上海市曹杨第二中学2023-2024学年高二下学期期末考试
数学
一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）
1. 已知数列为正项等比数列，，，则______．
2. 曲线在点处的切线斜率为_____________.
3. 在二项式的展开式中，的系数为______．（用数字作答）
4. 若随机变量X服从标准正态分布，则______．
5. 一批种子，如果每1粒种子发芽的概率均为，那么播下5粒种子，发芽种子数量的方差是______．
6. 将序号分别为4张参观券全部分给3人，每人至少1张，如果分给同一人的2张参观券连号，那么不同的分法种数是______．
7. 某新能源汽车销售公司统计了某款汽车行驶里程x（单位：万千米）对应维修保养费用y（单位：万元）的四组数据，这四组数据如下表：
行驶里程万千米/万千米 1 2 4 5
维修保养费用万元/万元 0.50 0.90 2.30 2.70
若用最小二乘法求得回归直线方程为，则估计该款汽车行驶里程为10万千米时的维修保养费是______．
8. 已知数列满足：（为正整数），则______．
9. 已知袋中有（为正整数）个大小相同的编号球，其中黄球8个，红球个，从中任取两个球，取出的两球是一黄一红的概率为，则的最大值为__________.
10. 采矿、采石或取土时，常用炸药包进行爆破，部分爆破呈圆锥漏斗形状（如图），已知圆锥的母线长是炸药包的爆破半径R，若要使爆破体积最大，则炸药包埋的深度为___________
11. 已知编号为1，2，3的三个盒子，其中1号盒子内装有两个1号球，一个2号球和一个3号球；2号盒子内装有两个1号球，一个3号球；3号盒子内装有三个1号球，两个2号球.若第一次先从1号盒子内随机抽取1个球，将取出的球放入与球同编号的盒子中，第二次从放入球的盒子中任取一个球，则第二次抽到3号球的概率为___________.
12. 在n维空间中，以单位长度为边长的“立方体”的顶点坐标可表示为n维坐标，其中．定义：在n维空间中两点与的曼哈顿距离为在5维“立方体”的顶点中任取两个不同的顶点，记随机变量X为所取两点间的曼哈顿距离，则______．
二、选择题（本大题满分18分）本大题共有4小题，13，14每题4分，15，16每题5分
13. 调查某校高三学生的身高和体重得到如图所示散点图，其中身高和体重相关系数，则下列说法正确的是（ ）
A. 学生身高和体重没有相关性
B. 学生身高和体重呈正相关
C. 学生身高和体重呈负相关
D. 若从样本中抽取一部分，则这部分的相关系数一定是
14. 已知函数与它的导函数的定义域均为，则“在上严格增”是“在上严格增”的（ ）
A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件
C. 充要条件 D. 非充分非必要条件
15. 设，，随机变量X的分布列是（ ）
a
则方差（ ）
A 既与有关，也与有关 B. 与有关，但与无关
C. 与有关，但与无关 D. 既与无关，也与无关
16. 数列的前n项和为，若数列与函数满足：①的定义域为；②数列与函数均单调增；③存在正整数，使成立，则称数列与函数具有“单调偶遇关系”.给出下列两个命题：（ ）
①与数列具有“单调偶遇关系”的函数有有限个；
②与数列具有“单调偶遇关系”的函数有无数个.
A. ①②都是真命题 B. ①是真命题，②是假命题
C. ①是假命题，②是真命题 D. ①②都是假命题
三、解答题（本大题满分78分）
17. 袋中装有大小和质地相同的5个球，其中2个黑球，3个白球．从中随机地摸出3个球，用X表示摸出的黑球个数．
（1）采用不放回摸球，求X的分布；
（2）采用有放回摸球，求X的分布、期望．
18. 设，已知函数．
（1）若函数曲线在点处的切线斜率为－1，求实数a的值及函数的单调区间；
（2）若函数在区间上严格增，求实数a的取值范围．
19. 某校准备在体育锻炼时间提供三项体育活动供学生选择．为了解该校学生对“三项体育活动中要有篮球”这种观点态度（态度分为同意和不同意），随机调查了200名学生，得到的反馈数据如下：（单位：人）
男生 女生 合计
同意 70 50 120
不同意 30 50 80
合计 100 100 200
（1）能否有的把握认为学生对“三项体育活动中要有篮球”这种观点的态度与性别有关
（2）假设现有足球、篮球、跳绳这三项体育活动供学生选择．
①若甲、乙两名学生从这三项运动中随机选一种假设他们选择各项运动的概率相同并且相互独立互不影响．记事件为“学生甲选择足球”，事件为“甲、乙两名学生都没有选择篮球”，求，并判断事件，是否独立，请说明理由．
②若该校所有学生每分钟跳绳个数．根据往年经验，该校学生经过训练后，跳绳个数都有明显进步．假设经过训练后每人每分钟跳绳个数比开始时个数均增加10个，若该校有1000名学生，请预估经过训练后该校每分钟跳169个以上的学生人数（结果四舍五入到整数）．
参考公式和数据：，其中，．若，，，．
20. 已知数列的各项均为正数，，且．
（1）求证：数列等差数列；
（2）若数列满足，是否存在正整数m；使得成立，并说明理由．
（3）设，数列是以4为首项，2为公比的等比数列，现将数列中剔除的项后、不改变其原来顺序所组成的数列记为，求的值．
21. 已知，设函数的表达式为（其中）
（1）设，，求曲线在点处的切线方程；
（2）设，，集合，记，若在D上有两个不同的极值点，求b的取值范围；
（3）当，，时，记，其中n为正整数．求证：．
上海市曹杨第二中学2023-2024学年高二下学期期末考试
数学 简要答案
一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）
【1题答案】
【答案】3
【2题答案】
【答案】
【3题答案】
【答案】10
【4题答案】
【答案】##
【5题答案】
【答案】
【6题答案】
【答案】
【7题答案】
【答案】5.66
【8题答案】
【答案】
【9题答案】
【答案】
【10题答案】
【答案】
【11题答案】
【答案】
【12题答案】
【答案】
二、选择题（本大题满分18分）本大题共有4小题，13，14每题4分，15，16每题5分
【13题答案】
【答案】B
【14题答案】
【答案】D
【15题答案】
【答案】B
【16题答案】
【答案】C
三、解答题（本大题满分78分）
【17题答案】
【答案】（1）分布列略
（2）分布列略；
【18题答案】
【答案】（1）；减区间是，增区间是
（2）
【19题答案】
【答案】（1）有关 （2）①，不独立，理由略；②977
【20题答案】
【答案】（1）证明略
（2）不存，理由略
（3）4139166
【21题答案】
【答案】（1）
（2）
（3）证明略
