2023-2024学年辽宁省朝阳市建平实验中学高二（下）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，且，则实数的取值范围为( )
A. B. C. D.
2.已知向量，，则“”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
3.已知等差数列的前项之和为，则( )
A. B. C. D.
4.统计学中通常认为服从于正态分布的随机变量只取中的值，简称为原则假设某厂有一条包装食盐的生产线，正常情况下食盐质量服从正态分布单位：，某天生产线上的质检员随机抽取了一包食盐，称得其质量小于，他立即判断生产线出现了异常，要求停产检修由此可以得到的最大值为( )
A. B. C. D.
5.故宫的角楼是中国古建筑艺术的巅峰之作，它被誉为故宫最美的建筑，角楼的建造者也将中国古代的阴阳观和吉数的思想融入在角楼的设计之中中国古代常把奇数称为“阳数”，偶数称为“阴数”，的整数倍称为“吉数”若从，，，，这五个阳数，，，，这四个阴数中各取一个数组成两位数，则这个两位数恰好是“吉数”的概率是( )
A. B. C. D.
6.若斜率为的直线与曲线和圆都相切，则实数的值为( )
A. B. C. D. 或
7.在三棱锥中，，且，平面，过点作截面分别交，于点，，且二面角的平面角为，则所得截面的面积最小值为( )
A. B. C. D.
8.已知，分别是双曲线：的左右顶点，是双曲线上的一动点，直线，与交于，两点，，的外接圆面积分别为，，则的最小值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.数据，，，的平均数为，方差为，数据，，，的平均数为，方差为，其中，满足关系式，则( )
A.
B. 若数据，则
C. 数据，，，，，，，的平均数为
D. 若，数据，，，不全相等，则这组数据，，，的相关系数为
10.已知函数的最小正周期为，且对恒成立，则下列说法中正确的是( )
A.
B.
C. 函数的极大值点的集合是
D. 函数与函数的图象关于直线对称
11.已知函数，在上可导，若，且关于对称，关于对称，则下列结论正确的是( )
A. B.
C. 是上的偶函数 D. 是上的偶函数
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知复数满足，则的虚部为______．
13.已知，则 ______．
14.已知抛物线：的焦点为，其准线与轴的交点为，过点的直线与抛物线交于，两点点位于点右方若为的角平分线，则 ______；直线的斜率为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
为考察某种药物预防疾病的效果，进行动物试验，得到如下的列联表单位：只：
药物 疾病 合计
未患病 患病
未服用
服用
合计
请将上面的列联表补充完整；
依据的独立性检验，能否认为药物有效呢？从概率的角度解释得到的结论；
为了进一步研究，现按分层抽样的方法从未患病动物中抽取只作为样本，从该样本中随机抽取只，设其中未服用药物的动物数为，求的分布列及期望．
附表及公式：．
16.本小题分
如图，在三棱柱中，平面，，，，点，分别在棱，上，且，，为棱的中点．
Ⅰ求证：；
Ⅱ求二面角的正弦值．
17.本小题分
已知函数．
讨论的最值；
若，且，求的取值范围．
18.本小题分
已知椭圆：的短轴长为，离心率为．
求的方程；
直线：与交于，两点，与轴交于点，与轴交于点，且．
(ⅰ)当时，求的值；
(ⅱ)当时，求点到的距离的最大值．
19.本小题分
对于数列，把作为新数列的第一项，把或作为新数列的第项，数列称为数列的一个生成数列．例如，数列，，，，的一个生成数列是，，，，已知数列为数列的生成数列，为数列的前项和．
Ⅰ写出的所有可能值；
Ⅱ若生成数列满足，求数列的通项公式；
Ⅲ证明：对于给定的，的所有可能值组成的集合为
参考答案
1.
2.
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4.
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7.
8.
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10.
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12.
13.
14.
15.解：由题可得如下列联表：
药物 疾病 合计
未患病 患病
未服用
服用
合计
零假设：药物与患病独立，即药物对疾病没有效果，根据列联表中的数据，
则，
所以依据的独立性检验，我们可以推断不成立，
即认为药物对预防疾病有效，该推断犯错误的概率不超过；
结论解释：未服用药物中未患病和患病的频率分别为和，服用药物中未患病和患病的频率分别为和，根据频率稳定于概率的原理，可以推断服用药物不患病的概率更大；
按分层抽样的方法从未患病动物中抽取只，则未服用药物的动物有只，
服用药物的动物有只，所以的可能取值为，，，，，
则，，，
，，
所以的分布列如下：
则．
16.解：Ⅰ证明：在三棱柱中，平面，，
建立以为原点，以，，所在直线分别为轴，轴，轴的空间直角坐标系，如图所示：
，，，，
则，，，，，，，，，
，，
，
，即；
Ⅱ平面，，
，
又，平面，平面，
平面，
平面的一个法向量，
设平面的一个法向量，，，
，取，则，，
平面的一个法向量，
，，
二面角的正弦值为．
17.解：因为的定义域为，
可得，
当时，令，可得，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
故当时，取得极小值，也是最小值，且最小值为，无最大值；
当时，由，可得，
整理得，即，
令，
则，
由知，当时，的最小值为，即恒成立，
所以当时，，单调递增；
当时，，单调递减．
故当时，取得最大值，
即，
故的取值范围为．
18.解：因为椭圆的短轴长为，离心率为，
所以，
解得，，
则的方程为；
易知，
因为，
所以，
则，
因为，
所以，
则，
因为，两点均在椭圆上，
所以，，
解得，
又，
所以；
(ⅱ)联立，消去并整理得，
此时，
不妨设，，
由韦达定理得，
因为，
所以，
此时，
因为，
所以，
即，
整理得，
解得，
因为，，
所以，
则直线的方程为，
此时直线过定点，
所以点到的最大距离为点与点的距离，
即点到的距离的最大值为．
19.解：Ⅰ由已知，，，
，
由于，
可能值为分
Ⅱ，
当时，，
当时，，
，，分
是的生成数列，
；；；
，
在以上各种组合中，
当且仅当时，才成立．
分
Ⅲ证明：共有种情形．，即，
又，分子必是奇数，
满足条件的奇数共有个．分
设数列与数列为两个生成数列，数列的前项和为，数列的前项和为，从第二项开始比较两个数列，设第一个不相等的项为第项．
由于，不妨设，，
则，
所以，只有当数列与数列的前项完全相同时，才有分
共有种情形，其值各不相同．
可能值必恰为，共个．
即所有可能值集合为分
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