第十五章《分式》单元复习试卷（解析版）
一、选择题：本题共10题，每题3分，共30分．每小题只有一个选项符合题目要求．
1．若式子有意义，则x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据分式有意义的条件是分母不等于0，故分母x-1≠0，解得x的范围．
【详解】解：根据题意得：x-1≠0，
解得：x≠1，
故选：A．
2．将分式中的x，y的值同时扩大到原来的3倍，则分式的值（ ）
A．扩大到原来的3倍 B．缩小到原来的 C．保持不变 D．无法确定
【答案】A
【分析】将x变为3x，y变为3y计算后与原式比较即可得到答案．
【详解】，
故分式的值扩大到原来的3倍，
故选：A．
3．下列分式中，最简分式是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】选项A为最简分式；
选项B化简可得原式=；
选项C化简可得原式=；
选项D化简可得原式=；
故选：A．
4．计算的结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】同分母分式相减，再化简即可得出答案．
【详解】解：，
=，
=，
=，
=x-1．
故选：A．
5．分式方程的解为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】方程两边都乘得出，求出方程的解，再进行检验即可．
【详解】解：，
方程两边都乘，得，
解得：，
检验：当时，，
所以是原方程的解，
即原方程的解是，
故选：A．
6．对于非零实数，规定，若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】∵，
∴．
又∵，
∴．
解这个分式方程并检验，得．
故选A．
7．已知关于x的分式方程＝2的解是负数，则n的取值范围为（ ）
A．n＞1且n≠ B．n＞1 C．n＜2且n≠ D．n＜2
【答案】C
【分析】直接解不等式进而利用x＜0得出答案，再利用分式有意义的条件得出答案．
【详解】解：解关于x的方程=2，得x＝n﹣2，
∵其解是负数，
∴n﹣2＜0，
解得：n＜2，
又∵2x+1≠0，
即2（n﹣2）+1≠0，
解得：n≠，
故n＜2且n≠．
故选：C．
8．计算的结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】原式
故选A.
课本习题：“A，B两种机器人都被用来搬运化工原料，A型机器人比B型机器人每小时多搬运30kg，
A型机器人搬运900kg所用时间与B型机器人搬运600kg所用时间相等，
两种机器人每小时分别搬运多少化工原料？”下列四位同学列方程正确的是（ ）
①设A型机器人每小时搬运xkg化工原料，则：
甲列的方程为：；
乙列的方程为：
②设A型机器人搬运900kg化工原料需要x小时，则：
丙列的方程为：；
丁列的方程为：
A．甲、丙 B．甲、丁 C．乙、丙 D．乙、丁
【答案】D
【分析】分别从不同角度设未知数列出方程进行判断即可．
【详解】解：设A型机器人每小时搬运xkg化工原料，则B型机器人每小时搬运(x-30)kg化工原料,
则
故乙正确；
设A型机器人搬运900kg化工原料需要x小时，
则
故丁正确．
故选：D．
若a为整数，关于x的不等式组有且只有3个非正整数解，
且关于x的分式方程有负整数解，则整数a的个数为（ ）个．
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】C
【分析】由不等式组有且只有3个非正整数解可得，即0＜a≤4，再求分式方程可得x，根据分式方程有负整数解可得a的值．
【详解】解不等式2（x+1）≤4+3x，得：x≥﹣2，
解不等式4x﹣a＜0，得：x，
∵不等式组有且只有3个非正整数解，
∴，
解得：0＜a≤4，
由方程得：x且是负整数，∴2-a=-1或-2，
∴a=3，4．
故选C．
二、填空题：（本大题共8个小题．每小题3分，共24分．把答案填在题中横线上．）
11．芝麻是一种营养丰富的食品，深受广大群众喜爱．经测算，100粒芝麻的质量约为，
则一粒芝麻的质量用科学记数法可表示为 ．
【答案】
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【详解】解：，用科学记数法表示为．
故答案为：．
12．若分式的值为0，则 ．
【答案】
【分析】根据分式的值为0的条件：分子为0且分母不为0解答即可．
【详解】解：由题意，得，
解得，
故答案为：．
13．已知，则的值是 ．
【答案】6
【分析】根据分式的减法法则将已知等式进行变形，然后利用整体思想代入求解．
【详解】∵，
∴，
即，
∴＝2×3＝6，
故答案为：6．
14．计算的结果是 ．
【答案】
【分析】先通分再化简即可．
【详解】
故答案为：．
15．为了改善生态环境，防止水土流失，某村计划在荒坡上种树a棵．原计划每天种b棵树，由于青年志愿者的支援，每天比原计划多种10棵，结果提前 天完成任务．
【答案】
【分析】本题主要考查了分式减法的应用．根据题意列出代数式，再计算，即可．
【详解】解：根据题意得：
，
即结果提前天完成任务．
故答案为：
16．某体育用品商场预测某品牌运动服能够畅销，就用元购进了一批这种运动服，上市后很快脱销，商场又用元购进第二批这种运动服，所购数量是第一批购进数量的2倍，但每套进价多了元．若这两批运动服每套的售价相同，且全部售完后总利润率不低于，那么每套售价至少是 元？（利润率＝）
【答案】200
【分析】设该商场第一次购进这种运动服x套，第二次购进套，根据每套进价多了元，列分式方程求出x，再设每套售价是y元，根据售价两次总进价≥成本×利润率可得不等式，即可得到答案再解即可．
【详解】解：设该商场第一次购进这种运动服x套，第二次购进2x套，
由题意得：，
解得：，
经检验：是原分式方程的解，且符合题意，
则，
设每套售价是y元，两批运动服总数：，
由题意得：，
解得：，
即每套售价至少是元，
故答案为：．
17．已知分式方程有增根，那么 ．
【答案】2
【分析】根据增根使分母为0，可求出增根，再将分式方程化为整式方程，将增根代入求值即可.
【详解】解：分式方程有增根
方程两边同乘以得：
将代入得
故答案为2
已知：关于x的方程的两个解为x1＝a，x2＝，
方程的两个解为x1＝a，x2＝，
方程的两个解为x1＝a，x2＝，
则关于x的方程的两个解为 ．
【答案】x1＝a，x2＝
【分析】根据关于x的方程的两个解为x1＝a，x2＝，方程的两个解为x1＝a，x2＝，方程的两个解为x1＝a，x2＝，得到规律求解即可．
【详解】解：∵关于x的方程的两个解为x1＝a，x2＝，方程的两个解为x1＝a，x2＝，方程的两个解为x1＝a，x2＝，，
∴依规律，得x－1＝a－1或x－1＝，
解得：x1＝a，x2＝．
故答案为：x1＝a，x2＝．
三、解答题：（本大题共8个小题，共66分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．解方程：
（1）＝；
+2＝．
【答案】（1）x＝3；（2）无解．
【分析】（1）先将方程两边都乘以最简公分母（x+1）（x﹣1），化分式方程为整式方程，解整式方程求出未知数的值，再检验，从而得出答案；
（2）先将方程两边都乘以最简公分母x﹣4，化分式方程为整式方程，解整式方程求出未知数的值，再检验，从而得出答案．．
【详解】解：（1）两边都乘以（x+1）（x﹣1），得：3（x﹣1）＝6，
解得x＝3，
检验：x＝3时，（x+1）（x﹣1）＝8≠0，
∴分式方程的解为x＝3；
（2）两边都乘以x﹣4，得：﹣3+2（x﹣4）＝1﹣x，
解得x＝4，
检验：当x＝4时，x﹣4＝0，
∴x＝4是分式方程的增根，
∴原分式方程无解．
科幻小说作为一种独特的文学体裁，将科技与人文相结合，探索未来世界的各种可能性．
某校为激发学生的想象力，购进某版本的小说《三体》和《时间机器》若干套，
其中每套《三体》的价格比《时间机器》的价格贵70元，
用2200元购买《三体》和用800元购买《时间机器》的套数相等，求每套小说《三体》的价格．
【答案】每套小说《三体》的价格为110元
【分析】设每套小说《三体》的价格为元，则每套《时间机器》的价格为元，根据用2200元购买《三体》和用800元购买《时间机器》的套数相等，列出方程，解方程即可得到答案．
【详解】解：设每套小说《三体》的价格为元，则每套《时间机器》的价格为元，
根据题意可得：，
解得：，
经检验是原方程的解，
每套小说《三体》的价格为110元，
答：每套小说《三体》的价格为110元．
先化简，再求值：，
再从1，2，3中选择一个适当的数值作为a的值代入．
【答案】；把代入得：原式
【分析】先根据分式混合运算法则进行化简，然后再代入数据进行计算即可．
【详解】解：
，
∵，，
∴，2，
把代入得：原式．
春节即将到来，家家户户贴春联，挂灯笼，欢天喜地迎新年．
某百货超市计划购进春联和灯笼两种商品．请你根据下面的信息（如图），回答下列问题．
(1)求每个灯笼和每副春联的进价．
(2)若超市准备用不超过2450元的资金再购进这两种春联和灯笼共100个（副），最多能购进灯笼多少个？
【答案】(1)每个灯笼的进价是35元，每副春联的进价是20元
(2)最多能购进灯笼30个
【分析】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用：
（1）设每副春联的进价是x元，则每个灯笼的进价是元，根据等量关系列分式方程，解方程即可；
（2）设购进灯笼m个，则购进春联副，根据题意列不等式，求出不等式的最大整数解即可．
【详解】（1）解：设每副春联的进价是x元，则每个灯笼的进价是元，
根据题意得：，
解得：，
经检验，是所列方程的解，且符合题意，
∴，
答：每个灯笼的进价是35元，每副春联的进价是20元．
（2）解：设购进灯笼m个，则购进春联副，
根据题意得：，
解得：，
∴m的最大值为30．
答：最多能购进灯笼30个．
为了鼓励学生加强锻炼，增强体质，实验中学准备购买一些健身器材供学生使用．
经调查，某厂家有A，B两种健身器材可供选择，如果购买A种健身器材套需要2万元，
如果购买B种健身器材套需要12万元．
(1)请用含x的代数式分别表示这两种健身器材的单价；
(2)一套A种健身器材和一套B种健身器材一共多少元？
【答案】(1)A种健身器材的单价为：元；B种健身器材的单价为：元
(2)元
【分析】本题考查列代数式的应用，分式加法的应用，掌握，分式加法法则是解题的关键．
（1）根据，列式即可．
（2）用A种健身器材的单价+B种健身器材的单价，列式计算即可．
【详解】（1）解：A种健身器材的单价为：；
B种健身器材的单价为：．
（2）解：
，
答：一套A种健身器材和一套B种健身器材一共元
24．随着天气转暖，服装店老板预测某薄款衣服可能会畅销．用8000元进了一批货，面市后供不应求，就又用17600元第二次进货，第二次进货的数量是第一批的2倍，但单件进货价格贵了4元．
(1)第一次进货每件衣服的进货价格是多少元？
(2)该薄款衣服每件标价60元，第一批按标价售完，第二批准备降价销售，如果要使销售完毕的总利润不低于8000元，问第二批销售时，每件最多降价多少元？
【答案】(1)第一次进货每件衣服的进货价格是40元；
(2)第二批销售时，每件最多降价6元
【分析】本题考查分式的实际应用、一次一次不等式的实际应用：
（1）设第一次进货每件衣服的进货价格是x元，根据所给等量关系列分式方程，求出解后进行检验即可；
（2）设每件降价y元，根据“总利润不低于8000元”列不等式，求出不等式的最大整数解即可．
【详解】（1）解：设第一次进货每件衣服的进货价格是x元，则第二次进货每件衣服的进货价格是元，
根据题意得：，
解得：，
经检验，是所列方程的解．
答：第一次进货每件衣服的进货价格是40元；
（2）答：第一次进货每件衣服的进货价格是40元；
第一次进货的数量是（件）；
第二次进货的数量是（件）．
设第二批销售时，每件降价y元，
根据题意得：，
解得：，
∴y的最大值为6．
答：第二批销售时，每件最多降价6元．
25．观察下列算式：
、、
(1)由此可推断：_______；
(2)请用含字母m（m为正整数）的等式表示（1）中的一般规律_______；
(3)仿照以上方法可推断：_______；
(4)仿照以上方法解方程：．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】本题考查数字找规律问题．，以及解分式方程，解题关键是根据已知分析发现蕴含的规律．
（1）根据题意将42分解为得出答案；
（2）利用（1）中数据变化规律得出答案；
（3）本题的分子是2，可以考虑把分母写成相差为2的两个数相差，然后仿照算式规律写成即可．
（4）本题的分子是3，分母两个数的差是3，故同样可以用算式规律，需要注意，比大，放在前面．
【详解】（1）解：，
（2）根据题意可得：
（3）
（4）
即，
即，
去分母得：，
解得：，
经检验，是分式方程的解．
26．5G时代的到来，将给人类生活带来巨大改变．现有A，B两种型号的5G手机，进价和售价如表所示：
型号 进价（元/部） 售价（元/部）
A 3000 3400
B 3500 4000
某营业厅购进A，B两种型号手机共花费32000元，手机销售完成后共获得利润4400元．
(1)营业厅购进A，B两种型号手机各多少部？
(2)若营业厅再次购进A，B两种型号手机共30部，其中B型手机的数量不多于A型手机数量的2倍，且两种手机总利润不低于12800元．问有哪几种购进方案？
(3)在（2）中，营业厅购进两种型号手机各多少部时获得最大利润，最大利润是多少？
【答案】(1)购进A型号手机6部，购进B型号手机4部
(2)共有13种购机方案，具体方案见解析
(3)当购进A型号手机10部，B型号手机20部时获得最大利润，最大利润是14000元
【分析】（1）、设购进A型号手机x部，购进B型号手机y部，再根据购进A，B两种型号手机共花费32000元，手机销售完成后共获得利润4400元，列出二元一次方程，求解方程即可；
（2）、设购进A型号手机m部，购进B型号手机30-m部，再根据B型手机的数量不多于A型手机数量的2倍，且两种手机总利润不低于12800元，列出一元一次不等式组，解不等式组即可求解；
（3）、根据利润公式，可列出一次函数，由（2）可知m的范围，根据一次函数的图像和性质即可求解．
【详解】（1）解：设购进A型号手机x部，购进B型号手机y部，
由题意可得： ，
整理得：，
解得： ，
∴购进A型号手机6部，购进B型号手机4部；
（2）设购进A型号手机m部，购进B型号手机（30-m）部，
由题意得： ，
整理得：，
解得： ，
∵m为整数，
∴m可以取10、11、12、13、14、15、16、17、18、19、20、21、22，
∴一共有13种购机方案，分别为：
购进A型号10部，B型号20部；购进A型号11部，B型号19部；购进A型号12部，B型号18部；购进A型号13部，B型号17部；购进A型号14部，B型号16部；购进A型号15部，B型号15部；购进A型号16部，B型号14部；购进A型号17部，B型号13部；购进A型号18部，B型号12部；购进A型号19部，B型号11部；购进A型号20部，B型号10部；购进A型号21部，B型号9部；购进A型号22部，B型号8部；
（3）设两种手机的总利润为w，
由（2）可知购进A型号手机m部，购进B型号手机（30-m）部，
，
，
∴当 时， ，
此时 ，
∴当购进A型号手机10部，B型号手机20部时获得最大利润，最大利润是14000元．
精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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第十五章《分式》单元复习试卷
一、选择题：本题共10题，每题3分，共30分．每小题只有一个选项符合题目要求．
1．若式子有意义，则x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．将分式中的x，y的值同时扩大到原来的3倍，则分式的值（ ）
A．扩大到原来的3倍 B．缩小到原来的 C．保持不变 D．无法确定
3．下列分式中，最简分式是（ ）
A． B． C． D．
4．计算的结果是（ ）
A． B． C． D．
5．分式方程的解为（ ）
A． B． C． D．
6．对于非零实数，规定，若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
7．已知关于x的分式方程＝2的解是负数，则n的取值范围为（ ）
A．n＞1且n≠ B．n＞1 C．n＜2且n≠ D．n＜2
8．计算的结果是（ ）
A． B． C． D．
课本习题：“A，B两种机器人都被用来搬运化工原料，A型机器人比B型机器人每小时多搬运30kg，
A型机器人搬运900kg所用时间与B型机器人搬运600kg所用时间相等，
两种机器人每小时分别搬运多少化工原料？”下列四位同学列方程正确的是（ ）
①设A型机器人每小时搬运xkg化工原料，则：
甲列的方程为：；
乙列的方程为：
②设A型机器人搬运900kg化工原料需要x小时，则：
丙列的方程为：；
丁列的方程为：
A．甲、丙 B．甲、丁 C．乙、丙 D．乙、丁
若a为整数，关于x的不等式组有且只有3个非正整数解，
且关于x的分式方程有负整数解，则整数a的个数为（ ）个．
A．4 B．3 C．2 D．1
二、填空题：（本大题共8个小题．每小题3分，共24分．把答案填在题中横线上．）
11． 芝麻是一种营养丰富的食品，深受广大群众喜爱．经测算，100粒芝麻的质量约为，
则一粒芝麻的质量用科学记数法可表示为 ．
12． 若分式的值为0，则 ．
13． 已知，则的值是 ．
14．计算的结果是 ．
15． 为了改善生态环境，防止水土流失，某村计划在荒坡上种树a棵．原计划每天种b棵树，
由于青年志愿者的支援，每天比原计划多种10棵，结果提前 天完成任务．
某体育用品商场预测某品牌运动服能够畅销，就用元购进了一批这种运动服，
上市后很快脱销，商场又用元购进第二批这种运动服，所购数量是第一批购进数量的2倍，
但每套进价多了元．若这两批运动服每套的售价相同，且全部售完后总利润率不低于，
那么每套售价至少是 元？（利润率＝）
17． 已知分式方程有增根，那么 ．
已知：关于x的方程的两个解为x1＝a，x2＝，
方程的两个解为x1＝a，x2＝，
方程的两个解为x1＝a，x2＝，
则关于x的方程的两个解为 ．
三、解答题：（本大题共8个小题，共66分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．解方程：
（1）＝；
+2＝．
科幻小说作为一种独特的文学体裁，将科技与人文相结合，探索未来世界的各种可能性．
某校为激发学生的想象力，购进某版本的小说《三体》和《时间机器》若干套，
其中每套《三体》的价格比《时间机器》的价格贵70元，
用2200元购买《三体》和用800元购买《时间机器》的套数相等，求每套小说《三体》的价格．
先化简，再求值：，
再从1，2，3中选择一个适当的数值作为a的值代入．
春节即将到来，家家户户贴春联，挂灯笼，欢天喜地迎新年．
某百货超市计划购进春联和灯笼两种商品．请你根据下面的信息（如图），回答下列问题．
(1)求每个灯笼和每副春联的进价．
(2)若超市准备用不超过2450元的资金再购进这两种春联和灯笼共100个（副），最多能购进灯笼多少个？
为了鼓励学生加强锻炼，增强体质，实验中学准备购买一些健身器材供学生使用．
经调查，某厂家有A，B两种健身器材可供选择，如果购买A种健身器材套需要2万元，
如果购买B种健身器材套需要12万元．
(1)请用含x的代数式分别表示这两种健身器材的单价；
(2)一套A种健身器材和一套B种健身器材一共多少元？
随着天气转暖，服装店老板预测某薄款衣服可能会畅销．用8000元进了一批货，面市后供不应求，
就又用17600元第二次进货，第二次进货的数量是第一批的2倍，但单件进货价格贵了4元．
(1)第一次进货每件衣服的进货价格是多少元？
(2)该薄款衣服每件标价60元，第一批按标价售完，第二批准备降价销售，
如果要使销售完毕的总利润不低于8000元，问第二批销售时，每件最多降价多少元？
25．观察下列算式：
、、
(1)由此可推断：_______；
(2)请用含字母m（m为正整数）的等式表示（1）中的一般规律_______；
(3)仿照以上方法可推断：_______；
(4)仿照以上方法解方程：．
26．5G时代的到来，将给人类生活带来巨大改变．现有A，B两种型号的5G手机，进价和售价如表所示：
型号 进价（元/部） 售价（元/部）
A 3000 3400
B 3500 4000
某营业厅购进A，B两种型号手机共花费32000元，手机销售完成后共获得利润4400元．
(1)营业厅购进A，B两种型号手机各多少部？
(2)若营业厅再次购进A，B两种型号手机共30部，其中B型手机的数量不多于A型手机数量的2倍，
且两种手机总利润不低于12800元．问有哪几种购进方案？
(3)在（2）中，营业厅购进两种型号手机各多少部时获得最大利润，最大利润是多少？
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