重庆市十八中两江实验中学2023-2024学年高一下学期期中考试
数学
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．
1. 已知向量，不共线，且，，，则一定共线的是（ ）
A. A，B，D B. A，B，C C. B，C，D D. A，C，D
2. 如图，一个水平放置的平行四边形ABCD的斜二测画法的直观图为矩形，若，，则在原平行四边形ABCD中，（ ）
A. 3 B. C. D. 9
3. 在中，角所对的边分别为，若，则为（ ）
A. 直角三角形 B. 等边三角形
C. 等腰三角形 D. 等腰直角三角形
4. 如图所示，圆和圆是球的两个截面圆，且两个截面互相平行，球心在两个截面之间，记圆，圆的半径分别为，若，则球的表面积为（ ）
A. B. C. D.
5. 设非零向量，满足，，则向量的夹角等于（ ）
A. B. C. D.
6. 已知是复数，是其共轭复数，则下列命题中正确的是 （ ）
A. B. 若，则的最大值为
C. 若，则复平面内对应点位于第一象限 D. 若是关于的方程的一个根，则
7. 是坐标原点，已知，，．若点M为直线上一动点，当取得最小值时，此时（ ）
A. B. C. D.
8. 在中，角的对边分别为，若的平分线的长为，则边上的高线的长等于（ ）
A B.
C. 2 D.
二、多项选择题：本大题共3个小题，每小题6分，共18分，在每个给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 设，，是复数，则下列命题中的真命题是（ ）
A. 若，则 B. 若，则
C. ，则 D. 若，则
10. 中，内角，，的对边分别为，，，为的面积，且，，下列选项正确的是（ ）
A.
B. 若，则有两解
C. 若为锐角三角形，则取值范围是
D. 若为边上的中点，则的最大值为
11. 剪纸艺术是一种中国传统民间工艺，它源远流长，经久不衰，已成为世界艺术宝库中的一种珍藏．某学校为了丰富学生的课外活动，组织了剪纸比赛，小明同学在观看了2022年北京冬奥会的节目《雪花》之后，被舞台上漂亮的“雪花”图案（如图1）所吸引，决定用作品“雪花”参加剪纸比赛．小明的参赛作品“雪花”，它的平面图可简化为图2的平面图形，该平面图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，其中，六边形ABCDEF为正六边形， ，，为等边三角形，P为该平面图形上的一个动点（含边界），则（ ）
A. B.
C. 若，则λ＋μ的最大值为 D. 的取值范围是
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知圆锥的轴截面是一个边长为2的等边三角形，则该圆锥的侧面积为______.
13 已知向量满足，则________
14. 已知是锐角三角形，内角A，B，C所对应的边分别为a，b，c．若，则的取值范围是_______.
四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知复数，其中．
（1）设，若是纯虚数，求实数的值；
（2）设，分别记复数、在复平面上对应点为、，求与的夹角的余弦值以及在上的投影向量的坐标．
16. 如图，在平面四边形中，，，，.
（1）求线段的长度；
（2）求的值.
17. 如图，在正方体中，棱长为2，是线段的中点，平面过点、、．
（1）画出平面截正方体所得的截面，并说明原因；
（2）求（1）中截面多边形的面积：
（3）平面截正方体，把正方体分为两部分，求比较小的部分与比较大的部分的体积的比值．
18. 在直角梯形中，已知，点F是BC边上的中点，点E是CD边上一个动点．
（1）若E是CD边的中点．
①试用和表示；
②若，求的值；
（2）求的取值范围．
19. 记的内角，，所对的边分别为，，.已知向量，.
（1）设单位向量，若与共线，且，求；
（2）当时：
（i）若，求；
（ii）求的最小值.
重庆市十八中两江实验中学2023-2024学年高一下学期期中考试
数学 简要答案
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．
【1题答案】
【答案】A
【2题答案】
【答案】D
【3题答案】
【答案】C
【4题答案】
【答案】A
【5题答案】
【答案】B
【6题答案】
【答案】B
【7题答案】
【答案】A
【8题答案】
【答案】B
二、多项选择题：本大题共3个小题，每小题6分，共18分，在每个给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
【9题答案】
【答案】AC
【10题答案】
【答案】BCD
【11题答案】
【答案】ACD
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．
【12题答案】
【答案】
【13题答案】
【答案】1
【14题答案】
【答案】
四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
【15题答案】
【答案】（1）1 （2）夹角余弦值，投影向量坐标.
【16题答案】
【答案】（1）；
（2）.
【17题答案】
【答案】（1）答案略
（2）
（3）
【18题答案】
【答案】（1）①；②2；
（2）.
【19题答案】
【答案】（1）或
（2）（i）；（ii）
