1．三角形的高、中线与角平分线 （1）高：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线画垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高． （2）中线：在三角形中，连接三角形的一个顶点和它所对的边的中点的线段叫做的三角形的中线． （3）角平分线：三角形的一个角的角平分线与这个角所对的边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线． 2．三角形的稳定性 三角形的三条边确定后，三角形的形状和大小就确定不变了，这个性质叫做三角形的稳定性．
1．三角形的高、中线与角平分线
三角形的高 三角形的中线 三角形的角平分线
定义 如图，从的顶点向它所对的边所在的直线画垂线，垂足为，所得线段叫做的边上的高． 如图，连接的顶点和它所对的边的中点，所得线段叫做的边上的中线． 如图，画的平分线交所对的边于点，所得线段叫做的角平分线．
推理语言 ∵是的高， ∴， （或）． ∵是的中线， ∴． ∵是的角平分线， ∴．
用途举例 （1）得到线段垂直； （2）得到角相等． （1）得到线段相等； （2）得到面积相等． 得到角相等．
线段在图中的位置 锐角三角形 三条高全在三角形内． 三条中线全在三角形内． 三条角平分线全在三角形内．
直角三角形 三角形内一条，另外两条与两直角边重合．
钝角三角形 三角形内一条，三角形外两条．
线段（或其所在直线）的交点位置 锐角三角形 交点在三角形内． 三条中线交于三角形内一点（这一点称为三角形的重心）． 交点在三角形内．
直角三角形 交点在直角顶点处．
钝角三角形 交点在三角形外．
共同点 每个三角形都有三条高、三条中线、三条角平分线，它们（或所在的直线）都分别交于一个点，它们都是线段．
2．三角形的稳定性
（1）三角形的形状固定是指三角形的三个内角不会改变，大小固定指三条边长不改变．
（2）三角形的稳定性在生产和生活中应用广泛．例如房屋的人字梁具有三角形的结构，它就坚固而稳定；大桥钢架、输电线支架都采用三角形结构，也是这个道理．
（3）四边形没有稳定性．
【题型1】三角形的稳定性
（2024春 晋江市期末）空调安装在墙上时，一般都会采用如图的方法固定，这种方法应用的几何原理是
A．两点确定一条直线 B．两点之间线段最短
C．三角形的稳定性 D．垂线段最短
【答案】
【分析】钉在墙上的方法是构造三角形支架，因而应用了三角形的稳定性．
【解答】解：这种方法应用的数学知识是：三角形的稳定性，
故选：．
【变式1】 （2023秋 长沙县期末）如图，生活中都把自行车的几根梁做成三角形的支架，这是利用三角形的
A．全等形 B．稳定性 C．灵活性 D．对称性
【变式2】 （2023秋 潮南区期末）如图，工人师傅砌门时，常用木条固定门框，使其不变形，这种做法的根据是
A．两点之间线段最短 B．矩形的对称性
C．矩形的四个角都是直角 D．三角形的稳定性
【变式3】 （2024春 郸城县期末）若使一个五边形木框不变形，至少应再钉上______根木条．
A．1 B．2 C．3 D．4
1．【答案】
【分析】根据三角形具有稳定性解答．
【解答】解：生活中都把自行车的几根梁做成三角形的支架，这是因为三角形具有稳定性．
故选：．
2．【答案】
【分析】根据三角形的稳定性进行解答即可．
【解答】解：工人盖房时常用木条固定矩形门框，使其不变形这种做法的根据是三角形的稳定性，
故选：．
3．【答案】
【分析】根据三角形的稳定性，添加的木条把五边形分成三角形即可．
【解答】解：如图，至少需要2根木条．
故选：．
【题型2】三角形高的画法
（2024春 岳麓区校级期末）在下列四个图形中，线段是中边上的高的图形是
A． B．
C． D．
【答案】
【分析】根据三角形的高的概念判断即可．
【解答】解：、线段不是中边上的高，不符合题意；
、线段是中边上的高，符合题意；
、线段不是中边上的高，不符合题意；
、线段不是中边上的高，不符合题意；
故选：．
易错点拨 从三角形的一个顶点向它所对的边所在的直线画垂线，顶点与垂足所连的线段是三角形的高．三角形的高是一条线段，而垂线是一条直线． （1）三角形的高必过三角形的顶点； （2）三角形的高必垂直于三角形的一条边．
【变式1】 （2024春 和平区期中）在下列各图的中，正确画出边上的高的图形是
A． B．
C． D．
【变式2】 （2024春 内乡县期末）如图，四个图形中，线段是的高的图是
A． B．
C． D．
【变式3】 （2024春 惠来县期末）下列各图中，画出边上的高，正确的是
A． B．
C． D．
1．【答案】
【分析】根据三角形的高的概念判断．
【解答】解：边上的高就是过作垂线垂直交的延长线于点，因此只有符合条件，
故选：．
2．【答案】
【分析】根据高的画法知，过点作边上的高，垂足为，其中线段是的高．
【解答】解：由图可得，线段是的高的图是选项．
故选：．
3．【答案】
【分析】根据三角形高的定义，过点与边垂直，且垂足在边上，然后结合各选项图形解答．
【解答】解：根据三角形高线的定义，只有选项中的是边上的高．
故选：．
【题型3】三角形的周长问题
（2024春 吉安期中）如图，在中，点是的中点，，，的周长是25，则的周长是
A．18 B．22 C．28 D．32
【答案】
【分析】根据中点得到，再表示出和的周长，找出它们的联系即可．
【解答】解：点是的中点，
，
，，
的周长，
，
的周长，
故选：．
点拨 三角形的周长问题先将周长用线段的和表示，再分析题目中线段之间的数量关系，列式求解．
【变式1】 （2023秋 宁江区期末）如图，在中，，，是边上的中线，若的周长为30，则的周长是
A．20 B．24 C．26 D．28
【变式2】 （2024春 长沙期末）如图，是的中线，，，若的周长为18，则的周长为 ．
【变式3】 （2024春 大埔县期末）如图，是的中线，已知的周长为，比长，则的周长为 ．
1．【答案】
【分析】根据三角形的中线的概念得到，根据三角形的周长公式计算，得到答案．
【解答】解：是边上的中线，
，
的周长为30，
，
，
，
的周长，
故选：．
2．【答案】19．
【分析】根据三角形的中线的概念得到，再根据三角形的周长公式计算即可．
【解答】解：是的中线，
，
的周长为18，
，
，
，
，
的周长，
故答案为：19．
3．
【分析】根据三角形的中线的概念得到，再根据三角形的周长公式计算，得到答案．
【解答】解：是的中线，
，
的周长为，
，
，
比长，
，
，
，
的周长，
故答案为：．
【题型4】三角形的面积问题
（2023秋 桂林期末）如图，、都是的中线，连接，的面积是，则的面积是
A． B． C． D．
【答案】
【分析】根据三角形的中线把三角形分为面积相等的两部分计算即可．
【解答】解：是的中线，的面积是，
的面积的面积，
是的中点，
的面积的面积，
故选：．
点拨 三角形的面积只与底和高有关，而三角形的中线把三角形分成两个底边相等的三角形，由等底同高的三角形的面积相等可知，这两个小三角形的面积相等．
【变式1】 （2024 沭阳县校级模拟）已知：如图所示，在中，点，，分别为，，的中点，且，则阴影部分的面积为 ．
【变式2】 （2023秋 东莞市期末）如图，已知中，点、分别是边、的中点．若的面积等于8，则的面积等于
A．2 B．3 C．4 D．5
【变式3】 （2023秋 武都区期末）如图，是的中线，是上的一点，且，连接，若的面积为6，则图中阴影部分的面积是 ．
1．
【分析】易得，为面积的一半，同理可得的面积等于面积的一半，那么阴影部分的面积等于的面积的一半．
【解答】解：为中点，根据同底等高的三角形面积相等，
，
同理，
，
为中点，
．
故答案为1．
2．【答案】
【分析】根据三角形的面积公式即可得到结论．
【解答】解：点是边的中点，的面积等于8，
，
是的中点，
，
故选：．
3．
【分析】根据是的中线，可得，再由，可得，即可求解．
【解答】解：是的中线，的面积为6，
，
，
，
，
即图中阴影部分的面积是2．
故答案为：2．
【题型5】“三线”综合问题
（2023秋 长治期中）如图，，分别是的中线和高，是的角平分线．
（1）若，，求的度数．
（2）若，，求中线长的取值范围．
【答案】（1）；
（2）．
【分析】（1）利用三角形的外角先求解，可得，再结合高与三角形的内角和定理可得答案；
（2）延长至，使，再证明，可得，而，则，再结合中线的含义可得答案．
【解答】解：（1），，，
，
平分，
，
为高，
，
；
（2）延长至，使，连接．
是的中线，
，
，
，
，而，
，
．
易错点拨 三角形的中线是一条线段． 拓展：三角形被一边上的中线分成的两个小三角形的周长差的绝对值等于另两边的差的绝对值．
【变式1】 （2024春 成都期中）如图，是的高，是的角平分线，是的中线．
（1）若，，求的度数；
（2）若，与的周长差为3，求的长．
【变式2】 （2023秋 呼和浩特期中）如图，在中，是的角平分线，点在边上（不与点，重合），与交于点．
（1）若是中线，，，则与的周长差为 ；
（2）若是的角平分线，试说明与的数量关系．
【变式3】 （2023秋 天长市期中）如图，在中是角平分线，点在边上（不与点，重合），与交于点．
（1）若是中线，，，则与的周长差为 ；
（2）若，是高，求的度数；
（3）若，是角平分线，求的度数．
1．【答案】（1）
（2）12．
【分析】（1）根据三角形的高的概念得到，根据直角三角形的性质求出，根据角平分线的定义求出，根据三角形的外角性质计算即可；
（2）根据三角形的中线的概念得到，根据三角形的周长公式计算，得到答案．
【解答】解：（1）是的高，
，
，
，
是的角平分线，，
，
；
（2）是中点，
，
与的周长差为3，
，
，
，
．
2．【答案】（1）1．
（2），
【分析】（1）根据三角形中线的性质，表示出、，即可解答．
（2）根据角平分线的性质，即可解答．
【解答】解：（1）是中线，
，
，，
，，
，
故答案为：1．
（2）、是的角平分线，
，，
，
，
，
．
3．【答案】（1）1；
（2）；
（3）．
【分析】（1）由是中线，可得，再分别求出与的周长，再求差即可；
（2）根据是高，可得，再根据角平分线的定义求出，再根据三角形外角的性质即可求解；
（3）先利用三角形内角和定义求得，再根据角平分线的定义求出，然后利用三角形内角和即可求解．
【解答】解：（1）是中线，
，
，，
，，
，
故答案为：1；
（2）是的高，
，
，是的角平分线，
，
；
（3），
，
、是的角平分线，
，，
，
．
1．三角形的高、中线与角平分线 （1）高：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线画垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高． （2）中线：在三角形中，连接三角形的一个顶点和它所对的边的中点的线段叫做的三角形的中线． （3）角平分线：三角形的一个角的角平分线与这个角所对的边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线． 2．三角形的稳定性 三角形的三条边确定后，三角形的形状和大小就确定不变了，这个性质叫做三角形的稳定性．
1．三角形的高、中线与角平分线
三角形的高 三角形的中线 三角形的角平分线
定义 如图，从的顶点向它所对的边所在的直线画垂线，垂足为，所得线段叫做的边上的高． 如图，连接的顶点和它所对的边的中点，所得线段叫做的边上的中线． 如图，画的平分线交所对的边于点，所得线段叫做的角平分线．
推理语言 ∵是的高， ∴， （或）． ∵是的中线， ∴． ∵是的角平分线， ∴．
用途举例 （1）得到线段垂直； （2）得到角相等． （1）得到线段相等； （2）得到面积相等． 得到角相等．
线段在图中的位置 锐角三角形 三条高全在三角形内． 三条中线全在三角形内． 三条角平分线全在三角形内．
直角三角形 三角形内一条，另外两条与两直角边重合．
钝角三角形 三角形内一条，三角形外两条．
线段（或其所在直线）的交点位置 锐角三角形 交点在三角形内． 三条中线交于三角形内一点（这一点称为三角形的重心）． 交点在三角形内．
直角三角形 交点在直角顶点处．
钝角三角形 交点在三角形外．
共同点 每个三角形都有三条高、三条中线、三条角平分线，它们（或所在的直线）都分别交于一个点，它们都是线段．
2．三角形的稳定性
（1）三角形的形状固定是指三角形的三个内角不会改变，大小固定指三条边长不改变．
（2）三角形的稳定性在生产和生活中应用广泛．例如房屋的人字梁具有三角形的结构，它就坚固而稳定；大桥钢架、输电线支架都采用三角形结构，也是这个道理．
（3）四边形没有稳定性．
【题型1】三角形的稳定性
（2024春 晋江市期末）空调安装在墙上时，一般都会采用如图的方法固定，这种方法应用的几何原理是
A．两点确定一条直线 B．两点之间线段最短
C．三角形的稳定性 D．垂线段最短
【答案】
【分析】钉在墙上的方法是构造三角形支架，因而应用了三角形的稳定性．
【解答】解：这种方法应用的数学知识是：三角形的稳定性，
故选：．
【变式1】 （2023秋 长沙县期末）如图，生活中都把自行车的几根梁做成三角形的支架，这是利用三角形的
A．全等形 B．稳定性 C．灵活性 D．对称性
【变式2】 （2023秋 潮南区期末）如图，工人师傅砌门时，常用木条固定门框，使其不变形，这种做法的根据是
A．两点之间线段最短 B．矩形的对称性
C．矩形的四个角都是直角 D．三角形的稳定性
【变式3】 （2024春 郸城县期末）若使一个五边形木框不变形，至少应再钉上______根木条．
A．1 B．2 C．3 D．4
【题型2】三角形高的画法
（2024春 岳麓区校级期末）在下列四个图形中，线段是中边上的高的图形是
A． B．
C． D．
【答案】
【分析】根据三角形的高的概念判断即可．
【解答】解：、线段不是中边上的高，不符合题意；
、线段是中边上的高，符合题意；
、线段不是中边上的高，不符合题意；
、线段不是中边上的高，不符合题意；
故选：．
易错点拨 从三角形的一个顶点向它所对的边所在的直线画垂线，顶点与垂足所连的线段是三角形的高．三角形的高是一条线段，而垂线是一条直线． （1）三角形的高必过三角形的顶点； （2）三角形的高必垂直于三角形的一条边．
【变式1】 （2024春 和平区期中）在下列各图的中，正确画出边上的高的图形是
A． B．
C． D．
【变式2】 （2024春 内乡县期末）如图，四个图形中，线段是的高的图是
A． B．
C． D．
【变式3】 （2024春 惠来县期末）下列各图中，画出边上的高，正确的是
A． B．
C． D．
【题型3】三角形的周长问题
（2024春 吉安期中）如图，在中，点是的中点，，，的周长是25，则的周长是
A．18 B．22 C．28 D．32
【答案】
【分析】根据中点得到，再表示出和的周长，找出它们的联系即可．
【解答】解：点是的中点，
，
，，
的周长，
，
的周长，
故选：．
点拨 三角形的周长问题先将周长用线段的和表示，再分析题目中线段之间的数量关系，列式求解．
【变式1】 （2023秋 宁江区期末）如图，在中，，，是边上的中线，若的周长为30，则的周长是
A．20 B．24 C．26 D．28
【变式2】 （2024春 长沙期末）如图，是的中线，，，若的周长为18，则的周长为 ．
【变式3】 （2024春 大埔县期末）如图，是的中线，已知的周长为，比长，则的周长为 ．
【题型4】三角形的面积问题
（2023秋 桂林期末）如图，、都是的中线，连接，的面积是，则的面积是
A． B． C． D．
【答案】
【分析】根据三角形的中线把三角形分为面积相等的两部分计算即可．
【解答】解：是的中线，的面积是，
的面积的面积，
是的中点，
的面积的面积，
故选：．
点拨 三角形的面积只与底和高有关，而三角形的中线把三角形分成两个底边相等的三角形，由等底同高的三角形的面积相等可知，这两个小三角形的面积相等．
【变式1】 （2024 沭阳县校级模拟）已知：如图所示，在中，点，，分别为，，的中点，且，则阴影部分的面积为 ．
【变式2】 （2023秋 东莞市期末）如图，已知中，点、分别是边、的中点．若的面积等于8，则的面积等于
A．2 B．3 C．4 D．5
【变式3】 （2023秋 武都区期末）如图，是的中线，是上的一点，且，连接，若的面积为6，则图中阴影部分的面积是 ．
【题型5】“三线”综合问题
（2023秋 长治期中）如图，，分别是的中线和高，是的角平分线．
（1）若，，求的度数．
（2）若，，求中线长的取值范围．
【答案】（1）；
（2）．
【分析】（1）利用三角形的外角先求解，可得，再结合高与三角形的内角和定理可得答案；
（2）延长至，使，再证明，可得，而，则，再结合中线的含义可得答案．
【解答】解：（1），，，
，
平分，
，
为高，
，
；
（2）延长至，使，连接．
是的中线，
，
，
，
，而，
，
．
易错点拨 三角形的中线是一条线段． 拓展：三角形被一边上的中线分成的两个小三角形的周长差的绝对值等于另两边的差的绝对值．
【变式1】 （2024春 成都期中）如图，是的高，是的角平分线，是的中线．
（1）若，，求的度数；
（2）若，与的周长差为3，求的长．
【变式2】 （2023秋 呼和浩特期中）如图，在中，是的角平分线，点在边上（不与点，重合），与交于点．
（1）若是中线，，，则与的周长差为 ；
（2）若是的角平分线，试说明与的数量关系．
【变式3】 （2023秋 天长市期中）如图，在中是角平分线，点在边上（不与点，重合），与交于点．
（1）若是中线，，，则与的周长差为 ；
（2）若，是高，求的度数；
（3）若，是角平分线，求的度数．
