2023年秋高二开学摸底考试检测卷 数学
学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题
1．设集合，集合，集合，则( )
A. B. C. D.
2．已知，则( )
A.-i B.i C.0 D.1
3．不等式的解集为，则函数的图象大致为( )
A. B. C. D.
4．已知函数是偶函数，则( )
A.2 B.1 C.-1 D.-2
5．若，，，则( )
A. B. C. D.
6．为得到函数的图象，只要把函数图象上所有的点( )
A.向左平移个单位长度 B.向右平移个单位长度
C.向左平移个单位长度 D.向右平移个单位长度
7．已知向量，，，且，则实数k的值为( )
A. B.0 C.3 D.
8．已知直线与平行，则实数m的值为( )
A.-7 B.-1 C.-1或-7 D.
二、多项选择题
9．已知角的终边与单位圆交于点，则( )
A. B. C. D.
10．在4件产品中，有一等品2件，二等品1件（一等品与二等品都是正品），次品1件，现从中任取2件，则下列说法正确的是( )
A.两件都是一等品的概率是
B.两件中有1件是次品的概率是
C.两件都是正品的概率是
D.两件中至少有1件是一等品的概率是
11．如图，正方体的棱长为1，线段上有两个动点E，F，且，则下列结论正确的是( )
A. B.平面ABCD
C.的面积与的面积相等 D.三棱锥的体积为定值
12．某公司为了解用户对其产品的满意度，从甲、乙两地区分别随机调查了100个用户，根据用户对产品的满意度评分，分别得到甲地区和乙地区用户满意度评分的频率分布直方图，如图所示.若甲地区和乙地区用户满意度评分的中位数分别为，，平均数分别为，，则下面正确的是( )
A. B. C. D.
三、填空题
13．设的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，，，则__________.
14．如图，O为所在平面外一点，M为BC的中点，若与同时成立，则实数的值为__________.
15．已知，且，则的最小值为__________.
16．已知两点和，则以AB为直径的圆的标准方程是__________.
四、解答题
17．设集合，集合.
（1）若“”是“”的必要条件，求实数m的取值范围；
（2）若中只有一个整数，求实数m的取值范围.
18．已知函数，.
（1）求的值；
（2）用定义证明函数在上为增函数；
（3）若，求实数a的取值范围.
19．已知的内角A，B，C满足.
（1）求角A；
（2）若的外接圆半径为1，求的面积S的最大值.
20．如图，是棱长为4的正方体，E是的中点.
（1）证明：；
（2）求三棱锥的体积.
21．某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完.根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：℃）有关.如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间，需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶.为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：
最高气温
天数 2 16 36 25 7 4
以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率.
（1）估计六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率；
（2）设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y（单位：元），当六月份这种酸奶一天的进货量为450瓶时，写出Y的所有可能值，并估计Y大于零的概率.
22．已知矩形ABCD的两条对角线相交于点，边所在直线的方程为，点在AD边所在的直线上.
（1）求AD边所在直线的方程；
（2）求矩形ABCD外接圆的标准方程.
参考答案
1．答案：B
解析：集合，或，，故选B.
2．答案：A
解析：因为，所以，所以.故选A.
3．答案：C
解析：因为不等式的解集为，所以，解得，所以.令，解得或.所以抛物线开口向下，与x轴的交点的横坐标分别为，2.故选C.
4．答案：D
解析：是偶函数，，即，得.故选D.
5．答案：D
解析：，.故选D.
6．答案：D
解析：因为，所以要得到函数的图象，只要把函数的图象上所有的点向右平移个单位长度，故选D.
7．答案：C
解析：，又，，即，解得.故选C.
8．答案：A
解析：当时，两直线方程分别为，，此时两条直线不平行；当时，两直线方程分别为，，此时两条直线不平行；当且时，两直线方程分别为，，两条直线平行，，且，解得.综上，.故选A.
9．答案：AC
解析：角的终边与单位圆交于点，，，
.当时，；当
时，.故选AC.
10．答案：BD
解析：由题意设一等品编号为a，b，二等品编号为c，次品编号为d，从中任取2件的基本情况有，，，，，，共6种.
对于A，两件都是一等品的基本情况有，共1种，故两件都是一等品的概率，故A错误；
对于B，两件中有1件是次品的基本情况有，，，共3种，故两件中有1件是次品的概率，故B正确；
对于C，两件都是正品的基本情况有，，，共3种，故两件都是正品的概率，故C错误；
对于D，两件中至少有1件是一等品的基本情况有，，，，，共5种，故两件中至少有1件是一等品的概率，故D正确.故选BD.
11．答案：ABD
解析：A项，为正方体平面，故A正确；
B项，显然，即，所以平面ABCD，故B正确；
C项，易证是边长为的正三角形，故点A到的距离，而点B到的距离，所以，，故C错误；
D项，显然点A到平面BEF的距离，所以
为定值，故D正确.故选ABD.
12．答案：BC
解析：由题中频率分布直方图得，甲地区的频率为，的频率为，所以甲地区用户满意度评分的中位数，甲地区的平均数.乙地区的频率为，的频率为，所以乙地区用户满意度评分的中位数，乙地区的平均数，所以，.故选BC.
13．答案：
解析：因为，所以，又因为，所以，所以.
14．答案：
解析：，所以.
15．答案：
解析：因为，且，所以，当且仅当时取等号.
16．答案：
解析：因为，，故AB的中点为，
又，故所求圆的半径为，
则所求圆的标准方程是.
17．答案：（1）
（2）
解析：（1）由“”是“”的必要条件，得.
当时，，解得，满足，则；
当时，，解得.
综上知，实数m的取值范围为.
（2）依题意，得或.
由中只有一个整数知，
从而得中仅有一个整数，
因此有，即.
所以实数m的取值范围为.
18．答案：（1）
（2）证明见解析
（3）
解析：（1）因为，
所以.
（2）任取，且，
则.
因为，所以，，
所以，即.
所以函数在上为增函数.
（3）由（2）知在上为增函数，
又，所以，
解得，即.
所以实数a的取值范围是.
19．答案：（1）
（2）
解析：（1）因为，
所以，即，
所以，
因为，所以.
（2）因为的外接圆半径为1，
所以，
由余弦定理得，
所以，当且仅当时，等号成立，
所以，
故的面积S的最大值是.
20．答案：（1）证明见解析
（2）
解析：（1）如图，连接BD.
四边形ABCD是正方形，.
在正方体中，平面ABCD，
又平面，.
又，平面，平面，
平面.
又平面，
.
（2）设AC与BD交于点F，连接，.
在正方体中，，.
又E，F分别是，的中点，
，，
四边形是平行四边形，
.
平面，平面，
平面.
又正方体的棱长为4，
.
21．答案：（1）0.6
（2）利润Y的所有可能值为，300，900；Y大于零的概率的估计值为0.8
解析：（1）这种酸奶一天的需求量不超过300瓶，当且仅当最高气温低于25，
由表中数据可知，最高气温低于25的频率为.
所以这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率的估计值为0.6.
（2）当这种酸奶一天的进货量为450瓶时，若最高气温低于20，
则；
若最高气温位于区间，则；
若最高气温不低于25，测，
所以，利润Y的所有可能值为，300，900.
Y大于零当且仅当最高气温不低于20，由表格数据知，最高气温不低于20的频率为.
因此Y大于零的概率的估计值为0.8.
22．答案：（1）
（2）
解析：（1）因为AB边所在直线的方程为，且AD与AB垂直，
所以边AD所在直线的斜率为-3.
又点在边AD所在直线上，
所以AD边所在直线的方程为，即.
（2）由，解得，即点A的坐标为.
因为矩形ABCD的两条对角线的交点为，
所以点M为矩形ABCD外接圆的圆心.
又矩形ABCD外接圆的半径，
所以矩形ABCD外接圆的标准方程为.
