上海市莘庄中学2023-2024学年高二上学期期中考试
数学试卷
（时间：120分钟 满分：150分）
一、填空题（本大题共有12题，满分54分．1-6题每题4分，7-12题每题5分）
1. 直线经过点和，则直线的倾斜角为______
2. 用斜二测画法画出水平放置的的直观图如图，其中，若原的面积为2，则____________．
3. 平面截球的球面所得圆的半径为，球心到平面的距离为，则此球的表面积为___________．
4. 已知圆锥的侧面积为，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面半径是_________.
5. 如图，在三棱台的9条棱所在直线中，与直线是异面直线的共有___________条.
6. 如图所示，以长方体的顶点D为坐标原点，过D的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，若的坐标为，则的坐标为____________．
7. 如图，对于直四棱柱，要使，则在四边形中，满足的条件可以是______________（只需写出一个正确的条件）
8. 已知圆柱的底面圆半径为1，高为2，为上底面圆的一条直径，是下底面圆周上的一个动点，则△的面积的取值范围为_______
9. 已知直线，斜率为的直线与x轴交于点A，与y轴交于点，过作x 轴的平行线，交于点，过作y轴的平行线，交于点，再过作x轴的平行线交于点，…，这样依次得线段、、、、…、、，记为点的横坐标，则__________．
10. 已知公差不为的等差数列的前项和为，若，则的最小值为____________
11. 某人去公园郊游，在草地上搭建了如图所示简易遮阳篷ABC，遮阳篷是一个直角边长为8的等腰直角三角形，斜边AB朝南北方向固定在地上，正西方向射出的太阳光线与地面成30°角，则当遮阳篷ABC与地面所成的角大小为________时，所遮阴影面ABC＇面积达到最大
12. 如图，在长方体中，已知，．动点P从出发，在棱上匀速运动；动点Q同时从B出发，在棱BC上匀速运动，P的运动速度是Q的两倍，各自运动到另一端点停止．它们在运动过程中，设直线PQ与平面ABCD所成的角为，则的取值范围是____________．
二、选择题（本大题共有4题，满分18分．13，14题每题4分，15，16题每题5分）
13. 一个直角三角形的两条直角边长分别为2和4，将该三角形分别绕其两个直角边旋转得到的两个圆锥的体积之比为（ ）
A. 1 B. 2 C. 4 D. 8
14. 如图：在平行六面体中，M为，的交点．若，，，则向量（ ）
A. B.
C. D.
15. 如图所示，一个灯笼由一根提竿PQ和一个圆柱组成，提竿平行于圆柱的底面，在圆柱上下底面圆周上分别有两点A、B，AB与圆柱的底面不垂直，则在圆柱绕着其旋转轴旋转一周的过程中，直线PQ与直线AB垂直的次数为（ ）
A. 2 B. 4 C. 6 D. 8
16. 《九章算术》中将底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱称为“堑堵”；底面为矩形，一条侧棱垂直于底面的四棱锥称之为“阳马”；四个面均为直角三角形的四面体称为“鳖臑”.如图，在堑堵中，，且.下列说法错误的是（ ）
A. 四棱锥为“阳马”
B. 四面体为“鳖臑”
C. 四棱锥体积的最大值为
D. 过A点作于点E，过E点作于点F，则面AEF
三、解答题（本大题共有5题，满分78分）
17. 如图，已知点P在圆柱的底面圆O的圆周上，AB为圆O的直径，圆柱的表面积为，，．
（1）求直线与平面所成角的大小；
（2）求点到平面的距离．
18. 已知数列各项均为正数，且，记其前n项和为．
（1）若数列为等差数列，，求数列的通项公式；
（2）若数列为等比数列，，求满足时，n的最小值．
19. 如图，在多面体中，四边形是边长为2的菱形，，四边形是正方形，平面平面.
（1）证明：平面平面；
（2）求多面体的体积；
（3）若点是线段上的一点，且满足平面.求二面角的大小.
20. 如图，在直角梯形中，，点A是PB的中点，现沿AD将平面PAD折起，设.
(1)当为直角时，求异面直线PC与BD所成角的大小；
(2)当为多少时，三棱锥的体积为
(3)剪去梯形中的，留下长方形纸片，在BC边上任取一点E，把纸片沿AE折成直二面角,问E点取何处时，使折起后两个端点间的距离最短.
21. 已知是底面边长为1正四棱柱，为与的交点．
（1）设与底面所成角大小为，异面直线与所成角的大小为，求证：；
（2）若点C到平面的距离为，求正四棱柱的表面积；
（3）若正四棱柱的高为2，在矩形内（不包含边界）存在点P，满足P到线段BC的距离与到线段的距离相等，求的最小值．
上海市莘庄中学2023-2024学年高二上学期期中考试
数学试卷 简要答案
一、填空题（本大题共有12题，满分54分．1-6题每题4分，7-12题每题5分）
【1题答案】
【答案】##
【2题答案】
【答案】1
【3题答案】
【答案】
【4题答案】
【答案】1
【5题答案】
【答案】3
【6题答案】
【答案】
【7题答案】
【答案】（答案不唯一）
【8题答案】
【答案】．
【9题答案】
【答案】
【10题答案】
【答案】
【11题答案】
【答案】
【12题答案】
【答案】
二、选择题（本大题共有4题，满分18分．13，14题每题4分，15，16题每题5分）
【13题答案】
【答案】B
【14题答案】
【答案】B
【15题答案】
【答案】A
【16题答案】
【答案】C
三、解答题（本大题共有5题，满分78分）
【17题答案】
【答案】（1）；
（2）
【18题答案】
【答案】（1）；
（2）6.
【19题答案】
【答案】（1）证明略
（2）.
（3）.
【20题答案】
【答案】（1）；（2）或；（3）当时，沿AE折起后间距离最短
【21题答案】
【答案】（1）证明略
（2）10 （3）
