第3章 不等式——2023-2024学年高一数学苏教版（2019）必修第一册单元测试卷
一、单项选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.
1．当时，的最小值为( )
A. B.1 C.2 D.
2．已知不等式的解集是,则实数a等于( )
A. B. C.5 D.10
3．已知正实数a,b满足,则的最小值为( )
A. B.9 C. D.
4．已知对一切恒成立,则实数m的取值范围是( )
A. B.或 C.或 D.
5．对于实数a,b,c,下列命题中正确的( )
A.若,则 B.若,则
C.若,则 D.若,则
6．的最小值为( )
A. B. C. D.10
7．若a，b，c为实数，且，则下列命题正确的是( )
A. B. C. D.
8．若两个正实数x,y满足,且不等式有解,则实数m的取值范围是( )
A. B.
C. D.
二、多项选择题：本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求. 全部选对得 6 分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.
9．某公司一年购买某种货物吨,现分次购买,设每次购买x吨,运费为8万元/次.已知一年的总存储费用为4x万元,要使一年的总运费与总存储费用之和y最小,则下列说法正确的是( )
A.当时,y取得最小值
B.当时,y取得最小值
C.
D.
10．设正实数x，y满足，则下列说法正确的是( )
A.的最小值为2 B.的最小值为1
C.的最大值为4 D.的最小值为2
11．若关于x的不等式有实数解,则a的值可能为( )
A.0 B.3 C.1D.-D.-2
三、填空题：本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12．不等式的解为___________.
13．函数在区间上的零点为___________.
14．已知关于x的不等式的解集为，则_______.
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．已知函数.
（1）若,求实数a的值;
（2）若,恒成立,求:实数a的取值范围.
16．已知a,b都是正实数,,求的最小值．
17．解下列不等式:
（1）;
（2）;
（3）.
18．已知.
（1）当时,求不等式的解集;
（2）解关于x的不等式.
19．已知.
（1）若a与b均为正数，求的最大值；
（2）若a与b均为负数，求的最小值.
参考答案
1．答案：C
解析：，当且仅当时，等号成立，故的最小值为2.故选C.
2．答案：A
解析:由题设,有,可得.
故选:A.
3．答案：A
解析：因为a,,
所以,
当且仅当,即时取等号,所以的最小值为.
故选：A.
4．答案：D
解析：
5．答案：B
解析：
6．答案：A
解析：，当且仅当，即时，等号成立.所以的最小值为.
7．答案：B
解析：A.错误.当时，
B.正确..
C.错误.
D.错误.;.故选B.
8．答案：D
解析：根据题意,两个正实数x,y满足,变形可得,即
则有,
当且仅当时,等号成立,则的最小值为2,
若不等式有解,则有,解可得或,
即实数m的取值范围是．
故选：D．
9．答案：AC
解析：一年购买某种货物吨,每次购买x吨,则需要购买次,又运费是8万元/次,一年的总存储费用为4x万元,
所以一年的总运费与总存储费用之和万元.
因为,当且仅当,即时,等号成立,
所以当时,y取得最小值,.
故选:AC.
10．答案：AD
解析：对于A，因为，，，
所以，
当且仅当时等号成立，
所以的最小值为2，故A正确；
对于B，，当且仅当时等号成立，
所以的最大值为1，故B错误；
对于C，，当且仅当时等号成立，
所以，即的最大值为2，故C错误；
对于D，，当且仅当时等号成立，
所以的最小值为2，故D正确.
故选:AD.
11．答案：ACD
解析：当时,不等式有解,符合题意;
当时,得,则不等式有解;
当时,由,解得.
综上,a的取值范围为,对照选项,选项ACD的值符合题意.
故选：ACD.
12．答案：
解析：因为，所以.
故答案为：.
13．答案：
解析：方程的两个根分别为，，所以函数在区间上的零点为.
14．答案：
解析：因为关于x的不等式的解集为，则，且-3，1是关于x的不等式的两根，由韦达定理可以得得所以.
15．答案：（1）;
（2）.
解析：（1）,,
,解得.
（2）当时,恒成立时,解得,不恒成立.
实数a的取值范围为.
16．答案：
解析：因为a,b都是正实数且,所以,
所以,
当且仅当,即,时取等号,
即的最小值为.
17．答案：（1）;
（2）;
（3）.
解析：（1）由,得,得,
所以不等式的解集为.
（2）由得,得,
得,得或,即或,
所以原不等式的解集为.
（3）由得,所以.
所以原不等式的解集为.
18．答案：（1）
（2）见解析
解析：（1）当时,,,或,
不等式解集为:;
（2）不等式可化为.
①当时,原不等式即为,解得;
②当时,原不等式化为,解得;
③当时,原不等式化为,解得.
综上,当时,不等式的解集为;当时,不等式的解集为;
当时,不等式的解集为.
19．答案：（1）；
（2）
解析：（1）因为a与b均为正数，所以，当且仅当，即时，等号成立，所以，所以的最大值为.
（2）因为a与b均为负数，所以，，所以，当且仅当，即时，等号成立，
所以的最小值为.
精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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