定理得，
则．
19．【答案】(1)经过入口运送较近，理由见解析
(2)点所有可能的位置是在苗圃内所对应的点．
【详解】（1）由题意可得，，，
，，
经过口时最短距离：，
经过口时最短距离：．
因为,
所以经过入口运送较近．
（2）设点，已知
，可得
所以点所有可能的位置是以、为焦点的双曲线的右支并且在苗圃内的部分，
则，即，又因为，，
所以点所有可能的位置是在苗圃内所对应的点．
20．【答案】(1)；
(2)假命题，理由见解析
【详解】（1）因为点是椭圆：的一个顶点，
所以；
（2）不妨设，，
若，即，即，
因为，两点均在椭圆上，
所以，整理得，
当时，，对称；
当时，，
因为，，所以，
则存在，此时，不关于轴对称．
综上，命题：“若，则与关于轴对称”为假命题．
21．【答案】(1)
(2)
(3)证明见解析
【详解】（1）根据椭圆性质知，，，所以离心率为．
（2）如图：
①直线方程斜率不存在时，直线与抛物线有且仅有1公共点，显然不合题意．
②直线方程斜率存在时，斜率设为，直线方程为．联立方程，消去可得，解得，．
联立方程，消去可得，解得，．
当时，即，等价于，代入联立结果得，解得，（舍去），即．
综上所述，直线方程为.
（3）如图：
①直线为 时，与抛物线有且仅有一个交点，不合题意，舍去．
②设直线方程为，联立方程，消去可得，当△时，．
由根与系数的关系可得，，所以，
联立方程，消去可得，
此时必有两个交点，由根与系数的关系可得，，
所以．
如果存在等弦线使得，等价于，化简可得，
将联立结果代入可得，
换元，令，代入上式可得．
由于，化简得到．
题目等弦线存在性证明，等价于证明：对任意，在 上有解．
令，则，
令，由于且，
所以对任意，有，即；
由于，
所以．
根据零点存在定理，一定存在，使得．
综上所述，对任意，在上有解，命题得证．
精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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