延边第二中学2023—2024学年度第一学期期中考试
高二年级数学试卷
单项选择题（共8小题，每小题5分，共40分，每题只有一个选项正确）
1．点，，直线过点且与线段相交，则直线斜率k取值范围（ ）
A．或 B．或 C． D．
2．运动会上有四项比赛的冠军在甲、乙、丙三人中产生，那么不同的夺冠情况共有（ ）种
A． B． C． D．
3．圆C：关于直线对称的圆的方程是（ ）
A． B．
C． D．
4．“篝火晚会”是延边第二中学的一个特色，学生们可以尽情地发挥自己的才能，某班的五个节目（甲 乙 丙 丁 戊）进入了初试环节，现对这五个节目的出场顺序进行排序，其中甲不能第一个出场，乙不能第三个出场，则一共有（ ）种不同的出场顺序.
A．72 B．78 C．96 D．120
5．已知抛物线的焦点为，准线为，过焦点的直线与抛物线交于两点，满足，点在准线上的射影为，若的面积，则（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
6．阿基米德在他的著作《关于圆锥体和球体》中计算了一个椭圆的面积．即椭圆的面积等于圆周率与椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积，已知椭圆面积为，两个焦点分别为，点P为椭圆C的上顶点．直线与椭圆C交于A，B两点，若的斜率之积为，则椭圆C的长轴长为（ ）
A．3 B．6 C． D．
7．用0，1，2，3，4，5这6个数字组成无重复数字且奇数数字互不相邻的六位数，则这样的六位数共有（ ）个
A．120 B．132 C．144 D．156
8．已知双曲线的左顶点为，过的直线与的右支交于点，若线段的中点在圆上，且，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C．2 D．3
二、多项选择题（共4小题，每小题5分，共20分。全选对4分，选不全2分）
9．下列等式中，正确的是（ ）
A． B． C． D．
10．希腊数学家帕普斯在他的著作《数学汇篇》中指出，到定点的距离与到定直线的距离的比是常数的点的轨迹叫做圆锥曲线；当时，轨迹为椭圆；当时，轨迹为抛物线；当时，轨迹为双曲线．现有方程 表示的曲线是双曲线，则实数的取值可能为（ ）
A． B．3 C． D．4
11．现安排包含甲、乙在内的5名志愿者从事翻译、安保、礼仪、服务四项不同的工作. 则下列说法正确的是（ ）
A．若五人每人任选一项工作，则不同的选法有种.
B．若每项工作至少安排一人，则有240种不同的方案.
C．若礼仪工作必须安排两人，其余工作安排一人，则有60种不同的方案.
D．若安排甲、乙两人分别从事翻译、安保工作，其余三人从礼仪、服务中任一项，则有12种不同的方案.
12．已知为坐标原点，分别为双曲线，的左、右焦点，的一条渐近线的方程为，且到的距离为，为在第一象限上的一点，点的坐标为，为的平分线，则下列说法正确的是（ ）
A．双曲线的方程为 B．双曲线的离心率为2
C． D．点到轴的距离为
三．填空题（共4小题，每小题5分，共20分，请将答案写在答题纸上）
13．从2名男生，4名女生中任选3人参加活动，则男生、女生都有人被选中的选法共有 种．（用数字作答）
14．如图为我国数学家赵爽（约3世纪初）在为《周髀算经》作注时验证勾股定理的示意图，现在提供5种颜色给其中5个小区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不相同，则不同的涂色方案共有 种（用数字作答）.
15．已知A，B是平面上的两定点，，动点M满足，动点N在直线上，则距离的最小值为 ．
16．已知椭圆的左、右焦点分别为，经过的直线交椭圆于两点，为坐标原点，且，则椭圆的离心率为 .
四、解答题（共5小题，17题10分，18、19、20、21、22题各12分，请写出必要的解答过程）
17．（1）解关于的方程．
（2）求关于的不等式的解集．
18．在平面直角坐标系中，已知四点.
(1)求过三点的圆方程，并判断点与圆的位置关系；
(2)过点的直线被圆截得的弦长为4，求直线的方程.
19．已知双曲线的中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，离心率为，且过点.
（1）求双曲线的标准方程；
（2）过右焦点且倾斜角为的直线与双曲线相交于两点，为坐标原点，求的面积．
20．椭圆右焦点与抛物线的焦点重合，且椭圆的离心率为.
(1)求椭圆的方程；
(2)椭圆上是否存在关于直线对称的两点、，若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由.
21．已知抛物线，过焦点的直线与抛物线交于两点A，，当直线的倾斜角为时，.
(1)求抛物线的标准方程和准线方程；
(2)记为坐标原点，直线分别与直线，交于点，，求证：以为直径的圆过定点，并求出定点坐标.
22．如图，已知椭圆的离心率为，以该椭圆上的点和椭圆的左、右焦点为顶点的三角形的周长为.一等轴双曲线的顶点是该椭圆的焦点，设为该双曲线上异于顶点的任一点，直线和与椭圆的交点分别为和.
（1）求椭圆和双曲线的标准方程；
（2）是否存在常数，使得恒成立？若存在，求的值；若不存在，请说明理由.
高二年级数学参考答案：
一、单选题
1．B 2．C 3．C 4．B 5．A 6．B 7．B 8．A
二、多选题D
9．ACD 10．AB 11．ABC 12．ABD
三、填空题
13．16 14．420 15． 16．
四、解答题
17．解：（1）因为，所以，
解得．
（2）因为，所以原不等式等价于，
即，解得．
又，且，所以原不等式的解集为．
18．解：（1）设圆方程为
把三点坐标代入可得：，解得，
所以圆方程是把点坐标代入可得：，故在圆上.
（2）由，得，所以圆心，半径为，
因为弦长等于4，所以圆心到直线距离为，
当直线的斜率不存在时，即方程为，圆心到直线距离为1，满足题意
若直线的斜率存在，设直线方程为
圆心到直线的距离，解得
所以过点的直线为或.
19．解：（1）因为双曲线离心率为，所以是等轴双曲线，设双曲线方程为，
将点代入方程,得，双曲线方程为.
（2）右焦点为，则直线的方程为，
由，得， 设、，则：，
又原点到直线的距离为，
[另解]：由，得，
设、，则：，
，
.
20．解：（1）抛物线的焦点坐标为，所以椭圆中，因为椭圆的离心率为，即，所以，，所以椭圆方程为
（2）因为、两点关于直线对称，所以可设直线的方程为，联立 得：，令得：，设，则，，所以中点坐标为，由已知条件可得，中点在直线上，代入得：，，所以存在两点、，且所在的直线方程为
21．解：（1）由已知可得，抛物线的焦点坐标为，直线的方程为.
联立抛物线与直线的方程可得，.
设，，由韦达定理可得，
则，所以.
所以，抛物线的方程为，准线方程为.
（2）设直线，联立直线与抛物线的方程可得，.
所以，，.又，，所以.
同理可得.设圆上任意一点为，则由可得，
圆的方程为，
整理可得，.
令，可得或，所以，以为直径的圆过定点，定点坐标为或.
22．解：(1)设椭圆的半焦距为c，由题意知：，
2a＋2c＝4(＋1)，所以a＝2，c＝2.
又a2＝b2＋c2，因此b＝2.故椭圆的标准方程为＝1.
由题意设等轴双曲线的标准方程为＝1(m＞0)，因为等轴双曲线的顶点是椭圆的焦点，所以m＝2，因此双曲线的标准方程为＝1.
(2)由于PF1的方程为y＝k1(x＋2)，将其代入椭圆方程得(2k＋1)x2－8kx＋8k－8＝0，
显然2k＋1≠0，显然Δ＞0.由韦达定理得x1＋x2＝，x1x2＝.
所以|AB|＝＝.
同理可得|CD|＝.则，
又k1·k2＝1，
所以.
故|AB|＋|CD|＝|AB|·|CD|.因此存在λ＝，使|AB|＋|CD|＝λ|AB|·|CD|恒成立．
