2第21章《一元二次方程》阶段检测卷（二）
(测试范围:第21.3实际问题与一元二次方程 解答参考时间:90分钟 满分:120分)
一．选择题（共10小题，每小题3分,共30分）
1．两个相邻自然数的积是506，则这两个数中，较大的数是（ ）
A．20 B．21 C．22 D．23
2．根据福建省统计局数据，福建省2020年的地区生产总值为43903.89亿元，2022年的地区生产总值为53109.85亿元．设这两年福建省地区生产总值的年平均增长率为x，根据题意可列方程（ ）
A．43903.89（1＋x）＝53109.85
B．43903.89（1＋x）2＝53109.85
C．43903.89x2＝53109.85
D．43903.89（1＋x2）＝53109.85
3．现有x支球队参加篮球比赛，比赛采用单循环制即每个球队必须和其余球队比赛一场，共比赛了45场，则下列方程中符合题意的是（ ）
A．x（x－1）＝45 B．x（x＋1）＝45
C．x（x－1）＝45 D．x（x＋1）＝45
4．一个两位数，个位数字比十位数字大3，个位数字的平方刚好等于这个两位数，则这个两位数是（ ）
A．不存在 B．25 C．36 D．25或36
5．有种传染病蔓延极快，据统计，在某城市人群密集区，每人一天能传染若干人，现有一人患有此病，开始两天共有121人患上此病，平均每天一人传染了多少人？（ ）
A．9 B．10 C．11 D．12
6．如图，有一张矩形纸片，长10cm，宽6cm，在它的四角各剪去一个同样的小正方形，然后折叠成一个无盖的长方体纸盒．若纸盒的底面（图中阴影部分）面积是32cm2，求剪去的小正方形的边长．设剪去的小正方形边长是x cm，根据题意可列方程为（ ）
A．10×6－4×6x＝32 B．（10－2x）（6－2x）＝32
C．（10－x）（6－x）＝32 D．10×6－4x2＝32
7．某航空公司有若干个飞机场，每两个飞机场之间都开辟一条航线，一共开辟了10条航线，则这个航空公司共有飞机场（ ）
A．4个 B．5个 C．6个 D．7个
8．某商品的进价为每件40元，当售价为每件80元时，每星期可卖出200件，现需降价处理，且经市场调查：每降价1元，每星期可多卖出8件，店里每周利润要达到8450元．若设店主把该商品每件售价降低x元，则可列方程为（ ）
A．（80－x）（200＋8x）＝8450
B．（40－x）（200＋8x）＝8450
C．（40－x）（200＋40x）＝8450
D．（40－x）（200＋x）＝8450
9．某树主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支总数是43，若设主干长出x个支干，则可列方程（ ）
A．（x＋1）2＝43 B．x2＋1＝43 C．x2＋x＋1＝43 D．x（x＋1）＝43
10．如图，要设计一幅宽20cm，长30cm的图案，其中有两横两竖的彩条，横竖彩条的宽度比为2：1，如果要使彩条所占面积是图案面积的，则竖彩条宽度为（ ）
A．1cm B．1.5cm C．2cm D．2.5cm
二．填空题（共6小题，每小题3分，共18分）
11．生物兴趣小组的学生，将自己收集的标本向本组其他成员各赠送一件，全组共互赠了182件，那么全组有 名同学．
12．下面是我国南宋数学家杨辉在1275年提出的一个问题：“直田积八百六十四步，只云阔（宽）不及长一十二步，问阔及长各几步．”意思是“一个矩形面积864平方步，只知道宽比长少12步，问宽与长各几步”若设宽为x步，依题意可列方程为 ．
13．为了加快数字化城市建设，某市计划新建一批智能充电桩，第一个月新建了320个充电桩，第三个月新建了500个充电桩，设该市新建智能充电桩个数的月平均增长率为x，根据题意，请列出方程 ．
14．卫生部门为控制流感的传染，对某种流感研究发现：若一人患了流感，经过两轮传染后共有100人患了流感，若按此传染速度，第三轮传染后，患流感人数共有 人．
15．如图，要设计一本书的封面，封面长40cm，宽30cm正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形，如果使四周的边衬所占面积是封面面积的五分之一，上、下边衬等宽，左、右边衬等宽，上下边衬的宽度为 ，左右边衬的宽度为 ．
16．我国古代数学家刘徽将勾股形（古人称直角三角形为勾股形）分割成一个正方形和两对全等的三角形，如图所示，已知∠A＝90°，BD＝4，CF＝6，则正方形ADOF的边长是 ．
三．解答题（共8题,共72分）
17．（本题8分）一人患了流感，经过两轮传染后共有144人患了流感，假设每轮传染中每个人传染的人数相同，求每轮传染中平均一个人传染了几个人？
18．（本题8分）一个QQ群里有若干个好友，每个好友都分别给群里其他好友发送了一条消息，这样共有870条消息，求该群共有多少个好友．
19．（本题8分）制造某电器，原来每件的成本是300元，由于技术革新，连续两次降低成本，现在的成本是192元，求平均每次降低成本的百分率．
20．（本题8分）如图，老李想用长为70m的栅栏，再借助房屋的外墙（外墙足够长）围成一个矩形羊圈ABCD，并在边BC上留一个2m宽的门（建在EF处，另用其他材料）．
（1）当羊圈的长和宽分别为多少米时，能围成一个面积为640m2的羊圈？
（2）羊圈的面积能达到650m2吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由．
21．（本题8分）随旅游旺季的到来，某景区游客人数逐月增加，2月份游客人数为1.6万人，4月份游客人数为2.5万人．
（1）求这两个月中该景区游客人数的月平均增长率；
（2）预计5月份该景区游客人数会继续增长，但增长率不会超过前两个月的月平均增长率．已知该景区5月1日至5月21日已接待游客2.25万人，则5月份后10天日均接待游客人数最多是多少万人？
22．（本题10分）如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝12cm，BC＝24cm，动点P从点A出发沿边AB向点B以2cm/s的速度移动，同时动点Q从点B出发沿边BC向点C以4cm/s的速度移动，当P运动到B点时P、Q两点同时停止运动，设运动时间为t s．
（1）BP＝ cm；BQ＝ cm；（用t的代数式表示）
（2）D是AC的中点，连接PD、QD，t为何值时△PDQ的面积为40cm2？
23．（本题10分）某水果商店销售一种进价为40元/千克的优质水果，若售价为50元/千克，则一个月可售出500千克；若售价在50元/千克的基础上每涨价1元，则月销售量就减少10千克．
（1）当售价为55元/千克时，每月销售水果多少千克？
（2）当月利润为8750元时，每千克水果售价为多少元？
24．（本题12分）用54m长的竹栅栏围一个矩形菜园，菜园的一边靠长为a m的墙，另三边用竹栅栏围成，且在与墙平行的一边开两扇门，宽度都是1m，设与墙垂直的一边长为x m．
（1）当a＝41时，矩形菜园面积是320m2，求x；
（2）当a足够大时，问矩形菜园的面积能否达到400m2？
（3）若矩形菜园的面积是320m2，x的值只能取一个，试写出a的取值范围．
2第21章《一元二次方程》阶段检测卷（二）
(测试范围:第21.3实际问题与一元二次方程 解答参考时间:90分钟 满分:120分)
一．选择题（共10小题，每小题3分,共30分）
1．两个相邻自然数的积是506，则这两个数中，较大的数是（ ）
A．20 B．21 C．22 D．23
【思路点拔】设这两个数中，较大的数是x，则较小的数是x－1，根据这两个自然数的积是506，可得出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论．
解：设这两个数中，较大的数是x，则较小的数是x－1，
根据题意得：x（x－1）＝506，
整理得：x2－x－506＝0，
解得：x1＝23，x2＝－22（不符合题意，舍去），
∴这两个数中，较大的数是23．
故选：D．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
2．根据福建省统计局数据，福建省2020年的地区生产总值为43903.89亿元，2022年的地区生产总值为53109.85亿元．设这两年福建省地区生产总值的年平均增长率为x，根据题意可列方程（ ）
A．43903.89（1＋x）＝53109.85
B．43903.89（1＋x）2＝53109.85
C．43903.89x2＝53109.85
D．43903.89（1＋x2）＝53109.85
【思路点拔】设这两年福建省地区生产总值的年平均增长率为x，根据福建省2020年的地区生产总值为43903.89亿元，2022年的地区生产总值为53109.85亿元，据此列方程．
解：设这两年福建省地区生产总值的年平均增长率为x，
根据题意得，43903.89（1＋x）2＝53109.85，
故选：B．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列出方程．
3．现有x支球队参加篮球比赛，比赛采用单循环制即每个球队必须和其余球队比赛一场，共比赛了45场，则下列方程中符合题意的是（ ）
A．x（x－1）＝45 B．x（x＋1）＝45
C．x（x－1）＝45 D．x（x＋1）＝45
【思路点拔】先列出x支篮球队，每两队之间都比赛一场，共可以比赛x（x－1）场，再根据题意列出方程为x（x－1）＝45．
解：∵有x支球队参加篮球比赛，每两队之间都比赛一场，
∴共比赛场数为x（x－1）．
∴共比赛了45场，
∴x（x－1）＝45，
故选：A．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
4．一个两位数，个位数字比十位数字大3，个位数字的平方刚好等于这个两位数，则这个两位数是（ ）
A．不存在 B．25 C．36 D．25或36
【思路点拔】设个位数字为x，那么十位数字是（x－3），这个两位数是[10（x－3）＋x]，然后根据个位数字的平方刚好等于这个两位数即可列出方程求解．
解：设个位数字为x，那么十位数字是（x－3），这个两位数是10（x－3）＋x，
依题意得x2＝10（x－3）＋x，∴x2－11x＋30＝0，
∴x1＝5，x2＝6，
∴x－3＝2或3．
答：这个两位数是25或36．
故选：D．
【点评】这是一道数字问题的应用题，正确理解关键描述语，找到等量关系准确地列出方程是解决问题的关键．
5．有种传染病蔓延极快，据统计，在某城市人群密集区，每人一天能传染若干人，现有一人患有此病，开始两天共有121人患上此病，平均每天一人传染了多少人？（ ）
A．9 B．10 C．11 D．12
【思路点拔】根据第一天患病的人数为1＋1×传播的人数，第二天患病的人数为第一天患病的人数×传播的人数，再根据等量关系：第一天患病的人数＋第二天患病的人数＝121，列出方程求解即可．
解：设平均每天一人传染了x人，
根据题意得：1＋x＋x（1＋x）＝121，
（1＋x）2＝121，
解得：x1＝10，x2＝－12（舍去）．
即平均每天一人传染了10人．
故选：B．
【点评】此题考查了一元二次方程的应用，读懂题意，得到两天患病人数的等量关系是解决本题的关键；本题的等量关系是：第一天患病的人数＋第二天患病的人数＝121．
6．如图，有一张矩形纸片，长10cm，宽6cm，在它的四角各剪去一个同样的小正方形，然后折叠成一个无盖的长方体纸盒．若纸盒的底面（图中阴影部分）面积是32cm2，求剪去的小正方形的边长．设剪去的小正方形边长是x cm，根据题意可列方程为（ ）
A．10×6－4×6x＝32 B．（10－2x）（6－2x）＝32
C．（10－x）（6－x）＝32 D．10×6－4x2＝32
【思路点拔】设剪去的小正方形边长是x cm，则纸盒底面的长为（10－2x）cm，宽为（6－2x）cm，根据长方形的面积公式结合纸盒的底面（图中阴影部分）面积是32cm2，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
解：设剪去的小正方形边长是x cm，则纸盒底面的长为（10－2x）cm，宽为（6－2x）cm，
根据题意得：（10－2x）（6－2x）＝32．
故选：B．
【点评】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
7．某航空公司有若干个飞机场，每两个飞机场之间都开辟一条航线，一共开辟了10条航线，则这个航空公司共有飞机场（ ）
A．4个 B．5个 C．6个 D．7个
【思路点拔】飞机场可以看作是点，航线可以看作过点画的直线．设有n个机场就有10．
解：设这个航空公司有机场n个
10
n＝5或n＝－4（舍去）
故选：B．
【点评】本题考查类比方法的运用，飞机场好像点航线好比过点画的线，按过点画直线的规律列方程求解．
8．某商品的进价为每件40元，当售价为每件80元时，每星期可卖出200件，现需降价处理，且经市场调查：每降价1元，每星期可多卖出8件，店里每周利润要达到8450元．若设店主把该商品每件售价降低x元，则可列方程为（ ）
A．（80－x）（200＋8x）＝8450
B．（40－x）（200＋8x）＝8450
C．（40－x）（200＋40x）＝8450
D．（40－x）（200＋x）＝8450
【思路点拔】利润＝售价－进价，由每降价1元，每星期可多卖出8件，可知每件售价降低x元，每星期可多卖出8x件，从而列出方程即可．
解：原来售价为每件80元，进价为每件40元，利润为每件40元，又每件售价降价x元后，利润为每件（40－x）元．
每降价1元，每星期可多卖出8件，所以每件售价降低x元，每星期可多卖出8x件，现在的销量为（200＋8x）．
根据题意得：（40－x）×（200＋8x）＝8450，
故选：B．
【点评】本题考查了从实际问题中抽出一元二次方程，找到关键描述语，找到等量关系准确地列出方程是解决问题的关键．
9．某树主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支总数是43，若设主干长出x个支干，则可列方程（ ）
A．（x＋1）2＝43 B．x2＋1＝43 C．x2＋x＋1＝43 D．x（x＋1）＝43
【思路点拔】设主干长出x个支干，则长出x2个小分支，根据主干、支干和小分支总数是43，即可列出关于x的一元二次方程．
解：设主干长出x个支干，则长出x2个小分支，
根据题意得：1＋x＋x2＝43．
故选：C．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
10．如图，要设计一幅宽20cm，长30cm的图案，其中有两横两竖的彩条，横竖彩条的宽度比为2：1，如果要使彩条所占面积是图案面积的，则竖彩条宽度为（ ）
A．1cm B．1.5cm C．2cm D．2.5cm
【思路点拔】可设竖彩条的宽是xcm，则横彩条的宽是2xcm，根据彩条所占面积是图案面积的，可列方程求解．
解：设竖彩条的宽为xcm，则横彩条的宽为2xcm，则
（30－2x）（ 20－4x）＝30×20×（1），
整理得：x2－20x＋19＝0，
解得：x1＝1，x2＝19（不合题意，舍去）．
答：竖彩条的宽度为1cm．
故选：A．
【点评】本题考查的是一元二次方程的应用，设出横竖条的宽，以面积作为等量关系列方程求解．
二．填空题（共6小题，每小题3分，共18分）
11．生物兴趣小组的学生，将自己收集的标本向本组其他成员各赠送一件，全组共互赠了182件，那么全组有 名同学．
【思路点拔】先求每名同学赠的标本，再求x名同学赠的标本，而已知全组共互赠了182件，故根据等量关系可得到方程，求解即可．
解：设全组有x名同学，
则每名同学所赠的标本为：（x－1）件，
那么x名同学共赠：x（x－1）件，
则x（x－1）＝182，
解得x1＝－13（不合题意舍去），x2＝14．
故全组共有14名同学．
故答案为：14．
【点评】本题考查一元二次方程的实际运用：要全面、系统地弄清问题的已知和未知，以及它们之间的数量关系，找出并全面表示问题的相等关系，设出未知数，用方程表示出已知量与未知量之间的等量关系，即列出一元二次方程．
12．下面是我国南宋数学家杨辉在1275年提出的一个问题：“直田积八百六十四步，只云阔（宽）不及长一十二步，问阔及长各几步．”意思是“一个矩形面积864平方步，只知道宽比长少12步，问宽与长各几步”若设宽为x步，依题意可列方程为 ．
【思路点拔】若设宽为x步，则长为（x＋12）步，根据直田的面积为864平方步，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
解：若设宽为x步，则长为（x＋12）步，
依题意得：x（x＋12）＝864．
故答案为：x（x＋12）＝864．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程以及数学常识，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
13．为了加快数字化城市建设，某市计划新建一批智能充电桩，第一个月新建了320个充电桩，第三个月新建了500个充电桩，设该市新建智能充电桩个数的月平均增长率为x，根据题意，请列出方程 ．
【思路点拔】设该市新建智能充电桩个数的月平均增长率为x，根据第一个月新建了320个充电桩，第三个月新建了500个充电桩，即可得出关于x的一元二次方程．
解：设该市新建智能充电桩个数的月平均增长率为x，
依题意得：320（1＋x）2＝500．
故答案为：320（1＋x）2＝500．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
14．卫生部门为控制流感的传染，对某种流感研究发现：若一人患了流感，经过两轮传染后共有100人患了流感，若按此传染速度，第三轮传染后，患流感人数共有 人．
【思路点拔】由于每轮传染中平均一个人传染的人数是x人，那么经过第一轮后有（1＋x）人患了流感，经过第二轮后有[（1＋x）＋x（1＋x）]人患了流感，再根据经过两轮传染后共有100人患了流感列出方程，解方程求出x的值，进而得到第三轮传染后患流感人数．
解：设每轮传染中平均一个人传染的人数为x人，
第一轮过后有（1＋x）个人感染，第二轮过后有（1＋x）＋x（1＋x）个人感染，
那么由题意可知1＋x＋x（1＋x）＝100，
整理得，x2＋2x－99＝0，
解得x＝9或－11，
x＝－11不符合题意，舍去．
那么每轮传染中平均一个人传染的人数为9人．
第三轮传染后，患流感人数共有：100＋9×100＝1000．
故答案为1000．
【点评】本题考查了一元二次方程的运用，解此类题关键是根据题意分别列出不同阶段患了流感的人数．
15．如图，要设计一本书的封面，封面长40cm，宽30cm正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形，如果使四周的边衬所占面积是封面面积的五分之一，上、下边衬等宽，左、右边衬等宽，上下边衬的宽度为 ，左右边衬的宽度为 ．
【思路点拔】设正中央的矩形长为4x cm，宽为3x cm，根据使四周的边树所占面积是封面面积的五分之一，得40×30－4x 3x（40×30），解出x的值，再进一步求解即可．
解：∵正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形，
设正中央的矩形长为4x cm，宽为3x cm，
根据题意，得40×30－4x 3x（40×30），
解得x＝±，
∵x＞0，
∴x，
∴上下边衬宽为（40－4x）÷2＝（40）÷2＝20（cm），
左右边衬宽为（30－3x）÷2＝（30－12）÷2＝15－6（cm），
故答案为：（20）cm，（15－6）cm．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意建立等量关系是解题的关键．
16．我国古代数学家刘徽将勾股形（古人称直角三角形为勾股形）分割成一个正方形和两对全等的三角形，如图所示，已知∠A＝90°，BD＝4，CF＝6，则正方形ADOF的边长是 ．
【思路点拔】设正方形ADOF的边长为x，在直角三角形ACB中，利用勾股定理可建立关于x的方程，解方程即可．
解：设正方形ADOF的边长为x，
由题意得：BE＝BD＝4，CE＝CF＝6，
∴BC＝BE＋CE＝BD＋CF＝10，
在Rt△ABC中，AC2＋AB2＝BC2，
即（6＋x）2＋（x＋4）2＝102，
整理得，x2＋10x－24＝0，
解得：x＝2，或x＝－12（舍去），
∴x＝2，
即正方形ADOF的边长是2；
故答案为：2．
【点评】本题考查了正方形的性质、全等三角形的性质、一元二次方程的解法、勾股定理等知识；熟练掌握正方形的性质，由勾股定理得出方程是解题的关键．
三．解答题（共8题,共72分）
17．（本题8分）一人患了流感，经过两轮传染后共有144人患了流感，假设每轮传染中每个人传染的人数相同，求每轮传染中平均一个人传染了几个人？
【思路点拔】患流感的人把病毒传染给别人，自己仍然患病，包括在总数中．设每轮传染中平均一个人传染了x个人，则第一轮传染了x个人，第二轮作为传染源的是（x＋1）人，则传染x（x＋1）人，依题意列方程：1＋x＋x（1＋x）＝144，解方程即可求解．
解：设每轮传染中平均一个人传染了x个人，依题意得1＋x＋x（1＋x）＝144，
即（1＋x）2＝144，
解方程得x1＝11，x2＝－13（舍去）．
答：平均每轮传染11个人．
【点评】考查了一元二次方程的应用，本题要注意的是，患流感的人把病毒传染给别人，自己仍然是患者，人数应该累加，这个问题和细胞分裂是不同的．
18．（本题8分）一个QQ群里有若干个好友，每个好友都分别给群里其他好友发送了一条消息，这样共有870条消息，求该群共有多少个好友．
【思路点拔】每个好友都有一次发给QQ群其他好友消息的机会，即每两个好友之间要互发一次消息；设有x个好友，每人发x－1条消息，则发消息共有x（x－1）条．
解：设这个QQ群里有x个好友，每个人发送了（x－1）条消息，
共发送了x（x－1）条消息，
由此得方程x（x－1）＝870，
解得x1＝30，x2＝－29（不合题意，舍去）．
答：该群共有30个好友．
【点评】此题考查一元二次方程的实际运用，找出题目蕴含的数量关系是解决问题的关键．
19．（本题8分）制造某电器，原来每件的成本是300元，由于技术革新，连续两次降低成本，现在的成本是192元，求平均每次降低成本的百分率．
【思路点拔】等量关系为：原来的成本×（1－降低的百分率）2＝192，把相关数值代入计算即可．
解：设平均每次降低成本的百分率为x，
300×（1－x）2＝192，
（1－x）2＝0.64
∴1－x＝±0.8
∴x＝0.2或1.8（舍弃）
∴x＝20%．
答：平均每次降低成本的百分率为20%．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程．
20．（本题8分）如图，老李想用长为70m的栅栏，再借助房屋的外墙（外墙足够长）围成一个矩形羊圈ABCD，并在边BC上留一个2m宽的门（建在EF处，另用其他材料）．
（1）当羊圈的长和宽分别为多少米时，能围成一个面积为640m2的羊圈？
（2）羊圈的面积能达到650m2吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由．
【思路点拔】（1）根据BC＝栅栏总长－2AB，再利用矩形面积公式即可求出；
（2）把S＝650代入x（72－2x）中函数解析式中，解方程，取在自变量范围内的值即可．
解：（1）设矩形ABCD的边AB＝x m，则边BC＝70－2x＋2＝（72－2x）m．
根据题意，得x（72－2x）＝640，
化简，得 x2－36x＋320＝0，
解得 x1＝16，x2＝20，
当x＝16时，72－2x＝72－32＝40（m），
当x＝20时，72－2x＝72－40＝32（m）．
答：当羊圈的长为40m，宽为16m或长为32m，宽为20m时，能围成一个面积为640m2 的羊圈；
（2）答：不能，
理由：由题意，得x（72－2x）＝650，
化简，得 x2－36x＋325＝0，
Δ＝（－36）2－4×325＝－4＜0，
∴一元二次方程没有实数根．
∴羊圈的面积不能达到 650m2．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找到周长等量关系是解决本题的关键．
21．（本题8分）随旅游旺季的到来，某景区游客人数逐月增加，2月份游客人数为1.6万人，4月份游客人数为2.5万人．
（1）求这两个月中该景区游客人数的月平均增长率；
（2）预计5月份该景区游客人数会继续增长，但增长率不会超过前两个月的月平均增长率．已知该景区5月1日至5月21日已接待游客2.25万人，则5月份后10天日均接待游客人数最多是多少万人？
【思路点拔】（1）设这两个月中该景区游客人数的月平均增长率为x，利用该景区4月份游客人数＝该景区2月份游客人数×（1＋这两个月中该景区游客人数的月平均增长率）2，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论；
（2）设5月份后10天日均接待游客人数是y万人，根据该景区5月份该景区游客人数不超过该景区4月份游客人数×（1＋25%），可列出关于y的一元一次不等式，解之取其中的最大值，即可得出结论．
解：（1）设这两个月中该景区游客人数的月平均增长率为x，
根据题意得：1.6（1＋x）2＝2.5，
解得：x1＝0.25＝25%，x2＝－2.25（不符合题意，舍去）．
答：这两个月中该景区游客人数的月平均增长率为25%；
（2）设5月份后10天日均接待游客人数是y万人，
根据题意得：2.25＋10y≤2.5×（1＋25%），
解得：y≤0.0875，
∴y的最大值为0.0875．
答：5月份后10天日均接待游客人数最多是0.0875万人．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元二次方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
22．（本题10分）如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝12cm，BC＝24cm，动点P从点A出发沿边AB向点B以2cm/s的速度移动，同时动点Q从点B出发沿边BC向点C以4cm/s的速度移动，当P运动到B点时P、Q两点同时停止运动，设运动时间为t s．
（1）BP＝ （12－2t） cm；BQ＝ 4t cm；（用t的代数式表示）
（2）D是AC的中点，连接PD、QD，t为何值时△PDQ的面积为40cm2？
【思路点拔】（1）根据速度×时间＝路程列出代数式即可；
（2）如图，过点D作DH⊥BC于H，利用三角形中位线定理求得DH的长度；然后根据题意和三角形的面积列出方程，求出方程的解即可．
解：（1）根据题意得：AP＝2t cm，BQ＝4t cm，
所以BP＝（12－2t）cm，
故答案为：（12－2t）；4t；
（2）如图，过点D作DH⊥BC于H，
∵∠B＝90°，即AB⊥BC．
∴AB∥DH．
又∵D是AC的中点，
∴BHBC＝12cm，DH是△ABC的中位线．
∴DHAB＝6cm．
根据题意，得（12－2t）（24－4t）×62t×12＝40，
整理，得t2－6t＋8＝0．
解得：t1＝2，t2＝4，
即当t＝2或4时，△PBQ的面积是40cm2．
【点评】本题主要考查了一元二次方程的应用，解题的关键是读懂题意，找到关键描述语，列出等量关系．
23．（本题10分）某水果商店销售一种进价为40元/千克的优质水果，若售价为50元/千克，则一个月可售出500千克；若售价在50元/千克的基础上每涨价1元，则月销售量就减少10千克．
（1）当售价为55元/千克时，每月销售水果多少千克？
（2）当月利润为8750元时，每千克水果售价为多少元？
【思路点拔】（1）利用月销售量＝50－10×每千克水果降低的钱数，即可求出结论；
（2）设每千克水果售价为x元，则每千克的销售利润为（x－40）元，月销售量为（1000－10x）千克，利用总利润＝每千克的销售利润×月销售量，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出结论．
解：（1）500－10×（55－50）
＝500－10×5
＝500－50
＝450（千克）．
答：每月销售水果450千克．
（2）设每千克水果售价为x元，则每千克的销售利润为（x－40）元，月销售量为500－10×（x－50）＝（1000－10x）千克，
依题意得：（x－40）（1000－10x）＝8750，
整理得：x2－140x＋4875＝0，
解得：x1＝65，x2＝75．
答：每千克水果售价为65元或75元．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用以及有理数的混合运算，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
24．（本题12分）用54m长的竹栅栏围一个矩形菜园，菜园的一边靠长为a m的墙，另三边用竹栅栏围成，且在与墙平行的一边开两扇门，宽度都是1m，设与墙垂直的一边长为x m．
（1）当a＝41时，矩形菜园面积是320m2，求x；
（2）当a足够大时，问矩形菜园的面积能否达到400m2？
（3）若矩形菜园的面积是320m2，x的值只能取一个，试写出a的取值范围．
【思路点拔】设与墙垂直的一边长为x m，则与墙平行的一边长为（54－2x＋2）m．
（1）由矩形菜园面积是320m2，可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，再结合a＝41，即可确定x的值；
（2）由矩形菜园面积是400m2，可得出关于x的一元二次方程，由根的判别式Δ＝－16＜0，即可得出该方程无实数根，进而可得出矩形菜园的面积不能达到400m2；
（3）由矩形菜园面积是320m2，可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，进而可求出（54－2x＋2）的长，结合x的值只能取一个，即可确定a的取值范围．
解：设与墙垂直的一边长为x m，则与墙平行的一边长为（54－2x＋2）m．
（1）依题意得：x（54－2x＋2）＝320，
整理得：x2－28x＋160＝0，
解得：x1＝8，x2＝20．
当x＝8时，56－2x＝40＜41，符合题意；
当x＝20时，56－2x＝16＜41，符合题意．
答：x的值为8或20．
（2）令x（54－2x＋2）＝400①，
整理得：x2－28x＋200＝0．
∵Δ＝（－28）2－4×1×200＝－16＜0，
∴方程①无实数根，
∴矩形菜园的面积不能达到400m2．
（3）令x（54－2x＋2）＝320，
整理得：x2－28x＋160＝0，
解得：x1＝8，x2＝20．
当x＝8时，56－2x＝40；
当x＝20时，56－2x＝16．
∵x的值只能取一个，
∴16≤a＜40．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用、列代数式以及根的判别式，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元二次方程；（2）牢记“当Δ＜0时，方程无实数根”；（3）找准等量关系，正确列出一元二次方程．
