人教版八年级上册数学第十二章 全等三角形证明题训练
1．如图，已知点、是内两点，且，，，．
(1)求证：≌；
(2)延长、交于点，若，，求的度数．
2．如图，在中，，，于E，点F在上，．试说明下列线段之间的数量关系：
(1)是的平分线；
(2)．
3．如图，中，，直线经过点，，，垂足分别为、．
(1)证明：；
(2)写出、、之间的数量关系，并说明理由．
4．如图，已知，分别是两个钝角和的高，如果，．
求证：
(1)
(2)
5．如图，是四边形的对角线，，点、分别在、上，，，连接．
(1)求证：；
(2)若，，求的度数．
6．如图，中，是边上的中线，、为直线上的点，连接、，且．
(1)求证：；
(2)若，，试求的长．
7．如图，在和中，，，，分别交，于点F，G．
(1)求证：；
(2)若，求的度数．
8．如图，D是的边上一点，，交于点E，．
(1)求证：；
(2)若，，求的长．
9．如图所示，在中，于D，于E，与交于点F，且．
(1)求证：；
(2)已知，求的长．
10．如图，已知，，，，与交于点．
(1)求证：．
(2)求．
11．如图，在中，平分，，于E，．
(1)求证：．
(2)若，求的度数．
12．在中，和的角平分线相交于点．
(1)若，求的度数；
(2)延长至点，过点作的平行线交于点，若，求证：．
13．如图，在中，为中点，为边上一点，连接，并延长至点 ，使得，连接．
(1)求证：；
(2)若，，，求的度数．
14．如图，中，，D、E是边、上的点，连接、交于点F，．
(1)求证：；
(2)若，，求的度数．
15．如图，、相交于点，点、分别是线段、上的点，连接，，且．
(1)求证：；
(2)若，，，求．
16．如图，点C、E、B、F在一条直线上，．
(1)求证：；
(2)若，求的长．
17．如图，在和中，，点是的中点，于点，且．
(1)求证：；
(2)若，求的长．
18．如图，在中，，于点E，点D在上，，平分交于点F，连接且的延长线交于点G．试说明：
(1)；
(2)．
19．如图，已知点、、、在直线上，点、在直线的异侧，连接、、、、、，且，，．
(1)试说明：；
(2)试说明：．
20．如图，在中，，于点D，，且，过C作．
(1)求证：；
(2)求证：．
21．如图，在中，，将沿射线的方向平移至，连接，设与的交点为．
(1)若为的中点，求证：；
(2)若平分，求的度数．
22．如图，中，，D是延长线上一点，点E是的平分线上一点，过点E作于F，于G．
(1)求证：；
(2)若，，，求的长．
()
()
参考答案：
1．(1)证明见解析
(2)
【分析】此题考查了全等三角形的判定与性质、三角形内角和定理等知识，正确的找出全等三角形的对应边和对应角是解题的关键．
（1）先由推导出，再根据全等三角形的判定定理“”证明；
（2）由求得，再由全等三角形的对应角相等求得，则，再由求得的度数．
【详解】（1），
，
，
在和中，
，
∴≌．
（2），
，
，
．
2．(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，解题的关键是掌握全等三角形的判定定理和性质定理．
（1）证明，可得，即可得是的平分线；
（2）证明，可得，故，有，从而可得．
【详解】（1）证明：，
，
在和中，
，
，
，
，，
是的平分线；
（2）证明：在和中，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
3．(1)证明见解析
(2)，理由见解析
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，由已知条件结合图形灵活选用恰当的方法证明三角形全等是解题的关键．
（1）利用已知得出，进而利用得出即可；
（2）由，可得出，继而利用线段的和差即可得到结论．
【详解】（1）∵，，
又，
，，
，，
，
在和中，
，
∴；
（2）．理由如下：
由（1）得：
∴，，
，
．
4．(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查了直角三角形的全等判定与性质，属于简单题，用的特殊方法证明三角形全等是解题关键．
（）证明，即可求证；
（）证明得，由（）得，即可求证．
【详解】（1）证明：∵，分别是两个钝角和的高，
∴，
在和中,
，
∴，
∴；
（2）证明：在和中,
，
∴，
∴，
由（）得，
∴，
即．
5．(1)见解析
(2)74°
【分析】此题考查了全等三角形的判定与性质，熟记全等三角形的判定定理及性质定理是解题的关键．
（1）利用证明，即可得结论；
（2）根据全等得到，根据得到，即可得结果．
【详解】（1）证明：在和中
∴
∴；
（2）解：∵，
∴
∵
∴；
6．(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质；
（1）利用中点性质可得，由平行线性质可得，再由对顶角相等可得，即可证得；
（2）由题意可得﹣，再由全等三角形性质可得，即可求得答案．
【详解】（1）证明：是边上的中线，
，
，
，
在和中，
，
（）；
（2）解：，，
，
，
，
，
．
7．(1)见解析
(2)
【分析】（1）根据，得到即，接着证明即可．
（2）根据，得到，利用三角形内角和定理计算即可．
本题考查了三角形全等的判定和性质，对顶角性质，三角形内角和定理，熟练掌握三角形全等的判定和性质是解题的关键．
【详解】（1）证明：∵ ，
∴，
∴，
∵ ，
∴，
∴．
（2）∵ ，
∴，
∵，
∵ ，
∴．
8．(1)见解析
(2)1
【分析】本题考查平行线的性质、全等三角形的判定与性质，
（1）由平行线的性质可得，，再利用“”证明即可；
（2）由（1）可得，，即可得，即可求解．
【详解】（1）证明：∵，
∴，，
在和中，
，
∴．
（2）解：由（1）可得，，
∴，
∴．
9．(1)见解析
(2)4
【分析】（1）先证明，则，即可根据全等三角形的判定定理“”证明；
（2）先由求得，再根据全等三角形的对应边相等证明，则．
【详解】（1）证明：∵于点D，于点E，
∴，
∴，
在和中，
，
∴．
（2）解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴的长是4．
【点睛】此题重点考查直角三角形的两锐角互余、同角的余角相等、全等三角形的判定与性质等知识，正确地找到全等三角形的对应边和对应角并且通过推理证明三角形全等的条件是解题的关键．
10．(1)证明见解析
(2)
【分析】本题考查全等三角形的性质和判定，三角形外角的性质，
（1）根据证明两个三角形全等即可；
（2）根据三角形全等的性质和三角形外角的性质可得结论；
解题的关键是掌握三角形全等的判定．
【详解】（1）证明：∵，
∴，即，
∵，
在和中，
，
∴；
（2）解：∵，，
∴，
由（1）知：，
∴，
∴，
∴，
∴的度数为．
11．(1)详见解析
(2)
【分析】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，直角三角形两锐角互余，角平分线的定义，角平分线的性质，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法，
（1）根据角平分线的性质得出，证明，得出即可；
（2）根据角平分线的定义得出，根据锐角三角形两锐角互余得出，根据，得出的度数即可．
【详解】（1）证明：∵平分，，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴；
（2）解：∵平分，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
由（1）知：，
∴．
12．(1)；
(2)证明见解析．
【分析】（）根据角平分线的定义，三角形内角和定理即可求解；
（）在上截取，连接，证明，，再根据性质即可求证；
本题考查了角平分线的定义，三角形内角和定理，三角形全等的性质与判定，平行线的性质，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∵和的角平分线相交于点，
∴，，
∴，
∴；
（2）证明：如图，在上截取，连接，
∵平分，
∴垂直平分，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴．
13．(1)证明见解析；
(2)．
【分析】（）由为中点得，然后用“”证明即可；
（）由，得， 三角形的内角和得，最后由平行线的性质即可求解；
本题考查了全等三角形的判定与性质，平行线的性质，三角形的内角和，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】（1）证明：∵为中点，
∴，
在和中，
，
∴；
（2）由（）得：，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴．
14．(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练运用全等三角形的判定与性质是解题的关键．
（1）利用证明，根据全等三角形的性质即可得证；
（2）根据全等三角形的性质求出，再根据三角形外角性质求解即可．
【详解】（1）证明：在和中，
∴，
∴；
（2）解：∵，，
∴，
∵，，
∴，
∴．
15．(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了平行线的判定和性质，全等三角形的判定和性质，得到是解题的关键．
（1）利用，可得，即可推出，即可解答；
（2）证明，可得，即可解答．
【详解】（1）证明：，
，
，
，
；
（2）解：，
，
，
，
在与中，
，
，
．
16．(1)见解析
(2)2
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行线的性质．
（1）根据，得到，由，利用即可证明；
（2）由易得，根据即可得出结果．
【详解】（1）证明：，
，
在与中，，
；
（2）解：
，
，
；
，
．
17．(1)见解析
(2)6
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，证明三角形全等是解题的关键．
（1）由“”可证；
（2）由全等三角形的性质可得，，即可求解．
【详解】（1）证明：，，
，，
，
在和中，
，
；
（2）解：由（1）得：，
，，
是的中点，
，
，，
，
．
18．(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查全等三角形的判定和性质、平行线的判定、角平分线的性质等知识．
（1）根据已知，证出，得到，再根据同角的余角相等即可证明；
（2）已知，，则，再根据角平分线上的点到角两边的距离相等即可证出．
【详解】（1）证明：平分，
，
在和中，
，
，
，
，，
，，
；
（2）证明：，
，
，
，
又平分，
．
19．(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、平行线的性质与判定，熟练掌握知识点、推理证明是解题的关键．
（1） 根据“两直线平行，内错角相等”，得出，再结合，，利用证明即可；
（2）由，得，推出，根据“两直线平行，内错角相等”，得出，推出，利用证明，得出，根据“内错角相等，两直线平行”，即可证明．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∵，，
∴；
（2）证明：∵，
∴，
∴，即，
∵，
∴，
∴，即，
∵，
∴，
∴，
∴．
20．(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】本题考查的是同角的余角相等，全等三角形的判定与性质，熟记全等三角形的判定方法是解本题的关键；
（1）证明，即可得到结论；
（2）先证明，再证明即可得到结论．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴；
（2）证明：∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴．
21．(1)见解析
(2)
【分析】本题主要考查几何变换，平移的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，掌握和理解这些性质进行推理是解题的关键．
（1）根据平移性质得到，，从而得到，再根据为的中点，得到，从而证明结论；
（2）根据平分，得到，从而证明．再根据三角形内角和定理以及，即可求解；
【详解】（1）解：由沿射线的方向平移所得，
，，
，
为的中点，
，
．
在和中
，
；
（2）平分，
，
又，
．
，，
．
22．(1)见详解
(2)1
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的定义，熟练掌握知识点是解题的关键．
（1）由角平分线的定义以及垂直的定义，利用即可证明；
（2）先利用证明，得到，继而得到，而，则，即可求解．
【详解】（1）证明：∵平分，
∴．
又∵，，
∴．
在和中：
，，，
∴．
（2）解：∵平分且，，
∴．
∵
∴，
∵
∴
∴
即
在和中
，，
∴．
∴．
又∵，，
即，
又∵，
∴．
∴．
∴．
()
()
