吉林省长春市实验中学2023-2024学年高二下学期5月期中考试数学试题
一、单选题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求。
1．（5分）函数f（x）在R上可导，若f′（2）＝3，则＝（ ）
A．12 B．9 C．6 D．3
2．（5分）某班上午有五节课，计划安排语文、数学、英语、物理、化学各一节，要求语文与化学相邻，且数学不排第一节，则不同排法的种数为（ ）
A．24 B．36 C．42 D．48
3．（5分）已知函数f（x）＝（x+1）ex，过点P（m，0）作曲线y＝f（x）的两条切线，切点分别为A（a，f（a））和B（b，f（b）），若a+b＝0，则实数m＝（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
4．（5分）在某电路上有M、N两个独立工作的元件，每次通电后，需要更换M元件的概率为0.3，需要更换N元件的概率为0.2，则在某次通电后M、N有且只有一个需要更换的条件下，M需要更换的概率是（ ）
A． B． C． D．
5．（5分）泊松分布是统计学里常见的离散型概率分布，由法国数学家泊松首次提出，泊松分布的概率分布列为P（X＝k）＝e﹣λ（k＝0，1，2，…），其中e为自然对数的底数，λ是泊松分布的均值．已知某线路每个公交车站台的乘客候车相互独立，且每个站台候车人数X服从参数为λ（λ＞0）的泊松分布，若该线路某站台的候车人数为2和3的概率相等，则该线路公交车两个站台各有1个乘客候车的概率为（ ）
A． B． C． D．
6．（5分）已知函数f（x）＝x2lnx，则下列结论正确的是（ ）
A．f（x）在处得到极大值
B．f（x）在处得到极大值
C．f（x）在处得到极小值
D．f（x）在处得到极小值
7．（5分）随机变量F的概率分布列为P（ξ＝k）＝，k＝1，2，3，其中c是常数，则D（9ξ﹣3）的值为（ ）
A．10 B．117 C．38 D．35
8．（5分）已知a＝4ln3π，b＝3π，c＝4lnπ3，则a，b，c的大小关系是（ ）
A．c＜b＜a B．b＜c＜a C．b＜a＜c D．a＜b＜c
9．（5分）口袋中有相同的黑色小球n个，红、白、蓝色的小球各一个，从中任取4个小球．ξ表示当n＝3时取出黑球的数目，η表示当n＝4时取出黑球的数目．则下列结论成立的是（ ）
A．E（ξ）＜E（η），D（ξ）＜D（η）
B．E（ξ）＞E（η），D（ξ）＜D（η）
C．E（ξ）＜E（η），D（ξ）＞D（η）
D．E（ξ）＞E（η），D（ξ）＞D（η）
10．（5分）在同一平面直角坐标系内，函数y＝f（x）及其导函数y＝f′（x）的图像如图所示，已知两图像有且仅有一个公共点，其坐标为（0，1），则（ ）
A．函数y＝f（x） ex的最大值为1
B．函数y＝f（x） ex的最小值为1
C．函数的最大值为1
D．函数的最小值为1
二、多选题：本题共4小题，每小题6分，共24分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
（多选）11．（6分）下列函数求导运算正确的是（ ）
A． B．（x2lnx）′＝2xlnx
C． D．
（多选）12．（6分）现有4个编号为1，2，3，4的盒子和4个编号为1，2，3，4的小球，要求把4个小球全部放进盒子中，则下列结论正确的有（ ）
A．没有空盒子的方法共有24种
B．可以有空盒子的方法共有128种
C．恰有1个盒子不放球的方法共有72种
D．没有空盒子且恰有一个小球放入自己编号的盒子的方法有8种
13．（6分）经检测一批产品中每件产品的合格率为，现从这批产品中任取5件，设取得合格产品的件数为X，则以下选项正确的是（ ）
A．X的可能取值为1，2，3，4，5
B．
C．X＝3的概率最大
D．X服从超几何分布
（多选）14．（6分）已知函数f（x）＝x2﹣x﹣lnx，则下列选项中正确的是（ ）
A．
B．f（x）既有极大值又有极小值
C．若方程m＝f（|x|）有4个根，则m∈（0，+∞）
D．若f（x1）＝f（x2）（x1≠x2），则x1x2﹣（x1+x2）+1＜0
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上。
15．（5分）曲线f（x）＝（x+1）ex+lnx在（1，a）处的切线与直线bx﹣y+2＝0平行，则b﹣a＝ ．
16．（5分）为了响应中央的号召，某地教育部门计划安排甲、乙、丙、丁等6名教师前往四个乡镇支教，要求每个乡镇至少安排1名教师，则甲、乙在同一乡镇支教且丙、丁不在同一乡镇支教的安排方法共有 种．
17．（5分）从分别写有数字1，2，3，5，9的5张卡片中任取2张，设这2张卡片上的数字之和为X，则E（X）＝ ．
18．（5分）已知a，b∈（0，1）∪（1，+∞），4logab+logba＝4，则+ln的最小值为 ．
四、解答题：本题共4小题，其中19题12分，20题14分，21题14分，22题16分，共56分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。
19．（12分）已知（2x+）n的展开式中各项的二项式系数之和为32．
（1）求n的值；
（2）求（2x+）n的展开式中x2项的系数；
（3）求（x﹣）（2x+）n展开式中的常数项．
20．（14分）某学校要建造一个面积为10000平方米的运动场．如图，运动场是由一个矩形ABCD和分别以AD、BC为直径的两个半圆组成．跑道是一条宽8米的塑胶跑道，运动场除跑道外，其他地方均铺设草皮．已知塑胶跑道每平方米造价为150元，草皮每平方米造价为30元．
（1）设半圆的半径OA＝r（米），试建立塑胶跑道面积S与r的函数关系S（r）；
（2）由于条件限制r∈[30，40]，问当r取何值时，运动场造价最低？（精确到元）
21．（14分）甲乙两名同学利用课余时间进行羽毛球比赛，规定每一局比赛中获胜方记2分，失败方记0分，没有平局，谁先获得10分就获胜，比赛结束．假设每局比赛甲获胜的概率都是．
（1）求比赛结束时恰好打了6局的概率；
（2）若现在是甲以6：2的比分领先，记X表示结束比赛还需要打的局数，求X的概率分布列及数学期望．
22．（16分）已知函数．
（1）求函数f（x）的极值；
（2）设函数f（x）有两个极值点x1，x2，求证：．
参考答案与试题解析
一、单选题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求。
1．（5分）函数f（x）在R上可导，若f′（2）＝3，则＝（ ）
A．12 B．9 C．6 D．3
【解答】解：＝＝4f'（2）＝12．
故选：A．
2．（5分）某班上午有五节课，计划安排语文、数学、英语、物理、化学各一节，要求语文与化学相邻，且数学不排第一节，则不同排法的种数为（ ）
A．24 B．36 C．42 D．48
【解答】解：先将语文与化学捆绑在一起，作为一个元素，再将四个元素全排，再减去数学排第一节的排法即可
即不同排法的种数为﹣＝48﹣12＝36，
故选：B．
3．（5分）已知函数f（x）＝（x+1）ex，过点P（m，0）作曲线y＝f（x）的两条切线，切点分别为A（a，f（a））和B（b，f（b）），若a+b＝0，则实数m＝（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【解答】解：由题意知f′（x）＝（x+2）ex，
因为PA与曲线y＝f（x）相切，
所以，整理得a2+（1﹣m）a﹣2m﹣1＝0，
同理b2+（1﹣m）b﹣2m﹣1＝0，
则a，b是方程x2+（1﹣m）x﹣2m﹣1＝0的两个实数根，
所以a+b＝m﹣1＝0，
所以m＝1．
故选：B．
4．（5分）在某电路上有M、N两个独立工作的元件，每次通电后，需要更换M元件的概率为0.3，需要更换N元件的概率为0.2，则在某次通电后M、N有且只有一个需要更换的条件下，M需要更换的概率是（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：记事件A为在某次通电后M、N有且只有一个需要更换，事件B为M需要更换，
∵每次通电后，需要更换M元件的概率为0.3，需要更换N元件的概率为0.2，
则P（A）＝0.3×（1﹣0.2）+（1﹣0.3）×0.2＝0.38，
P（AB）＝0.3×（1﹣0.2）＝0.24，
由条件概率公式可得．
故选：A．
5．（5分）泊松分布是统计学里常见的离散型概率分布，由法国数学家泊松首次提出，泊松分布的概率分布列为P（X＝k）＝e﹣λ（k＝0，1，2，…），其中e为自然对数的底数，λ是泊松分布的均值．已知某线路每个公交车站台的乘客候车相互独立，且每个站台候车人数X服从参数为λ（λ＞0）的泊松分布，若该线路某站台的候车人数为2和3的概率相等，则该线路公交车两个站台各有1个乘客候车的概率为（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：由题可知P（X＝2）＝P（X＝3），即，解得λ＝3，
故，
故两个站台各有1个乘客候车的概率为．
故选：D．
6．（5分）已知函数f（x）＝x2lnx，则下列结论正确的是（ ）
A．f（x）在处得到极大值
B．f（x）在处得到极大值
C．f（x）在处得到极小值
D．f（x）在处得到极小值
【解答】解：函数f（x）＝x2lnx，x∈（0，+∞），
f′（x）＝2xlnx+x，令2xlnx+x＝0，可得x＝，
当x∈（0，）时，f′（x）＜0，函数是减函数，x∈（，+∞）时，f′（x）＞0，函数是增函数，
所以f（x）在处得到极小值，极小值为：f（）＝＝﹣．
故选：C．
7．（5分）随机变量F的概率分布列为P（ξ＝k）＝，k＝1，2，3，其中c是常数，则D（9ξ﹣3）的值为（ ）
A．10 B．117 C．38 D．35
【解答】解：∵P（ξ＝k）＝，k＝1，2，3，
∴P（ξ＝1）＝，P（ξ＝2）＝，P（ξ＝3）＝，
∴，解得c＝，
故ξ的分布列为：
ξ 1 2 3
P
故ξ2的分布列为：
ξ2 1 4 9
P
故E（ξ）＝，
E（ξ2）＝，
∵D（ξ）＝E（ξ2）﹣[E（ξ）]2＝，
∴D（9ξ﹣3）＝．
故选：C．
8．（5分）已知a＝4ln3π，b＝3π，c＝4lnπ3，则a，b，c的大小关系是（ ）
A．c＜b＜a B．b＜c＜a C．b＜a＜c D．a＜b＜c
【解答】解：a＝4ln3π＝4πln3＞4π＞3π，c＝4lnπ3＝12lnπ＞12＞3π，
即a＞b，c＞b，
对于a，c的大小：构造函数，则，
当x∈（0，e）时，f′（x）＞0，f（x）在（0，e）上单调递增，
当x∈（e，+∞）时，f′（x）＜0，f（x）在（e，+∞）上单调递减，
∵π＞3＞e，∴f（π）＜f（3），即，∴3lnπ＜πln3，∴lnπ3＜ln3π，∴4lnπ3＜4ln3π，即c＜a，
综上，b＜c＜a．
故选：B．
9．（5分）口袋中有相同的黑色小球n个，红、白、蓝色的小球各一个，从中任取4个小球．ξ表示当n＝3时取出黑球的数目，η表示当n＝4时取出黑球的数目．则下列结论成立的是（ ）
A．E（ξ）＜E（η），D（ξ）＜D（η）
B．E（ξ）＞E（η），D（ξ）＜D（η）
C．E（ξ）＜E（η），D（ξ）＞D（η）
D．E（ξ）＞E（η），D（ξ）＞D（η）
【解答】解：当n＝3时，ξ的可能取值为1，2，3，
P（ξ＝1）＝＝，
P（ξ＝2）＝＝，
P（ξ＝3）＝＝，
∴E（ξ）＝＝2，
D（ξ）＝＝，
当n＝4时，η可取1，2，3，4，
P（η＝1）＝＝，
P（η＝2）＝＝，
P（η＝3）＝＝，
P（η＝4）＝＝，
∴E（η）＝＝，
D（η）＝（1﹣）2+（2﹣）2+（3﹣）2+（4﹣）2＝，
∴E（ξ）＜E（η），D（ξ）＜D（η）．
故选：A．
10．（5分）在同一平面直角坐标系内，函数y＝f（x）及其导函数y＝f′（x）的图像如图所示，已知两图像有且仅有一个公共点，其坐标为（0，1），则（ ）
A．函数y＝f（x） ex的最大值为1
B．函数y＝f（x） ex的最小值为1
C．函数的最大值为1
D．函数的最小值为1
【解答】解：由题意可知，两个函数图像都在x轴上方，任何一个为导函数，则另外一个函数应该单调递增，判断可知，虚线部分为y＝f′（x），实线部分为y＝f（x），则A，B显然错误，
对于C，D而言，，由图像可知单调递增，x∈（0，+∞），单调递减，所以函数在x＝0处取得最大值为1．
故选：C．
二、多选题：本题共4小题，每小题6分，共24分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
（多选）11．（6分）下列函数求导运算正确的是（ ）
A． B．（x2lnx）′＝2xlnx
C． D．
【解答】解：对于A，（x+）′＝1﹣，选项A错误；
对于B，（x2lnx）′＝2xlnx+x2 ＝2xlnx+x，选项B错误；
对于C，（ex﹣）′＝ex﹣（﹣） ＝ex+，选项C正确；
对于D，（tanx）′＝（）′＝＝，选项D正确．
故选：CD．
（多选）12．（6分）现有4个编号为1，2，3，4的盒子和4个编号为1，2，3，4的小球，要求把4个小球全部放进盒子中，则下列结论正确的有（ ）
A．没有空盒子的方法共有24种
B．可以有空盒子的方法共有128种
C．恰有1个盒子不放球的方法共有72种
D．没有空盒子且恰有一个小球放入自己编号的盒子的方法有8种
【解答】解：对于A，没有空盒子的方法为4个球放入4个盒子，共有种，故A正确；
对于B，可以有空盒子的方法共有44＝256种，故B错误；
对于C，恰有1个盒子不放球，选出一个空盒子，有4种，
再将四个球种的一个球与其他另一个球绑定，有种，
其余全排，有种，
所以共有4×6×6＝144种，故C错误；
对于D，恰有一个小球放入自己编号的盒子，有4种，另外三球三盒子不能对应，共有2种，所以一共有8种，故D正确．
故选：AD．
13．（6分）经检测一批产品中每件产品的合格率为，现从这批产品中任取5件，设取得合格产品的件数为X，则以下选项正确的是（ ）
A．X的可能取值为1，2，3，4，5
B．
C．X＝3的概率最大
D．X服从超几何分布
【解答】解：由已知可得，X，X＝0，1，2，3，4，5，故A错误，D错误；
P（X＝k）＝（）k（）5﹣k，k＝0，1，2，3，4，5，
，
，
，
，
，
，
故B错误，C正确．
故选：C．
（多选）14．（6分）已知函数f（x）＝x2﹣x﹣lnx，则下列选项中正确的是（ ）
A．
B．f（x）既有极大值又有极小值
C．若方程m＝f（|x|）有4个根，则m∈（0，+∞）
D．若f（x1）＝f（x2）（x1≠x2），则x1x2﹣（x1+x2）+1＜0
【解答】解：对于A：，f（2）＝2﹣ln2＞1，
所以f（）＜f（2），故A正确；
对于B：f（x）的定义域为（0，+∞），
，
当x∈（0，1）时，f′（x）＜0，
当x∈（1，+∞）时，f′（x）＞0，
所以f（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，
所以f（x）只有极小值没有极大值，故B错误；
对于C：由B选项的解析知，f（x）的最小值为f（1）＝0，
当x→0时，f（x）→+∞；当x→+∞时，f（x）→+∞，
把f（x）图象关于y轴对称翻折到y轴左侧，即可得到f（|x|）的图象，如图所示：
方程m＝f（|x|）有4个根等价于函数y＝m与函数y＝f（|x|）的图象有4个交点，则m∈（0，+∞），故C正确；
对于D：x1x2﹣（x1+x2）+1＝（x1﹣1）（x2﹣1），
若f（x1）＝f（x2）（x1≠x2），由图可知：0＜x1＜1＜x2或0＜x2＜1＜x1，
所以（x1﹣1）（x2﹣1）＜0，故D正确．
故选：ACD．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上。
15．（5分）曲线f（x）＝（x+1）ex+lnx在（1，a）处的切线与直线bx﹣y+2＝0平行，则b﹣a＝ e+1 ．
【解答】解：f（x）＝（x+1）ex+lnx经过（1，a），
可得a＝2e，
f（x）＝（x+1）ex+lnx的导数为f′（x）＝（2x+1）ex+．
则在x＝1处的切线的斜率为f′（1）＝3e+1，
由于曲线f（x）＝（x+1）ex+lnx在（1，a）处的切线与直线bx﹣y+2＝0平行．
而直线bx﹣y+2＝0的斜率为b．
即有b＝3e+1，
解得b﹣a＝e+1．
故答案为：e+1．
16．（5分）为了响应中央的号召，某地教育部门计划安排甲、乙、丙、丁等6名教师前往四个乡镇支教，要求每个乡镇至少安排1名教师，则甲、乙在同一乡镇支教且丙、丁不在同一乡镇支教的安排方法共有 216 种．
【解答】解：若这6名教师的分组为3，1，1，1，则不同的安排方法有＝96种；
若这6名教师的分组为2，2，1，1，则不同的安排方法有＝120种，
故不同的安排方法共有96+120＝216种．
故答案为：216．
17．（5分）从分别写有数字1，2，3，5，9的5张卡片中任取2张，设这2张卡片上的数字之和为X，则E（X）＝ 8 ．
【解答】解：从分别写有数字1，2，3，5，9的5张卡片中任取2张卡片共有10种结果，
（1，2），（1，3），（1，5），（1，9），（2，3），（2，5），（2，9），（3，5），（3，9），（5，9），
2张卡片上的数字之和分别为：3，4，5，6，7，8，10，11，12，14，
P（X＝3）＝P（X＝4）＝P（X＝5）＝P（X＝6）＝P（X＝7）＝P（X＝8）
＝，
所以．
故答案为：8．
18．（5分）已知a，b∈（0，1）∪（1，+∞），4logab+logba＝4，则+ln的最小值为 1+ln2 ．
【解答】解：a，b∈（0，1）∪（1，+∞），4logab+logba＝4logab+＝4，
所以logab＝，
所以a＝b2，
则+ln＝lnb，
令f（x）＝lnx+，x＞0且x≠1，
则f′（x）＝＝，
当x∈（0，1）∪（1，2）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，当x＞2时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，
故x＝2时，f（x）取得最小值f（2）＝1+ln2，
所以+ln的最小值为 1+ln2．
故答案为：1+ln2．
四、解答题：本题共4小题，其中19题12分，20题14分，21题14分，22题16分，共56分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。
19．（12分）已知（2x+）n的展开式中各项的二项式系数之和为32．
（1）求n的值；
（2）求（2x+）n的展开式中x2项的系数；
（3）求（x﹣）（2x+）n展开式中的常数项．
【解答】解：（1）由题意结合二项式系数的性质可得2n＝32，解得 n＝5．
（2）由题意得（2x+）n的展开式的通项公式为 Tr+1＝ 25﹣r ，令5﹣＝2，
解得 r＝2，所以展开式中x2项的系数为 23×＝80．
（3）由（2）知，（2x+）n的展开式的通项公式为 Tr+1＝ 25﹣r ，令 5﹣＝﹣1，解得r＝4；
令5﹣＝，解得r＝3，故（x﹣）（2x+）n展开式中的常数项为 21 ﹣22 ＝﹣30．
20．（14分）某学校要建造一个面积为10000平方米的运动场．如图，运动场是由一个矩形ABCD和分别以AD、BC为直径的两个半圆组成．跑道是一条宽8米的塑胶跑道，运动场除跑道外，其他地方均铺设草皮．已知塑胶跑道每平方米造价为150元，草皮每平方米造价为30元．
（1）设半圆的半径OA＝r（米），试建立塑胶跑道面积S与r的函数关系S（r）；
（2）由于条件限制r∈[30，40]，问当r取何值时，运动场造价最低？（精确到元）
【解答】解：（1）塑胶跑道面积S＝π[r2﹣（r﹣8）2]+8××2
＝+8πr﹣64π（）
（2）设运动场造价为y则
y＝150×（+8πr﹣64π）+30×（10000﹣﹣8πr+64π）
＝300000+120（+8πr）﹣7680π
∵r∈[30，40]，函数y是r的减函数
∴当r＝40，运动场造价最低为636510元
答：塑胶跑道面积S与r的函数关系S（r）＝+8πr﹣64π（）
当r＝40，运动场造价最低为636510元
21．（14分）甲乙两名同学利用课余时间进行羽毛球比赛，规定每一局比赛中获胜方记2分，失败方记0分，没有平局，谁先获得10分就获胜，比赛结束．假设每局比赛甲获胜的概率都是．
（1）求比赛结束时恰好打了6局的概率；
（2）若现在是甲以6：2的比分领先，记X表示结束比赛还需要打的局数，求X的概率分布列及数学期望．
【解答】解：（1）记比赛结束时恰好打了6局为事件A，
若甲胜，则，
若乙胜，则．
，
所以比赛结束时恰好打了6局的概率为；
（2）X所有可能的取值为2，3，4，5，
，
，
，
，
X的分布列为：
X 2 3 4 5
P
．
22．（16分）已知函数．
（1）求函数f（x）的极值；
（2）设函数f（x）有两个极值点x1，x2，求证：．
【解答】解：（1）0），
①若m≤0，则f′（2）＝0，x∈（0，2）时f′（x）＞0，x∈（2，+∞）时f′（x）＜0，
所以f（x）极大值＝f（2）＝2ln2﹣2m﹣1，无极小值；
②若，则，f（x）在（0，+∞）上单调递增，无极值；
③，由＝0，得x＝2或，
x∈时，f'（x）＞0，时，f'（x）＜0，x∈（2，+∞）时，f'（x）＞0，
所以，f（x）极小值＝f（2）＝2ln2﹣2m﹣1；
④若，由，得x＝2或，
x∈（0，2）时，f'（x）＞0，时，f'（x）＜0，时，f'（x）＞0，
所以f（x）极大值＝f（2）＝2ln2﹣2m﹣1，．
综上，当m≤0时，f（x）极大值＝f（2）＝2ln2﹣2m﹣1，无极小值；
当时，f（x）极大值＝f（2）＝2ln2﹣2m﹣1，；
当时，f（x）无极值：
当时，，f（x）极小值＝f（2）＝2ln2﹣2m﹣1．
（2）证明：由（1）知函数f（x）有两个极值点时，m∈，
，
，
所以，
因为m∈，所以，
所以，
即．
