衡齐高中2024-2025学年上学期高二开学验收考试（数学）
时间：120分钟 分值：150
一、单选题（每题5分，40分）
1．已知，若(为虚数单位)是实数，则实数等于（ ）
A．1 B．2 C． D．
2．如图,三棱柱中,侧面的面积是,点到侧面的距离是,则三棱柱的体积为( )
A． B． C． D．
3．若在中，，，则的形状是（ ）
A．正三角形 B．锐角三角形 C．斜三角形 D．等腰直角三角形
4．已知中，角的对边分别为，已知，，若三角形有两解，则边的取值范围是
A． B． C． D．
5．在平面直角坐标系中，、，若点是线段上的动点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6．若角的终边在直线上，则＝（ ）
A． B．－ C． D．－
7．设，，，则a，b，c的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
8．在正方体中，是棱的中点.则下列说法正确的是（ ）
A．异面直线与所成角的余弦值为
B．三棱锥的体积是三棱锥体积的3倍
C．直线与平面所成角的正弦值等于
D．在棱上一定存在点，使得平面
二、多选题（每题6分，18分）
9．下列说法正确的是（ ）
A．已知复数满足，为虚数单位，则是方程的一个根
B．已知，，则
C．有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形的多面体是棱柱
D．
10．已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．的最小正周期是
B．函数在上单调递增
C．的一个对称中心是
D．若，时，成立，则的最大值为
11．在棱长为2的正方体中，，则下列说法正确的是
()
（ ）
A．
B．三棱锥的体积最大值为1
C．若，则点到直线EF的距离为
D．三棱锥外接球球心轨迹的长度近似为
三、填空题（每题5分，15分）
12．已知，用斜二测画法作它的直观图，若是斜边平行于铀的等腰直角三角形，则是 三角形（填“锐角”.“直角”.“钝角”）.
13．在ABC中，，BC=AC，则角B的大小为 ．
14．①在中，若，，，则此三角形的解的情况是两解．
②数列满足，，则．
③在中，为中线上的一个动点，若，则的最小值是．
④已知，则．
⑤已知等比数列的前项和为，则，，成等比数列．
以上命题正确的有 （只填序号）．
四、解答题（77分）
15．（13分）已知一个上、下底面为正三角形且两底面中心连线垂直于底面的三棱台的两底面边长分别为20cm和30cm，且其侧面积等于两底面面积之和，求棱台的高．
16．（15分）如图，在中，D是BC的中点，H是AD的中点，过H作一条直线MN分别与边AB，AC交于M，N，若，.
（1）若，，，求的值；（5分）
（2）求的最小值.（10分）
17．（15分）在中，角，，的对边分别为，，，且，.
（1）求；（5分）
（2）若，求的面积.（10分）
18．（17分）对于平面向量，记，若存在，使得，则称是的“向量”．
(1)设，若是的“向量”，求实数的取值范围；（4分）
(2)若，则是否存在“1向量” 若存在，求出“1向量”；若不存在，请说明理由；（5分）
(3)已知均为的“向量”，其中．设平面直角坐标系中的点列满足（与原点重合），且与关于点对称，与关于点对称．求的取值范围．（8分）
19．（17分）已知分别为三个内角的对边，
（1）求;（7分）
（2）若是的中点，，求（10分）参考答案：
1-5: ACDCD 6-8: ABD 9．AB 10．ABD 11．ACD 12．直角 13． 14．①
15．4
【分析】利用棱台的高、斜高、边心距构成直角梯形，通过构造直角三角形，利用勾股定理求出棱台的高．
【详解】如图所示，在正三棱台ABC-A1B1C1中，两底面边长分别为AB=30cm，A1B1=20cm，
∴侧面积为S侧=3××（30+20） DD1，
两底面积之和为S底=×（302+202），
∵S侧=S底，∴ DD1=×1300，解得DD1=，
∴OO12==，
∴OO1=4；
即棱台的高为4．
16．（1）；（2）
【分析】（1）以向量为基底表示出，即可求解；
（2）根据与 共 线 ，得到存在使 ，用 表示出，再利用基本不等式即可求解.
【详解】解：（1）D是BC的中点，H是AD的中点，
，，
故，
又，
；
（2），，，
，
与共 线 ，
存 在使 ，
即，
，
即 ，
，
当且仅当“”时，即“”时 取 等 号，
故 的最小值为：.
17．（1）（2）
【分析】（1）由正弦定理化简可得，利用余弦定理即可得到的值．
（2）结合（1）可得以及边的长，利用面积公式即可得到答案．
【详解】解：（1）因为，所以，即.
又因为，
()
所以.
（2）因为，所以.
因为，在中，，所以
所以.
18．(1)或，
(2)存在“1向量”， “1向量”为，
(3)
【分析】（1）根据“向量”的定义，即可由模长公式求解；
（2）利用三角函数的周期性可得，即可由定义求解，
（3）由定义，结合模长公式可得，设，由条件列式，变形为，结合三角函数的性子，转化为求的最小值．
【详解】（1）由可得，
故，，
由于是的“向量”，所以即，
解得或，
（2）由于均为周期函数，且周期为，而
故，
若存在“1向量”，则存在，使得
故，
即，
故，故,
解得，即或
故存在“1向量” 若存在，“1向量”为
故，
（3）由于均为的“向量”，故，
即，，
即，同理，，
三式相加并化简，得：，
即，，所以，
设，由，得，
设,，则依题意得：，
得
故，
同理，
故，
所以，
，
故，
故，
19．（1）；（2）b=4，c=2或b=2，c=4
【分析】（1）由已知利用正弦定理，三角形内角和定理，两角和的正弦函数公式可得，结合范围，可求，利用平面向量数量积的运行可求，根据三角形面积公式即可计算得解．
（2）由已知可得，两边平方可得又结合，即可解得的值．
【详解】（1)
又
(2)
又或．
