第二十二章 二次函数
一、单选题
1．二次函数的顶点坐标为（ ）
A． B． C． D．
2．下列关于抛物线的说法正确的是（ ）
①开口方向向上；②对称轴是直线；③当时，y随x的增大而减小；④当或时，； ⑤二次函数的最小值是
A．①③⑤ B．①④ C．①③④⑤ D．①②③④⑤
3．把抛物线的图象向左平移1个单位，再向上平移2个单位，所得的抛物线的函数关系式是（ ）
A． B．
C． D．
4．二次函数的图象是（ ）
A． B． C． D．
5．若二次函数y＝ax2﹣2x+3的图象的对称轴是经过点（，﹣1）的一条直线，则a的值为（ ）
A．﹣2 B．2 C．4 D．12
6．若抛物线与x轴只有一个交点，则k的值为（ ）
A．－1 B．0 C．1 D．2
7．若二次函数的图象经过，，，四点，则，，的大小关系正确的是（ ）
A． B． C． D．
8．在羽毛球比赛中，某次羽毛球的运动路线可以看作是抛物线的一部分（如图，水平地面为x轴，单位：米），则羽毛球到达最高点时离地面的距离是（ ）
A．1米 B．3米 C．5米 D．米
9．如图，矩形中，边，为边上任意一点，点，同时从点出发，点沿折线运动到点时停止，点沿运动到点时停止，它们运动的速度都是每秒1个单位．设，同时出发秒时，的面积为．则下列反映与的函数关系的大致图象可能正确的是（ ）
A． B．
C． D．
10．如图，抛物线的对称轴为直线，下列结论：①；②；③（m是任意实数）；④；⑤，正确的有（ ）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题
11．抛物线y＝x2﹣4x+1的顶点坐标为 ．
12．已知二次函数y=x2+bx+c中，函数y与自变量x的部分对应值如下表：当x=4时，y= ．
13．已知二次函数，当时，，则的取值范围是 .
14．函数在上的最大值与最小值之差为2，则实数a的值是 ．
15．二次函数y=x2的图象如图，点O为坐标原点，点A在y轴的正半轴上，点B、C在二次函数y=x2的图象上，四边形OBAC为菱形，且∠OBA=120°，则菱形OBAC的面积是 ．
16．衡山红脆桃，湖南省衡阳市衡山县特产，全国农产品地理标志，衡山红脆桃为早熟品种，肉质甜脆爽口，成熟果肉血红色、多汁、离核，深受人们喜爱．某特产批发店以30元/箱的价格购进了一批衡山红脆桃，根据市场调查发现：售价定为58元/箱时，每天可销售600箱，为保证市场占有率，决定降价销售，发现每箱降价1元，每天可增加销量60箱，每天的利润w（元）与每箱降价x（元）之间的函数表达式为 ．
三、解答题
17．已知二次函数y＝x2＋（k－1）x－2k－3．
（1）求证：该二次函数图像与x轴总有两个公共点；
（2）若点A（－1，y1）、B（1，y2）在该二次函数的图像上，且y1＞y2，求k的取值范围．
18．已知抛物线（为常数）经过点．
(1)求该抛物线的函数表达式．
(2)已知点在该抛物线上．
（ⅰ）当时，比较的大小；
（ⅱ）若是抛物线上一点，且当时，有最小值，求的值．
19．第二十二届中国上海国际艺术节首次移师上海市黄浦区南京东路第一百货商业中心，主办方工作人员准备利用一边靠墙(墙长米)的空旷场地为提前到场的观众设立面积为平方米的封闭型长方形等候区．如图，为了方便观众进出，在两边空出两个宽各为米的出入口，共用 去隔栏绳 米．请问：
(1)工作人员围成的这个长方形的相邻两边长分别是多少米？
(2)长方形场地的最大面积是多少平方米？
20．过山车是一项富有刺激性的娱乐工具，深受年轻游客的喜爱．某游乐场修建了一款大型过山车．如图所示，为这款过山车的一部分轨道（B为轨道最低点），它可以看成一段抛物线，其中米，米（轨道厚度忽略不计）．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)在轨道上有两个位置P和C到地面的距离均为n米，当过山车运动到C处时，又进入下坡段（接口处轨道忽略不计，E为轨道最低点），已知轨道抛物线的形状与抛物线完全相同，E点坐标为，求n的值；
(3)现需要对轨道下坡段进行安全加固，建造某种材料的水平和竖直支架，且要求，已知这种材料的价格是100000元/米，请计算多长时，造价最低？最低造价为多少元？
21．如图，一座温室实验室的横截面由抛物线和矩形组成，矩形的长是16m，宽是4m．按照图中所示的直角坐标系，抛物线可以用y=-x2+bx+c表示，CD为一排平行于地面的加湿管．
(1)求抛物线的函数关系式，并计算出拱顶到地面的距离．
(2)若加湿管的长度至少是12m，加湿管与拱顶的距离至少是多少米？
(3)若在加湿管上方还要再安装一排恒温管(两排管道互相平行)，且恒温管与加湿管相距1.25m，恒温管的长度至少是多少米？
22．我市一家电子计算器专卖店每只进价13元，售价20元，多买优惠；凡是一次买10只以上的，每多买1只，所买的全部计算器每只就降低0.10元，例如，某人买20只计算器，于是每只降价0.10×（20﹣10）=1（元），因此，所买的全部20只计算器都按照每只19元计算，但是最低价为每只16元．
（1）求一次至少买多少只，才能以最低价购买？
（2）写出该专卖店当一次销售x（时，所获利润y（元）与x（只）之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（3）若店主一次卖的只数在10至50只之间，问一次卖多少只获得的利润最大？其最大利润为多少？
23．如图，已知二次函数的图象与轴交于、两点，与轴交于点．
(1)求二次函数的解析式；
(2)当时，请直接写出的范围；
(3)点是抛物线上位于第二象限的一个动点，连接，当时，求点的横坐标．
24．已知：关于x的一元二次方程－x2+(m+1)x+(m+2)=0（m＞0）．
（1）求证：该方程有两个不相等的实数根；
（2）当抛物线y=－x2+(m+1)x+(m+2)经过点3，0），求该抛物线的表达式；
（3）在（2）的条件下，记抛物线y=－x2+(m+1)x+(m+2)在第一象限之间的部分为图象G，如果直线y=k(x+1)+4与图象G有公共点，请结合函数的图象，求直线y=k(x+1)+4与y轴交点的纵坐标t的取值范围．
参考答案：
1．C
2．A
3．D
4．B
5．B
6．C
7．B
8．D
9．A
10．B
11．
12．（2，﹣3）．
13．5
14．且
15．2
16．．
17．（1）答案见解析；（2）k＜1．
18．(1)该抛物线的函数表达式为
(2)（ⅰ）；（ⅱ）的值为0或
19．(1)这个长方形的宽为米，长为米；
(2)平方米．
20．(1)
(2)
(3)当为米时，造价最低，最低造价为2356000元
21．(1)y=-x2+x+4，拱顶到地面的距离为8米
(2)至少是2.25米
(3)至少是8米
22．解：（1）设一次购买x只，才能以最低价购买，
则有：0.1（x﹣10）=20﹣16，
解这个方程得x=50；
答一次至少买50只，才能以最低价购买．
（2）．
（3）将
配方得，
∴店主一次卖40只时可获得最高利润，最高利润为160元．
（也可用公式法求得）
23．(1)
(2)或；
(3)
24．（2）y=－x2+2x+3.（3）3＜t≤4.
