第13章 立体几何初步——2023-2024学年高一数学苏教版（2019）必修第二册单元测试卷
一、单项选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.
1．设l,m是不同的直线,,是不同的平面,则下列命题正确的是( )
A.若,,,则 B.若,,,则
C.若,,,则 D.若,,,则
2．已知m,n是两条不同的直线,,是两个不同的平面,则下列结论一定正确的是( )
A.若,,则 B.若,则
C.若,,则 D.若,.则
3．如图,已知正三棱柱,,M为的中点,则与所成角的余弦值为( )
A.1 B. C. D.
4．已知三个不同的平面α，β，γ和两条不重合的直线m，n，则下列四个命题中正确的是( )
A.若，，则
B.若，，则
C.若，，则
D.若，，，则
5．如图所示，矩形是水平放置的一个平面图形的直观图，其中，，则原图形OABC的面积是( )cm2.
A.12 B. C.6 D.
6．水平放置的的直观图如图所示,是中边的中点,且平行于轴,则,,对应于原中的线段AB,AD,AC,对于这三条线段,正确的判断是( )
A.最短的是AD B.最短的是AC C. D.
7．某圆锥的轴截面是斜边长为2的等腰直角三角形,则该圆锥的侧面积为( )
A. B. C. D.
8．在正方体中,P为线段的中点,Q为线段上的动点,则与平面所成角的正弦值的最小值为( )
A. B. C. D.
二、多项选择题：本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求. 全部选对得 6 分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.
9．设直线l不在平面内，直线m在平面内，则下列说法不正确的是( )
A.直线l与直线m没有公共点
B.直线l与直线m异面
C.直线l与直线m至多一个公共点
D.直线l与直线m不垂直
10．设a，b为两条不重合的直线，为一个平面，则下列说法正确的是( )
A.若，，则 B.若，，则
C.若，，则 D.若，，则
11．如图所示，在正方体中，M，N分别为棱，的中点，则下列四个结论正确的是（）
A.直线与是相交直线 B.直线与是平行直线
C.直线与是异面直线 D.直线与是异面直线
三、填空题：本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12．已知圆锥的轴截面是边长为的等边三角形，则此圆锥的表面积为________.
13．《九章算术》中将圆台称为“圆亭”.已知某圆亭的高为3，上底面半径为1，下底面半径为5，则此圆亭的表面积等于______.
14．烽火台是我国古代用于防御与通讯的军事建筑.如图为一类正四棱台状的烽火台，已知该烽火台底部边长为10米，顶部边长为8米，高为12米，忽略烽火台凹陷部分，则该烽火台的体积为立方米________.
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．如图，OA与平面斜交，点O为斜足，为OA在内的射影，OB为平面内过点O的任一条直线.在OA上取一点C，它在平面上的射影为，作于D，连接CD.求证：.
16．如图,在四棱锥中,底面为平行四边形,分别为的中点.
（1）证明:平面;
（2）在线段上是否存在一点,使得平面 若存在,指出点位置,并证明你的结论;若不存在,说明理由.
17．如图,在三棱锥中,为等边三角形,且,O,M,D分别为AB,AV,BC的中点,BM,VO交于点F.
（1）证明:平面VOC;
（2）在线段BM上是否存在一点E,使平面VOC 若存在,请指出点的位置;若不存在,请说明理由.
18．如图所示,从底面半径为,高为的圆柱中,挖去一个底面半径为a且与圆柱等高的圆柱,求原圆柱的表面积与挖去圆柱后的几何体的表面积的比值.
19．用一个过圆锥的轴的平面去截圆锥,所得的截面三角形称为圆锥的轴截面,也称为圆锥的子午三角形.如图,圆锥底面圆的半径是4,轴截面的面积是4.
（1）求圆锥的母线长;
（2）过圆锥的两条母线,作一个截面,求截面面积的最大值.
参考答案
1．答案：B
解析：对于A,若,,,此时l与m可能相交,如下图所示：
对于C与D,若,,,则与均可能发生,如下图所示：
对于B,若,,则,
又因为,故.
故选：B.
2．答案：D
解析：若,,则或,故A错误.
若,,则或,相交,故B错误.
若,,则或或,故C错误.
若,,则,故D正确.
3．答案：B
解析：如图,取的中点E,取的中点F,取中点P,连接,,
所以直线与所成角就是直线与直线所成的角,
由题意可知三棱柱的所有棱长都相等,
可设三棱柱的棱长都为2,则,
则在中,由余弦定理可得：,
即直线与所成角的余弦值为.
故选：B.
4．答案：B
解析：对于A，，，则，错误，原因是不一定是经过直线m的平面；故A错误；
对于B，因为，，由面面垂直的判定定理得：，故B正确.
对于C，若，，不一定得到，例如长方体中，同一顶点出发的三个平面，故C错误，
对于D，若，，，则错误，如下图所示，原因是由题设条件无法推出一个平面经过另一个平面的垂线，故无法判定是否与一定垂直，故D错误；
故选：B
5．答案：D
解析：
6．答案：A
解析:因为平行于轴,所以在中,,
又因为是中边的中点,所以D是BC的中点,
所以.
故选:A
7．答案：B
解析：由题可知该圆锥的底面半径为1,母线长为,所以侧面积为,选B.
8．答案：A
解析：取的中点H,连接,,设正方体的棱长为,
则在中,P为线段的中点,H为的中点,
所以为的中位线,所以.
又因为平面,所以平面,
则与平面所成的角为,则.
由,得,
所以要使与平面所成角的正弦值最小,则最小,
可知当Q与点B重合时,最大,此时,,
所以.
故选：A.
9．答案：ABD
解析：对于选项A，直线l不在平面内，直线m在平面内，但是，直线l与m可以相交，故A错误；
对于选项B，直线l不在平面内，直线m在平面内，但是，直线l与m可以相交也可以平行，故B错误；
对于选项C，直线l不在平面内，直线m在平面内，则直线l与直线m只可以平行或者相交，不可能重合，所以，直线l与直线m至多一个公共点，故C正确；
对于选项D，直线l不在平面内，直线m在平面内，则当直线l垂直于平面时，直线l与直线m垂直，故D错误.
10．答案：BD
解析：对于A，直线a可能在平面内，可能与平面相交，也可能平面平行，故A错误.
对于B，设直线l为平面内的任意一条直线，因为，，所以，又，所以，即b与内任意直线垂直，所以，故B正确.
对于C，若，，则直线a与直线b可能平行，也可能异面，故C错误.
对于D，过直线a作平面，使得平面与平面相交，设，
因为，，，所以，又，，所以，则，故D正确.
故选:BD
11．答案：CD
解析：对于A，因为点A在平面外，点M在平面内，直线在平面内，不过点M，所以与是异面直线，故A错误；
对于B，若直线与平行，则MN与AB共面，又平面，所以直线与不平行，故B错误；
对于C，因为与都在平面内，M在平面外，不过点B，N，所以与是异面直线，故C正确；
对于D，因为M与都在平面内，A在平面外，不过点M，所以与是异面直线，故D正确.
故选：CD.
12．答案：
解析：圆锥轴截面是边长为2的等边三角形，圆锥底面半径，圆锥母线长，
圆锥的表面积.
故答案为：.
13．答案：
解析：由题意，可作该圆亭的轴截面，如图所示：
则圆亭的高，上底面半径，下底面半径，则，母线，
所以圆台的表面积.故答案为：
14．答案：976
解析：因为题目中的单位只涉及米、平方米、立方米，故我们可以在计算中忽略单位.
由于该烽火台是正四棱台，故上下底面都是正方形.
从而该烽火台的上底面面积，下底面面积，高.
故其体积.
故答案为：976.
15．答案：证明见解析
解析：由题可知，，
，
又，,,平面，平面，
平面，平面，
，
,，，
所以，
即.
16．答案：（1）见解析
（2）见解析
解析：（1）证明:连BD交AC于O,因为E为PD中点,所以EO是中位线,
所以,又因为平面AEC,平面AEC,所以平面AEC;
（2）点G为线段PC的中点,
连接FG,EG,由于E,G为PD,PC中点,则,即,四边形AEGF为平行四边形,
因此,平面AEC,平面AEC,则平面AEC.
17．答案：（1）见解析
（2）见解析
解析：（1）证明:在三棱锥中,为等边三角形,且,O,M,D分别为AB,AV,BC的中点,
,O是AB的中点,
,
又是等边三角形,O是AB的中点,
,
又,OC,平面VOC,
平面VOC;
（2）假设线段BM上存在一点E使平面VOC,连接CF,
平面BMC,平面平面,
,
是BC的中点,
是BF的中点,
又是等边三角形VAB的重心,
,,
点E是线段BM上靠近B的三等分点.
18．答案：
解析：由题意,知原圆柱的表面积,
挖去圆柱后所得几何体的表面积,
所以.
19．答案：（1）
（2）
解析：（1）轴截面的面积为,所以,
所以圆锥的母线长;
（2）在轴截面中,,,
,,
的面积,
当时,截面面积有最大值,最大值为.
精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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