11.2.1 三角形的内角 第1课时 三角形的内角和
一、单项选择题。
1．三角形的内角和等于( )
A．90° B．180° C．270° D．360°
2．下列各组角的度数中，哪一组是同一个三角形的内角度数( )
A．95°，80°，5° B．63°，70°，67°
C．34°，36°，50° D．25°，160°，15°
3．如图，平行线AB，CD被直线EF所截，过点B作BG⊥EF于点G，已知∠1＝50°，则∠B等于( )
A．20° B．30° C．40° D．50°
4．在探究证明“三角形的内角和是180°”时，综合实践小组的同学作了如图所示的四种辅助线，其中不能证明“三角形内角和是180°”的是( )
5．如图，∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝( )
A．140° B．240° C．280° D．320°
6．如图，△ABC中，∠A＝60°，∠B＝40°，DE∥BC，则∠AED的度数是( )
A．50° B．60° C．70° D．80°
7．如图，在△ABC中，∠ABC＝∠ACB，∠A＝40°，点P是△ABC内一点，且∠1＝∠2，则∠BPC等于( )
A．110° B．120° C．130° D．140°
8．如图，李明同学在东西方向的滨海路A处，测得海中灯塔P在北偏东60°方向上，他向东走400米至B处，测得灯塔P在北偏东30°方向上，则从灯塔P观测A，B两处的视角∠P的度数是( )
A．30° B．32° C．35° D．40°
二、填空题。
9．求出图中x的值：
(1)x＝____；
(2)x＝____．
10．如图，把△ABC的一角折叠，若∠1＋∠2＝130°，则∠A的度数为______．
11．如图，在△ABC中，∠A＝46°，CE是∠ACB的平分线，点B，C，D在同一条直线上，FD∥EC，∠D＝42°，则∠B的度数为________ .
12．如图，CD，CE分别是△ABC的高和角平分线，∠A＝30°，∠B＝60°，则∠DCE＝___．
13．如图，李明同学在东西方向的滨海路A处，测得海中灯塔P在北偏东60°方向上，他向东走400米至B处，测得灯塔P在北偏东30°方向上，则从灯塔P观测A，B两处的视角∠P的度数是___________．
14．根据题意，结合图形填空：
已知：如图①，∠A，∠B，∠C是△ABC的三个内角．求证：△ABC三个内角之和为180°.
证明：如图②，延长BA，过点A作AE∥BC.
∵AE∥BC，(已作)
∴∠1＝∠_____，(________________________)
∠2＝∠____，(________________________)
∵∠1＋∠2＋∠BAC＝180°，(平角定义)
∴∠B＋∠C＋∠BAC＝180°，(____________)
即△ABC三个内角之和为180°.
三、解答题。
15．如图，在△ABC中，点D，E为AB，BC上的点，且DE∥AC，EF平分∠DEB交AB于点F，若∠B＝42°，∠A＝76°，求∠DFE的度数．
16．如图，在△ABC中，BE是AC边上的高，DE∥BC，∠ADE＝48°，∠C＝62°，求∠ABE的度数．
17．如图，在△ABC中，∠C＝∠ABC＝2∠A，BD是AC边上的高，求∠DBC的度数．
18．如图，B岛在A岛南偏西55°方向，B岛在C岛北偏西60°方向，C岛在A岛南偏东30°方向．从B岛看A，C两岛的视角∠ABC是多少度？
19．如图①，已知线段AB，CD相交于点O，连接AC，BD，我们把形如这样的图形称为“8字型”．
(1)求证：∠A＋∠C＝∠B＋∠D；
(2)如图②，若∠CAB和∠BDC的平分线AP和DP相交于点P，且与CD，AB分别相交于点M，N.
①以线段AC为边的“8字型”有_____个，以点O为交点的“8字型”有____个；
②若∠B＝100°，∠C＝120°，求∠P的度数；
③若角平分线中角的关系改为“∠CAP＝∠CAB，∠CDP＝∠CDB”，试探究∠P与∠B，∠C之间存在的数量关系，并说明理由．
答案：
一、
1-8 BACBC DAA
二、
9. (1) 45
(2) 75
10. 65°
11. 50°
12. 15°
13. 30°
14. B 两直线平行，同位角相等
C 两直线平行，内错角相等
等量代换
三、
15. 解：∵∠B＝42°，∠A＝76°，∴∠C＝180°－∠B－∠A＝62°.
∵DE∥AC，∴∠EDF＝∠A＝76°，∠DEB＝∠C＝62°.
∵EF平分∠DEB，∴∠DEF＝∠DEB＝31°，
∴∠DFE＝180°－∠EDF－∠DEF＝180°－76°－31°＝73°.
16. 解：∵DE∥BC，∠ADE＝48°，∴∠ABC＝∠ADE＝48°，
∵BE是AC边上的高，∴∠BEC＝90°，∵∠C＝62°，
∴∠EBC＝90°－∠C＝28°，∴∠ABE＝∠ABC－∠EBC＝20°
17. 解：设∠A＝x°，则∠C＝∠ABC＝2x°.∵∠A＋∠ABC＋∠C＝180°，
∴x＋2x＋2x＝180，∴x＝36，∴∠C＝72°.
在Rt△DBC中，∠DBC＝90°－∠C＝18°
18. 解：如图，根据题意得∠DAC＝30°，∠BAD＝55°，
∴∠BAC＝∠BAD＋∠DAC＝55°＋30°＝85°.
∵AD∥CE，∴∠ACE＝∠DAC＝30°.∵∠BCE＝60°，∴∠ACB＝30°.
∴∠ABC＝180°－∠BAC－∠ACB＝180°－85°－30°＝65°.
故从B岛看A，C两岛的视角∠ABC是65°
19. 解：(1)证明：在图①中，有∠A＋∠C＝180°－∠AOC，∠B＋∠D＝180°－∠BOD，∵∠AOC＝∠BOD，∴∠A＋∠C＝∠B＋∠D.
(2) ①3 1
②以M为交点的“8字型”中，有∠P＋∠CDP＝∠C＋∠CAP，以N为交点的“8字型”中，有∠P＋∠BAP＝∠B＋∠BDP，∴2∠P＋∠BAP＋∠CDP＝∠B＋∠C＋∠CAP＋∠BDP.
又∵AP，DP分别平分∠CAB和∠BDC，∴2∠P＝∠B＋∠C.∵∠B＝100°，∠C＝120°，∴∠P＝(∠B＋∠C)＝(100°＋120°)＝110°.
③3∠P＝∠B＋2∠C.
理由：∵∠CAP＝∠CAB，∠CDP＝∠CDB，∴∠BAP＝∠CAB，∠BDP＝∠CDB，
由②知∠P＋∠CDP＝∠C＋∠CAP，∠P＋∠BAP＝∠B＋∠BDP，
∴∠C－∠P＝∠CDP－∠CAP＝(∠CDB－∠CAB)，
∠P－∠B＝∠BDP－∠BAP＝(∠CDB－∠CAB).∴2(∠C－∠P)＝∠P－∠B，
∴3∠P＝∠B＋2∠C.
