北京师范大学附属实验中学2023-2024学年高一下学期期中测验
数学
本试卷共4页，共150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
第一部分（选择题，共40分）
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.
1. 是（ ）
A. 第一象限角 B. 第二象限角 C. 第三象限角 D. 第四象限角
2. 已知向量，在正方形网格中的位置如图所示.若网格中每个小正方形的边长均为1，则（ ）
A B. C. 2 D. 4
3. 下列函数中，最小正周期为且是奇函数的是（ ）
A. B. C. D.
4. 已知向量，满足，，，则（ ）
A. B. C. D.
5. 已知函数的图象与直线的相邻两个交点间的距离等于，则的图象的一条对称轴是（ ）
A. B. C. D.
6. 已知满足，，则（ ）
A. B. C. D.
7. 已知函数（其中，，）的部分图象如图所示，要得到函数的图象，只需将函数的图象（ ）
A 向左平移个单位 B. 向左平移个单位
C. 向右平移个单位 D. 向右平移个单位
8. 若，则（ ）
A. B. C. D.
9. 已知函数．则“”是“为奇函数”的（ ）
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
10. 如图，是轮子外边沿上一点，轮子半径为0.3m.若轮子从图中位置向右无滑动滚动，则当滚动的水平距离为22m时，下列选项中，关于点的描述正确的是（参考数据：）（ ）
A. 点在轮子的右上位置，距离地面约为0.56m
B. 点在轮子的右上位置，距离地面约为0.45m
C. 点在轮子的左下位置，距离地面约为0.15m
D. 点在轮子的左下位置，距离地面约为0.04m
第二部分（非选择题，共110分）
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.
11. 函数的定义域为__________________ .
12. 已知向量，，使和的夹角为钝角的的一个取值为________.
13. 若函数（）和的图象的对称轴完全重合，则_________，__________.
14. 在矩形中，若，，且，则的值为______，的值为______.
15. 已知，给出下列四个结论：
①对任意的，函数是偶函数；
②存在，函数的最大值与最小值的差为4；
③当时，对任意的非零实数，；
④当时，存在实数，，使得对任意的，都有.其中所有正确结论的序号是_________.
三、解答题共6小题，共85分.解答题应写出文字说明，验算步骤或证明过程.
16. 在平面直角坐标系中，锐角，均以为始边，终边分别与单位圆交于点，，已知点的纵坐标为，点的横坐标为.
（1）直接写出和的值，并求的值；
（2）求的值；
（3）将点绕点逆时针旋转得到点，求点的坐标.
17. 已知函数.
（1）求的单调区间；
（2）若函数，求的图象的对称中心.
18. 在平面直角坐标系中，原点，，，，，，为线段上一点，且.
（1）求，的值；
（2）当时，求；
（3）求的取值范围.
19. 已知函数，其中.再从条件①、条件②、条件③中选择一个作为已知，使存在，并完成下列两个问题.
（1）求的值；
（2）若函数在区间上的取值范围是，求的取值范围.
条件①；
条件②是的一个零点；
条件③.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
20. 如图是两个齿轮传动的示意图，已知上、下两个齿轮的半径分别为1和2，两齿轮中心，在同一竖直线上，且，标记初始位置点为下齿轮的最右端，点为上齿轮的最下端，以下齿轮中心为坐标原点，如图建立平面直角坐标系，已知下齿轮以每秒1弧度的速度逆时针旋转，并同时带动上齿轮转动，转动过程中，两点的纵坐标分别为，、转动时间为秒（）.
（1）当时，求点绕转动的弧度数；
（2）分别写出，关于转动时间的函数表达式，并求当满足什么条件时，；
（3）求的最小值.
21. 对于定义在上的函数，如果存在一组常数，，…，（为正整数，且），使得，，则称函数为“阶零和函数”.
（1）若函数，，请直接写出，是否为“2阶零和函数”；
（2）判断“为2阶零和函数”是“为周期函数”什么条件（用“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”或“既不充分也不必要”回答），并证明你的结论；
（3）判断下列函数是否为“3阶零和函数”，并说明理由.，.
北京师范大学附属实验中学2023-2024学年高一下学期期中测验
数学 简要答案
第一部分（选择题，共40分）
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.
【1题答案】
【答案】C
【2题答案】
【答案】A
【3题答案】
【答案】D
【4题答案】
【答案】D
【5题答案】
【答案】A
【6题答案】
【答案】A
【7题答案】
【答案】D
【8题答案】
【答案】B
【9题答案】
【答案】C
【10题答案】
【答案】B
第二部分（非选择题，共110分）
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.
【11题答案】
【答案】
【12题答案】
【答案】（答案不唯一）
【13题答案】
【答案】 ①. 2 ②. 或1
【14题答案】
【答案】 ①. ②.
【15题答案】
【答案】①②④
三、解答题共6小题，共85分.解答题应写出文字说明，验算步骤或证明过程.
【16题答案】
【答案】（1），；
（2）10； （3）.
【17题答案】
【答案】（1）单调增区间为；单调减区间为
（2）
【18题答案】
【答案】（1）；
（2）；
（3）.
【19题答案】
【答案】（1）条件选择略，；
（2）.
【20题答案】
【答案】（1）2 （2），，满足
（3）
【21题答案】
【答案】（1）不是，是；
（2）充分不必要条件，证明略；
（3）是，不是，理由略.
