乌鲁木齐市第八中学2023-2024学年高一下学期期中考试
数学
（考试时间：120分钟卷面分值：150分）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 设，向量，且，则( )
A. B. C. D.
2. 已知非零向量，若，则与的夹角为（ ）
A B.
C. D.
3. 复数的共轭复数为（ ）
A. B. C. D.
4. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ）
A. π B. 2π C. 4π D. 8π
5. 函数与在同一平面直角坐标系中的图像可能是（ ）
A. B.
C. D.
6. 体积为27的正方体的顶点都在同一球面上，则该球面的表面积为（ ）
A. B. C. D.
7. 已知点在所在平面内，且，，，则点依次是的（ ）
A. 重心、外心、垂心 B. 外心、重心、垂心
C. 重心、外心、内心 D. 外心、重心、内心
8. 球面被平面所截得的一部分叫做球冠（如图）.球冠是曲面，是球面的一部分.截得的圆叫做球冠的底，垂直于截面的直径被截得的一段叫做球冠的高.阿基米德曾在著作《论球与圆柱》中记录了一个被后人称作“Archimedes’ Hat-BoxTheorem”的定理：球冠的表面积（如上图，这里的表面积不含底面的圆的面积）.某同学制作了一个工艺品，如下图所示.该工艺品可以看成是一个球被一个棱长为4的正方体的六个面所截后剩余的部分（球心与正方体的中心重合），即一个球去掉了6个球冠后剩下的部分.若其中一个截面圆的周长为，则该工艺品的表面积为（ ）
A. B.
C. D.
二、多选题：本题共3小题，共15分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.
9. 下列命题错误的是（ ）
A. 若A、B、C是平面内的三点，则
B. 若、两个单位向量，则
C. 若、是任意两个向量，则
D. 向量，可以作为平面内所有向量的一组基底
10. 计算下列各式值，其结果为1的有（ ）
A. B.
C. D.
11. 设复数，其中i为虚数单位，则下列正确的是（ ）
A. 若，则
B. 若，则的最大值为3
C. 方程在复数集中有6个解
D. 若，，则
三、填空题：本题共3小题，每小题6分，共18分.
12. △ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知C=60°，b=，c=3，则A=_________.
13. 如图，由3个全等的钝角三角形与中间一个小等边三角形DEF拼成的一个较大的等边三角形，若，，则的面积为________．
14. 已知，，，，则向量在向量上的投影向量为______（用坐标表示）
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 如图，在棱长为3的正方体中，分别为棱的中点．
（1）证明：；
（2）求三棱锥的体积．
16. 在中，，从条件①；条件②，两个条件中，选出一个作已知，解答下面问题.
（1）若，求的面积；
（2）若为锐角三角形，求的取值范围.
注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分.
17. 如图所示，甲乙两人站在同一水平面上，与缆车在同一铅垂平面内且相距50米．假设甲 乙两人的视线处于同一水平线且缆车处于静止状态，甲处观察缆车的仰角为，乙处观察缆车的仰角为，甲处观察缆车的仰角为，乙处观察缆车的仰角为．
（1）求缆车相对甲乙所在水平面的高度；（结果用表示）
（2）若测得，求缆车之间距离．
18. 在中，过重心G的直线与边交于P，与边交于Q，点P，Q不与B，C重合.设面积为，面积为，，.
（1）求；
（2）求证：；
（3）求的取值范围.
19. 已知函数，其中常数．
（1）在上单调递增，求的取值范围；
（2）若，将函数图象向左平移个单位，得到函数的图象，且过，若函数在区间（，且）满足：在上至少含30个零点，在所上满足上述条件的中，求的最小值；
（3）在（2）问条件下，若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围．
乌鲁木齐市第八中学2023-2024学年高一下学期期中考试
数学 简要答案
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.
【1题答案】
【答案】B
【2题答案】
【答案】A
【3题答案】
【答案】A
【4题答案】
【答案】A
【5题答案】
【答案】C
【6题答案】
【答案】D
【7题答案】
【答案】B
【8题答案】
【答案】A
二、多选题：本题共3小题，共15分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.
【9题答案】
【答案】ABC
【10题答案】
【答案】AD
【11题答案】
【答案】ABC
三、填空题：本题共3小题，每小题6分，共18分.
【12题答案】
【答案】
【13题答案】
【答案】
【14题答案】
【答案】
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
【15题答案】
【答案】（1）证明略
（2）
【16题答案】
【答案】（1）面积为
（2）
【17题答案】
【答案】（1）
（2）米
【18题答案】
【答案】（1）
（2）证明略 （3）
【19题答案】
【答案】（1）；（2）；（3）．
