人教版七年级上册数学专题突破训练：用代数式表示学、图形的规律
一、单选题
1．某学校楼阶梯教室，第一排有m个座位，后面每一排都比前面一排多2个座位，则第n排座位数是（ ）
A． B． C． D．
2．由同样长度的木棍按一定的规律组成下列图形，其中第①个图形有5根木棍，第②个图形有9根木棍，第③个图形有13根木棍，……，则第⑧个图形木棍的根数是（ ）
A．25 B．29 C．33 D．37
3．某种型号的纸杯如图所示，若将个这种型号的杯子按图中的方式叠放在一起，叠在一起的杯子的总高度为．则与满足的函数关系可能是（ ）
A． B． C． D．
4．用棋子摆出如图所示的一组“口”字，照样子摆下去，摆第n个“口”字需用棋子（ ）
A．枚 B．枚 C．枚 D．枚
5．将图①中的正方形剪开得到图②，图②中共有4个正方形；将图②中一个正方形剪开得到图③，图③中共有7个正方形；将图③中一个正方形剪开得到图④，图④中共有10个正方形，…，如此下去，则第2020个图中共有正方形的个数为（ ）
A．2021 B．2020 C．6051 D．6058
6．如图，图中都是由大小和形状完全相同的小四边形按照一定的规律排列组成，其中第①个图形中一共有1个小四边形，第③个图形中一共有6个小四边形，…，按此规律排列下去第⑤个图形中小四边形的个数是（ ）
A．12 B．13 C．14 D．15
7．如图，用规格相同的小棒摆成一组图案，图案①需要6根小棒，图案②需要10根小棒，图案③需要14根小棒，…，按此规律，则第9个图形中需要小棒的根数是（ ）
A．38 B．88 C．40 D．42
8．观察下列一组数：，，，，，，它们是按一定规律排列的，那么这一组数的第个数是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
9．一组按规律排列的代数式：，，，，…，则第10个式子是 ．
10．下列图形都是由同样大小的实心圆点按一定规律组成的，其中第个图形一共有个实心圆点，第个图形一共有个实心圆点，第个图形一共有个实心圆点，…．按此规律排列下去，第个图形中一共有 个实心圆点．
11．如图，将一些大小相同，而颜色不同的黑白小球按如图所示的规律摆放，第n 个图形白球的个数为 ．（用含 n 的代数式表示）
12．有一组算式：观察它们的规律，则第4个式子是 ；第5个式子是 ．
13．按图示的方式摆放餐桌和椅子，图1中共有6把椅子，图2中共有10把椅子，…，按此规律，则图7中椅子把数是 ．
14．“幻方”是一种中国传统游戏，如图1所示，每个三角形的三个顶点上的数字之和都与中间正方形四个顶点上的数字之和相等，现将7，6，4，3，2，，，填入如图2所示的“幻方”中，部分数据已填入，则的值为 ．
15．如图，图形都是由同样大小的按一定规律组成的，其中第（1）个图形是由4个组成的，第（2）个图形是由7个组成的，第（3）个图形是由10个组成的，…，则第（n）个图形是由 个组成的．
16．把2007个正整数1，2，3，4，……，2007按如图方式排列成一个表．用如图方式框住表中任意4个数，记左上角的一个数为x，则另三个数用含x的式子表示出来，从小到大依次是 ， ， ．
17．如图是由大小相同的正方形组成，第①个图形中有5个涂有阴影的正方形，第②个图形中有9个涂有阴影的正方形，第③个图形中有13个涂有阴影的正方形，…，按此规律摆下去，第n个图形中共有 个涂有阴影的正方形．
三、解答题
18．在弹性范围内，一根弹簧挂上物体后，弹簧长度与所挂物体质量的关系如表：
所挂物体的质量（） 1 2 3 4 5
弹簧总长度（） 12 14 16 18 20
根据表中信息回答：
(1)当挂上6物体时，弹簧总长度为______厘米．
(2)未挂物体时，弹簧总长度为______厘米．
(3)当挂上x物体时，弹簧总长度为______厘米（用含x的代数式表示）．
19．观察下面的点阵图形和与之相对应的等式探究其中的规律．
① →4×0＋1＝4×1﹣3；
②→4×1＋1＝4×2﹣3；
③ →4×2＋1＝4×3﹣3；
④ → ；
⑤ → ．
（1）请在④和⑤后面的横线上分别写出相对应的等式；
（2）猜想第n（n是正整数）个图形相对应的等式为 .
20．小林到某纸箱厂参加社会实践，该厂计划用50张白板纸制作某种型号的长方体纸箱．如图，每张白板纸可以用A，B，C三种方法剪裁，其中A种裁法：一张白板纸裁成4个侧面；B种裁法：一张白板纸裁成3个侧面与2个底面；C种裁法：一张白板纸裁成2个侧面与4个底面．且四个侧面和两个底面恰好能做成一个纸箱．设按A种方法剪裁的有x张白板纸，按B种方法剪裁的有y张白板纸．
（1）按C种方法剪裁的有 张白板纸；（用含x，y的代数式表示）
（2）将50张白板纸裁剪完后，一共可以裁出多少个侧面与多少个底面？（用含x，y的代数式表示，结果要化简）
（3）当2x+y=62时，最多可以制作该种型号的长方体纸箱 个．
()
()
参考答案：
1．B
【分析】本题主要考查了列代数式，理解题意是解题的关键．根据题意列出代数式即可．
【详解】解：由题意可知，第一排有m个座位，
第二排有个座位，
第三排有个座位，
第四排有个座位，
故第n排座位数是，
故选B．
2．C
【分析】本题主要考查了图形类的规律探索，观察图形可知第n个图形有根木棍，据此规律求解即可．
【详解】解：第①个图形有根木棍，
第②个图形有根木棍，
第③个图形有根木棍，
……，
以此类推，可知，第n个图形有根木棍，
∴第⑧个图形木棍的根数是，
故选：C．
3．D
【分析】本题考查了用字母表示数或数量关系，理解题目中的数量关系，掌握代数式的表示方法是解题的关键．
根据一个杯子的高度和杯沿的高度，可得，由此即可求解．
【详解】解：根据题意，1个杯子的高，1个杯子沿高为，
∴个杯子叠在一起的总高度为，
故选：D ．
4．A
【分析】本题考查图形的规律，根据两边两列棋子个数是图形的顺序数多1，中间是两个子一列，共有图像顺序数减1列求解即可得到答案；
【详解】解：由图像可得，
两边两列棋子个数是图形的顺序数多1，中间是两个子一列，共有图像顺序数减1列，
∴棋子个数是：（枚），
故选：A．
5．D
【分析】本题主要考查图形规律，根据图示找出每个图示中正方形的个数，得出规律为：正方形的个数是，由此即可求解，理解图示，掌握有理数的混合运算，整式的运算法则是解题的关键．
【详解】解：第一个图示中，正方形的个数为；
第二个图示中，正方形的个数为；
第三个图示中，正方形的个数为；
第四个图示中，正方形的个数为；
第个图示中，正方形的个数为，
∴第个图示中，正方形的个数为：，
故选：．
6．D
【分析】本题考查图形变化的规律，能根据所给图形发现小四边形个数变化的规律是解题的关键．依次求出图形中小四边形的个数，发现规律即可解决问题．
【详解】解：由所给图形可知，
第①个图形中小四边形的个数为：；
第②个图形中小四边形的个数为：；
第③个图形中小四边形的个数为：；
…，
所以第n个图形中小四边形的个数为：；
当时，
（个），
即第⑤个图形中小四边形的个数为15个．
故选：D．
7．A
【分析】本题考查了图形的变化规律，观察图案，可知下一个图比前一个图多4根小棒，找出4与第n个图案的小棒的根数的联系即可．
【详解】如图可知，后一幅图总是比前一幅图多4根小棒，
图案①需要小棒：（根），
图案②需要小棒：（根），
图案③需要小棒：（根），
…
则第9个图案需要小棒：根．
故选：A．
8．C
【详解】解：第个数是，
第个数是，
第个数是，
，
第个数是，
故选：．
分别归纳出该组数字分子、分母的规律．
此题考查了数字变化类规律问题的解决能力，关键是能准确归纳出分子、分母的规律．
9．
【分析】本题考查了代数式的规律问题，认真观察式子的规律是解题的关键．根据已知的式子可以看出：每个式子的第一项中a的次数是式子的序号；第二项中b的次数是序号的2倍减1，而第二项的符号是第奇数项时是正号，第偶数项时是负号．再进一步解答即可．
【详解】解：∵当n为奇数时，；
当n为偶数时，，
∴第n个式子是：．
当时，代数式为：
故答案为：
10．
【分析】本题主要考查图形的变化规律，根据图形的变化得出第个图形一共有个实心圆点是解题的关键．根据已知图形中实心圆点的个数得出规律第个图形有个实心圆点即可．
【详解】解：由题知，第①个图形一共有个实心圆点，
第②个图形一共有个实心圆点，
第③个图形一共有个实心圆点，
…，
第个图形一共有个实心圆点，
∴第个图形中一共有个实心圆点，
故答案为：．
11．
【分析】本题考查了图形规律的探索，用代数式表示图形规律；找到白球数量的规律是解题的关键；第1个图形白球个数为，第2个图形白球个数为，第3个图形白球个数为，第4个图形白球个数为，……，由此得第n 个图形白球的个数为，最后计算即可．
【详解】解：第1个图形白球个数为，
第2个图形白球个数为，
第3个图形白球个数为，
第4个图形白球个数为，
……，
第n 个图形白球的个数为，
而，
故答案为：．
12．
【分析】此题考查数字的变化规律，分母是两个连续自然数的乘积，分子是1的分数可以拆成这两个自然数为分母，分子是1的两个分数的差，由此规律得出答案即可．
【详解】解：，
，
，
故答案为：，．
13．30
【分析】本题考查了图形的变化规律．根据图形，总结出一般变化规律为，即可解答．
【详解】解：图1中椅子把数，
图2中椅子把数，
图3中椅子把数，
……
图n中椅子把数，
∴图7中椅子把数是，
故答案为：30．
14．1或64
【分析】本题考查了新定义下的代数式计算，解题关键是根据题目信息列出等式，求出相关式子的值．
根据每个三角形的三个顶点上的数字之和都与中间正方形四个顶点上的数字之和，可得每个三角形的三个顶点上的数字之和都相等．图中有四个三角形，四个三角形上的数字相加后，中间正方形四个顶点上的数字之和就多算了一遍，所以所给的8个数字的和除以3即可得到每个三角形三个顶点的数字之和，代入求解即可
【详解】每个三角形的三个顶点上的数字之和都与中间正方形四个顶点上的数字之和相等，
每个三角形的三个顶点上的数字之和都相等，
每个三角形的三个顶点上的数字之和，
，，
，，，
所给的数剩下7，6，3，2，，，
，，，或，，，，
或，
或
故答案为∶1或64．
15．/
【分析】
本题主要考查了图形的变化类的规律，根据题意找出图形的变化规律后直接利用规律求解是解决本题的关键．根据题意可得出后一个图形比前一个图形多个，即每个图案是的倍数再加上，即可得出答案．
【详解】解：根据题意可得，
第个图形一共有个“”，
第个图形一共有个“”，
第个图形一共有个“”，
第个图形一共有个“”，
由此可知后一个图形比前一个图形多个“”，
所以第个图形中“星星”的个数为．
故答案为：．
16．
【分析】本题主要考查找规律，表中数字有一定规律，上下相差7的倍数，左右相差1，利用规律即可解答．
【详解】解：据表可知，这些数字排列有一定的规律，上下相差7的倍数，左右相差1，
利用此规律可得另外三个数依次为：，即，
即；．即；
故答案为：，，．
17．/
【分析】本题主要考查了图形与数字的变化规律，通过分析图案个数与涂有阴影的小正方形的个数之间的关系即可得出结论．
【详解】解：由图形可知：
第一个图案有涂有阴影的小正方形的个数为：，
第二个图案有涂有阴影的小正方形的个数为：，
第三个图案有涂有阴影的小正方形的个数为：，
第四个图案有涂有阴影的小正方形的个数为：，
第个图案有涂有阴影的小正方形的个数为：，
故答案为：．
18．(1)22
(2)10
(3)
【分析】（1）观察所给数据可知，在弹性范围内，每挂物体，弹簧长度增加，由此可解；
（2）用挂物体时弹簧总长度减去即可；
（3）挂上x物体时，弹簧长度增加，加上原始长度即可．
【详解】（1）解：观察所给数据可知，在弹性范围内，每挂物体，弹簧长度增加，
因此当挂上6物体时，弹簧总长度为，
故答案为：22．
（2）解：未挂物体时，弹簧总长度为，
故答案为：10．
（3）解：当挂上x物体时，弹簧总长度为，
故答案为：．
【点睛】本题考查列代数式的实际应用，读懂题意，找出弹簧长度的变化规律是解题的关键．
19．（1）④，⑤；（2）．
【分析】（1）根据从同一顶点向外作出的四条线上的点的个数解答；
（2）根据变化的层数和相应的图形的序数解答．
【详解】解：①；
②；
③；
④，
⑤；
（2）第个图形：．
【点睛】本题是对图形变化规律的考查，仔细观察图形，从每一条线上的点的个数考虑求解是解题的关键．
20．（1）(50－x－y)；（2）侧面：（2x+y+100）个；底面：（200－4x－2y）个；（3）38
【分析】（1）用50减去A、B种裁法，即可得到答案；
（2）根据侧面数=4×A种裁法+3×B种裁法+2×C种裁法，底面数=2×B种裁法+4×C种裁法，即可求解；
（3）先求出裁出的侧面和裁出的底面数，进而即可求解．
【详解】解：（1）由题意得：按C种方法剪裁的有(50－x－y) 张白板纸
故答案是：(50－x－y) ；
（2）由题意得：可以裁出的侧面：4x+3y+2(50－x－y)=2x+y+100（个）．
可以裁出的底面：2y+4(50－x－y)=200－4x－2y（个）．
（3）∵2x+y=62，
∴裁出的侧面： 2x+y+100=162（个），
裁出的底面： 200－4x－2y=200-2（2x+y）=76（个）．
∵四个侧面和两个底面恰好能做成一个纸箱，
∴最多可以制作该种型号的长方体纸箱38个，
故答案是：38．
【解法提示】本题主要考查列代数式，理解题目中的数量关系，是解题的关键．
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