阶段性训练（三）
考察内容（电场 恒定电流 磁场）
一．选择题
1．下列关于电场的叙述中正确的是（ ）
A．点电荷产生的电场中，以点电荷为圆心、r为半径的球面上，各点的场强都相同
B．沿着电场线的方向，场强越来越小
C．取走电场中某点的试探电荷后，该点的场强不变
D．电荷在电场中某点所受电场力的方向就是该点场强的方向
【解答】解：A、点电荷产生的电场中，以点电荷为圆心，r为半径的球面上，各点的场强大小都相等，方向不同，故场强不同，故A错误；
B、电场线越密集的地方场强越大，如匀强电场沿着电场线方向，场强不变，故B错误；
C、某点处的场强与试探电荷无关，只与场源电荷有关，故C正确；
D、正电荷在电场中某点所受电场力的方向就是该点场强的方向，故D错误；
故选：C。
2．如图所示是空气净化器内部结构的简化图，其中的负极针组件产生电晕，释放出大量电子，电子被空气中的氧分子捕捉，从而生成空气负离子。负离子能使空气中烟尘、病菌等微粒带电，进而使其吸附到集尘栅板上，达到净化空气的作用。下列说法正确的（ ）
A．负极针组件附近的电势较低
B．为了更有效率地吸附尘埃，集尘栅板应带负电
C．负极针组件产生电晕，利用了静电屏蔽的原理
D．烟尘吸附到集尘栅板的过程中，电势能增加
【解答】解：A．电场线由正极指向负极，负极针组件附近的电势较低，故A正确；
B．负离子能使空气中烟尘、病菌等微粒带负电，为了更有效率地吸附尘埃，集尘栅板应带正电，故B错误；
C．负极针组件产生电晕，释放出大量电子，利用了尖端放电的原理，故C错误；
D．烟尘吸附到集尘栅板的过程中，电势升高，根据Ep＝qφ，可知电势升高，带负电的烟尘电势能减少，故D错误。
故选：A。
3．如图甲所示，杭州亚运村启用一款公共座椅，该座椅安装了嵌入式无线充电器，其无线充电功能支持多种充电协议。充电器下方铭牌如图乙所示，下列说法正确的是（ ）
A．该充电器以最大输出功率输出时，输出电压为21V
B．交流供电电路中电压偶有波动，该充电器允许输入电压的峰值为240V
C．某电池容量为5000mAh，使用5V﹣3A协议充电，电池由完全耗尽到充满，大约需要1.7h
D．某电池容量为5000mAh，使用5V﹣3A协议充电，电池由完全耗尽到充满，无线充电器输出的电能为9000J
【解答】解：A、根据输出功率P＝UI可知，充电器最大输出功率为65W，对应的是“20V﹣3.25A”输出，即输出电压为20V，故A错误；
B、由图乙可知，充电器输入最大电压有效值为240V，对应峰值为UmU240V≈339.4V，故B错误；
C、根据q＝It可得电池由完全耗尽到充满，大约需要时间为，故C正确；
D、电池的容量是5000mAh，即q＝5000×10﹣3×3600C＝1.8×104C
电池由完全耗尽到充满，无线充电器输出的电能为W＝qU＝1.8×104×5J＝9×104J，故D错误。
故选：C。
4．根据欧姆定律I、串联电路总电阻R＝R1+R2+...、并联电路总电阻 ，通过逻辑推理就可以判定在材料相同的条件下，导体的电阻与长度成正比，与横截面积成反比。现在要求在这两个结论的基础上，通过实验探究导体的电阻与材料的关系。选择a、b两种不同的金属丝做实验，关于这个实验的下列哪个说法是正确的（ ）
A．所选的a、b两种金属丝的长度必须是相同的
B．所选的a、b两种金属丝的横截面积必须是相同的
C．所选的a、b两种金属丝长度和横截面积都必须是相同的
D．所选的a、b两种金属丝长度和横截面积都可以不做限制
【解答】解：由题知，通过实验探究导体的电阻与材料的关系，若已知a、b两种金属丝长度和横截面积分别为la、lb和Sa、Sb，则根据，有
由于la、lb和Sa、Sb的数据是已知的，在满足不变的条件下，则也可以从上式中找到导体的电阻与材料的关系。故ABC错误，D正确。
故选：D。
5．闭合电路内、外电阻的功率随外电路电阻变化的两条曲线如图所示，曲线A表示内电阻的功率随外电阻变化的关系图线，曲线B表示外电阻的功率随外电阻变化的关系图线。下列说法正确的是（ ）
A．电源的电动势为3V
B．电源的内阻为2.5Ω
C．曲线A的最大功率为7.2W
D．外电阻取2.5Ω时外电阻的功率是外电阻取10Ω时外电阻的功率的
【解答】解：AB．闭合电路的内电阻功率
闭合电路的外电阻功率
由图像可知，当外电阻R＝5Ω时，内、外电阻的功率相等，且均为1.8W，可得：
E＝6V，r＝5Ω，故AB错误；
C．当外电阻R＝0时，内电阻功率最大，此时
解得：P内max＝7.2W，故C正确；
D．当外电阻R1＝2.5Ω时，外电阻的功率为：
P外1＝1.6W
当外电阻R＝10Ω时，外电阻的功率
P外2＝1.6W，外电阻取2.5Ω时外电阻的功率和外电阻取10Ω时外电阻的功率相等，故D错误。
故选：C。
6．如图所示，粒子甲垂直ab边界进入垂直纸面向外的匀强磁场时发生核反应：甲→乙+丙，产生的乙和丙粒子垂直经过磁场的轨迹如图所示。已知乙和丙的电荷量大小相等，轨迹半径之比为5：3，不计重力及空气阻力，则（ ）
A．甲带正电
B．乙带负电
C．甲、乙的动量大小之比为8：5
D．乙、丙的动量大小之比为1：1
【解答】解：AB、粒子乙在磁场中顺时针偏转，粒子丙在磁场中逆时针偏转，由左手定则判断，乙带正电，丙带负电。已知乙和丙的电荷量大小相等，根据电荷守恒定律，可知甲不带电，故AB错误；
CD、粒子在磁场中做匀速圆周运动，由洛伦兹力提供向心力，可得：
qvB＝m
又有动量p＝mv
联立可得：p＝qBr
可见粒子的动量大小与圆周运动半径为正比关系，已知乙和丙的电荷量大小相等，轨迹半径之比为5：3，则乙、丙的动量大小之比为p乙：p丙＝5：3。
粒子甲发生核反应的过程满足动量守恒定律，以甲的运动方向为正方向，则有：
p甲＝p乙+p丙，可得甲、乙的动量大小之比为8：5，故C正确，D错误。
故选：C。
7．新冠肺炎疫情持续期间，医院需要用到血液流量计检查患者身体情况。某种电磁血液流量计的原理可简化为如图所示模型。血液内含有少量正、负离子，从直径为d的血管右侧流入，左侧流出，空间有垂直纸面向里、磁感应强度大小为B的匀强磁场，M、N两点之间的电压稳定时测量值为U，流量Q等于单位时间通过横截面的液体的体积。下列说法正确的是（ ）
A．离子所受洛伦兹力方向一定竖直向下
B．M点的电势一定高于N点的电势
C．血液流量
D．电压稳定时，正、负离子不再受洛伦兹力
【解答】解：AB、根据左手定则可知，正离子受到的洛伦兹力方向竖直向下，负离子受到的洛伦兹力方向竖直向上，所以M点的电势一定低于N点的电势，故AB错误；
CD、当电压稳定时，离子受到的电场力和洛伦兹力相等，则
流量的计算公式为：
Q＝vS
联立解得：，故C正确，D错误；
故选：C。
8．如图所示为一种改进后的回旋加速器示意图，在两D形盒左边的缝隙间放置一对中心开有小孔a、b的平行金属板M、N，每当带正电的粒子从a孔进入时，立即在两板间加上恒定电压，粒子经加速后从b孔射出时，立即撤去电压。粒子进入D形盒中的匀强磁场后做匀速圆周运动。已知D形盒的缝隙间无磁场，不考虑相对论效应，则下列说法正确的是（ ）
A．磁场方向垂直纸面向外
B．粒子运动的周期不断变大
C．粒子每运动一周直径的增加量越来越小
D．增大板间电压，粒子最终获得的最大动能变大
【解答】解：A、带正电粒子从a孔进入磁场后受到的洛伦兹力向右，由左手定则判断可知，D形盒中的磁场方向垂直纸面向里，故A错误；
B、根据洛伦兹力提供向心力得，粒子运动的周期T，粒子运动的周期不变，故B错误；
C、粒子第n次加速后，根据动能定理可得nqUmv2，解得，粒子在磁场中运动的半径r，粒子每运动一周直径的增加量Δd（）随转动周数的增加，粒子每运动一周直径的增加量越来越小，故C正确；
D、当粒子从D形盒中出来时，速度最大，根据r，可知最大动能Ek（式中R为D形盒的半径），由此可知，粒子获得的最大动能与加速电压无关，所以增大两板间电压，粒子最终获得的最大动能不变，故D错误。
故选：C。
9．如图所示，实线表示象鼻鱼周围的电场线分布，A、B、C三点均为电场中的点，下列说法正确的是（ ）
A．B点的电势低于C点
B．B点与C点的电场强度可能相同
C．电子从A点移到C点电势能增大
D．电子在A点所受电场力大于B点
【解答】解：A．根据沿电场线方向电势逐渐降低，由图，B点的电势高于C点，故A错误；
B．电场线的切线方向表示电场方向，由图，B点与C点的电场强度方向一定不同，电场强度是矢量，则电场强度一定不同，故B错误；
C．根据沿电场线方向电势逐渐降低，由图，A点的电势高于C点，由电势能Ep＝φq可知，电子在A点的电势能小于在C点的电势能，则电子从A点移到C点电势能增大，故C正确；
D．电场线越密电场强度越大，由图，A点的电场强度小于B点的电场强度，则电子在A点所受电场力小于B点，故D错误。
故选：C。
10．某平面区域内A、B两点处各固定一个点电荷，其静电场的等势线分布如图中虚线所示，一正电荷仅在电场力作用下由a运动至b，设该电荷在a、b两点的加速度大小分别为aa、ab，电势分别为φa、φb，该电荷在a、b两点的速度分别为va、vb，电势能分别为Epa、Epb，则（ ）
A．A、B两点处的电荷带同种电荷
B．aa＞ab
C．φa＞φb、Epa＞Epb
D．va＞vb
【解答】解：A.设运动轨迹与等势面的交点C处，电场线与等势面垂直，物体做曲线运动合外力指向轨迹凹侧，所以电荷在C点所受电场力水平向左，又因带正电，所以C点的电场线水平向左，从而判断出电场线指向左侧，故A点为负电荷，B点带正电荷，为异种电荷，故A错误；
B.等势面的疏密反映电场强度的大小，所以Ea＜Eb，aa＜ab，故B错误；
C.沿电场线方向电势降低，φb＞φa，故C错误；
D.正电荷在电势高的地方电势能大，所以在b点的电势能大于在a点的电势能，则Epa＜Epb，根据能量守恒定律，电势能大的地方，动能小，所以va＞vb，故D正确。
故选：D。
11．如图甲所示，虚线为xOy平面内以坐标原点O为圆心的圆，在其与y轴负半轴的交点处固定一正点电荷1，圆上还有一点电荷2，其位置与O的连线与x轴正方向的夹角为θ，在θ从0逐渐变为π的过程中，坐标原点O的电场强度的x分量Ex和y分量Ey随角度θ变化的图象分别如图乙和图丙所示，则下列说法中正确的是（ ）
A．点电荷2带正电
B．电荷1和电荷2的电量绝对值之比为1：2
C．O点场强的大小先减小再增大
D．O点的电势先升高再降低
【解答】解：A.由图可知，原点O在y方向的电场强度在0不断变大，电荷1在O点产生的场强不变，所以电荷2在O点产生的场强沿y轴向上，所以电荷2带负电，故A错误；
B.由图可知，在θ＝0°时，电荷1在O点产生的场强方向沿y轴向上，电荷2在O点产生的场强方向沿x轴正方向，两者大小之比为1×10﹣8V：2×10﹣8V＝1：2，两者与O点距离相等，根据点电荷电场公式，r相等，所以电荷1与电荷2的电量绝对值之比为1：2，故B正确；
C.合场强的计算公式为：，当θ＝0°和θ＝π时，O点的场强相等，大小为：E，而在θ时，合场强：E＝0+3×10﹣8V＝3×10﹣8V，大于，所以O点场强的大小不可能先减小再增大，故C错误；
D.由于电荷1和电荷2距离O点的距离始终不变，又因为电势是标量，所以O点的电势始终不变，故D错误。
故选：B。
12．如图所示的电路中，电源的电动势E＝12V，内阻不计，电阻R1＝10Ω，R2＝20Ω，滑动变阻器的最大阻值R＝30Ω，电容器MN的电容C＝12μF，现将滑动触头L置于最左端a点，合上开关S，经过一段时间电路处于稳定，此时一带电油滴恰好静止在MN之间的P点，下列说法正确的是（ ）
A．油滴带负电
B．若断开开关S，则通过R1的电荷量为4×10﹣5C
C．若滑动触头L向右滑动，则油滴将向上加速运动
D．若从a点向右移动滑动触头L，至aL间电阻为20Ω时，则下极板N的电势降低了4V
【解答】解：A、滑动变阻器的滑动触头置于最左端a点，电容器的下极板N与电源正极相连，则N板电势高于M板，两板间的电场方向竖直向上，油滴恰好静止在MN之间，根据平衡条件，可知其受到的电场力竖直向上，与电场方向相同，故油滴带正电，故A错误；
B、开关闭合时，电容器两端的电压等于电阻R1两端电压，根据串并联电路的性质可得电容器两端的电压为：
，解得：U1＝4V
电容器所带的电量为：
S断开后电容器通过两个支路放电，一个是电阻R1所在的支路，另一个是电阻R2和滑动变阻器R的串联支路，根据并联电路的电流关系可知，两支路的电阻之比为10：（20+30）＝1：5，则电流之比为5：1。可知通过R1的电量为，解得：Q1＝4×10﹣5C，故B正确；
C、若滑动触头向右滑动，电容器两板间电压先减少后增大，下极板N先带正电后带负电，根据E，可知两板间的电场强度先竖直向上减小，后竖直向下增大，油滴受到的电场力先竖直向上减小，后始终向下增大，电场力始终不大于重力，油滴所受合力始终竖直向下，则油滴将向下加速运动，故C错误；
D、滑动触头在a点时，N板电势为：φa＝U1＝4V
a、L间电阻为20Ω时，a到L的电势差为：
解得：φL＝﹣4V，即此时N板电势为﹣4V，故下极板N的电势由4V变为了﹣4V，降低了8V，故D错误。
故选：B。
二．多选题
13．纸面内存在沿某方向的匀强电场，在电场中取O点为坐标原点建立x轴，以O点为圆心、以R为半径作圆，从x轴上的a点开始沿逆时针方向将圆四等分，a、b、c、d是圆周上的4个等分点，实线ef为一带电粒子在电场中从e点运动到f点的运动轨迹，如图（a）所示；测量出圆上各点的电势φ、半径同x轴正方向的夹角θ，描绘出φ﹣θ图像如图（b）所示，下列说法正确的是（ ）
A．粒子带负电
B．粒子从e点运动到f点的过程中电势能逐渐增大
C．O点的电势为
D．电场强度的大小为
【解答】解：A、根据图（b）可知，圆周上电势最高点和最低点所在直径与x轴夹角为，设圆周上电势最高点为m，圆周上电势最低点为n，则mn直径方向为电场线方向，实线ef为一带电粒子在电场中从e点运动到f点的运动轨迹，粒子受力方向与电场方向一致，带正电，故A错误；
B、粒子受力方向与电场方向一致，粒子从e点运动到f点的过程中电场力做正功，电势能逐渐减小，故B错误；
C、O点的电势为，故C正确；
D、电场强度的大小为E，故D正确。
故选：CD。
14．风力发电已成为我国实现“双碳”目标的重要途径之一。如图所示，风力发电机是一种将风能转化为电能的装置。某风力发电机在风速为9m/s时，输出电功率为405kW，风速在5～10m/s范围内，转化效率可视为不变。该风机叶片旋转一周扫过的面积为A，空气密度为ρ，风场风速为v，并保持风正面吹向叶片。下列说法正确的是（ ）
A．该风力发电机的输出电功率与风速成正比
B．单位时间流过面积A的流动空气动能为
C．若每天平均有1.0×108kW的风能资源，则每天发电量为2.4×109kW h
D．若风场每年有5000 h风速在6～10m/s范围内，则该发电机年发电量至少为6.0×105kW h
【解答】解：AB、单位时间内流过面积A的流动空气体积：V0＝A vt＝Av
单位时间流过面积A的流动空气质量：m0＝ρV0＝ρAv
单位时间流过面积A的流动空气动能：Ek＝ρStv3
设转化效率为η，转化成的电能为：E＝η Ek＝ηρStv3
该风力发电机的输出电功率P＝ηρSv3，则该风力发电机的输出电功率与风速的三次方成正比，故A错误，B正确；
C、由于风力发电存在转化效率，若每天平均有1.0×108kW的风能资源，则每天发电量约为W＝η Pt＝η×1.0×108kW×24h＝2.4η×109kW h＜2.4×109kW h，故C错误；
D、若风场每年有5000h风速在6～10m/s的风能资源，当风速取最小值6m/s时，该发电机年发电量具有最小值，根据题意，风速为9m/s时，输出电功率为405kW，风速在5﹣10m/s范围内，转化效率可视为不变，可知风速为6m/s时，输出电功率为
P＝63kW＝120kW
则该发电机年发电量：E′＝P1 t＝120kW×5000h＝6.0×105kW h，故D正确；
故选：BD。
15．在地面上方空间存在方向垂直纸面向外、磁感应强度大小为B的水平方向匀强磁场，与竖直方向的匀强电场（图中未画出），一电荷量为+q、质量m的带电粒子（重力不计），以水平初速度v0水平向右射出，运动轨迹如图。已知电场强度大小为，重力加速度为g。下列说法正确的是（ ）
A．电场方向竖直向上
B．带电粒子运动到轨迹的最低点时的速度大小为2v0
C．带电粒子水平射出时的加速度大小为
D．带电粒子在竖直面内运动轨迹的最高点与最低点的高度差为
【解答】解：A．将带电粒子的初速度分解为水平向左和水平向右两个速度，粒子运动可看成水平方向的匀速直线运动和匀速圆周运动的合运动；由运动轨迹可知，最低点偏转半径最大，最高点偏转半径最小，则最低点向心力较小，最高点向心力较大，最高、低点的向心力由洛伦兹力和电场力合力提供，故带电粒子受竖直向下的电场力，则电场方向竖直向下，故A错误；
B．设水平向左速度大小
水平向右速度大小
的分速度，由于
（与电场力平衡）
则带电粒子的运动可以看成是以速率v1向左的匀速直线运动和以速率v2的匀速圆周运动的合运动，小球在运动轨迹的最低点时v2的方向水平向左，合速度大小
v＝v1+v2
解得
v＝2v0
故B正确；
C．由牛顿第二定律可得带电粒子水平射出时的加速度大小为
故C错误；
D．由于洛伦兹力不做功，带电粒子从运动轨迹的最高点运动到最低点的过程有
又有
v＝2v0
解得
故D正确。
故选：BD。
三．实验题
16．用图甲所示装置测量磁场的滋感应强度和某导电液体（有大量的正、负离子）的电阻率。水平管道长为l、宽度为d、高为h，置于竖直向上的匀强磁场中。管道上下两面是绝缘板，前后两侧面M、N是电阻可忽略的导体板，两导体板与开关S、电阻箱R、灵敏电流表G（内阻为Rg）连接。管道内始终充满导电液体，液体以恒定速度v自左向右通过。闭合开关S，调节电阻箱的取值，记下相应的电流表读数。
（1）与N板相连接的是电流表G的 极（填“正”或“负”）。
（2）将实验中每次电阻箱接入电路的阻值R与相应的电流表读数I绘制出图象为图乙所示的倾斜直线，其延长线与两轴的交点坐标分别为（﹣a，0）和（0，b），则磁场的磁感应强度为 ，导电液体的电阻率为 。
【解答】解：（1）导电液体（有大量的正、负离子）自左向右通过，用左手定则判断出，正离子受洛伦兹力向外，集中在M板，负离子受洛伦兹力向内，集中在N板，
因此，与N板相连接的是电流表G的负极。
（2）根据闭合电路欧姆定律可得：E＝I（R+Rg+r），其中：E＝Bdv，r，
代入可得标准方程为：（）R，由图乙可得：斜率为k，截距为b，
结合上边方程，可解得：磁场的磁感应强度为B，导电液体的电阻率为ρ。
故答案为：（1）负极； （2），。
17．某实验探究小组设计了如图（a）所示的电路测电源电动势E和内阻r，并测出定值电阻R1的阻值。实验器材有：待测电源E（内阻为r），待测电阻R1，电压表V（量程为1.5V，内阻很大），电阻箱R（0～99.99Ω），开关S1，单刀双掷开关S2，导线若干。
（1）为测试电路，闭合开关S1后，将开关S2先后分别与触点a、触点b接通，电压表有示数但无变化，则故障可能是 。
A.电阻R1短路
B.电阻R1断路
C.电阻箱R短路
D.电阻箱R断路
（2）排除故障后，先测R1的阻值，闭合开关S1，将开关S2切换到触点a，读出电阻箱的示数、电压表的示数分别为R0、U0，保持电阻箱的示数不变， （补全此处的操作），读出电压表的示数为U1，则定值电阻 R1＝ Ω。
（3）测得R1＝4.8Ω后，将开关S2掷于触点a，继续测电源的电动势和内阻，作出了图像如图（b）所示，则电源的电动势E＝ V，内阻r＝ Ω。（结果均保留三位有效数字）
【解答】解：（1）闭合开关S1后，将开关S2，先后分别与触点a、触点b接通，电压表有示数但无变化，可能是电阻R1短路或R断路，故AD正确，BC错误；
故选AD。
（2）保持电阻箱示数不变，将S2切换到b读出电压表的示数U1。
根据欧姆定律，电阻箱的电流I，R1的电压为U1﹣U0，所以可求
R1
（3）根据闭合电路的欧姆定律
E＝U（R1+r）
整理得
所以图象与纵轴的截距
0.7V﹣1
可得电动势
E＝1.43V
斜率
kΩ/V＝4.2Ω/V
解得内阻
r＝1.20Ω
故答案为：（1）AD；（2）将S2切换到b读出电压表的示数U1；；（3）1.43；1.20
四．解答题
18．万有引力和库仑力有类似的规律，有很多可以类比的地方．已知引力常量为G，静电力常量为k．
（1）用定义静电场强度的方法来定义与质量为M的质点相距r处的引力场强度EG的表达式；
（2）质量为m、电荷量为e的电子在库仑力的作用下以速度v绕原子核做匀速圆周运动，该模型与太阳系内行星绕太阳运转相似，被称为“行星模型”，如图（1）．已知在一段时间内，电子走过的弧长为s，其速度方向改变的角度为θ（弧度）．不考虑电子之间的相互作用，求出原子核的电荷量Q；
（3）如图（2），用一根长为L的绝缘细线悬挂一个可看成质点的金属小球，质量为m，电荷量为﹣q．悬点下方固定一个足够大的水平放置的均匀带正电的介质平板．小球在竖直平面内做小角度振动．已知重力加速度为g，不计空气阻力．
a．已知忽略边缘效应的情况下，带电平板所产生的静电场的电场线都垂直于平板，静电场的电场力做功与路径无关．请证明：带电平板所产生的静电场是匀强电场；
b．在上述带电平板附近所产生的静电场场强大小为E，求：金属小球的振动周期．
【解答】解：（1）根据电场强度的定义式，那么质量为M的质点相距r处的引力强度EG的表达式：，即
（2）根据牛顿第二定律，依据库仑力提供向心力，则有
由几何关系，得
解得：
（3）a．反证法
法1：如图，若存在，则可以引入试探电荷+q，让+q从a点沿矩形路线abcda（ab与电场线平行，bc边与电场线垂直）运动一周回到a点．设ab处的场强大小为E1，cd处的场强大小为E2，根据功的定义，电场力做的总功Waa＝Wab+Wbc+Wcd+Wda＝qE1xab+Wbc+Wcd+Wda
其中，Wab＝qE1xab，Wcd＝﹣qE2xbc＝﹣qE2xab，bc段和da段电场力始终与运动方向垂直，故Wbc＝Wda＝0，
得Waa＝Wab+Wbc+Wcd+Wda＝qE1xab+0+0﹣qE2xab＝q（E1﹣E2）xab＜0
但根据电场力做功的特点，做功与路径无关，故Waa＝0，
上述假设矛盾，故不存在电场线平行但不等间距的静电场．
法2：如图，若存在，则可以引入试探电荷+q，让+q从a点分别沿矩形abcd（ab与电场线平行，bc边与电场线垂直）的abc和adc运动到c点．设ab处的场强大小为E1，cd处的场强大小为E2，根据功的定义，路径abc和adc电场力做的功分别为
Wabc＝Wab+Wbc，Wadc＝Wcd+Wda
其中，Wab＝qE1xab，Wcd＝﹣qE2xbc＝﹣qE2xab，bc段和da段电场力始终与运动方向垂直，故Wbc＝Wda＝0，
得Wabc＝Wab+Wbc＝qE1xab+0，Wadc＝Wcd+Wda＝0﹣qE2xab
故Wabc≠Wadc
但根据电场力做功的特点，做功与路径无关，故Wabc＝Wadc，
上述假设矛盾，故不存在电场线平行但不等间距的静电场．
b．电场力：F电＝qE，
等效重力加速度：
小球在库仑力作用下的振动周期：
答：（1）用定义静电场强度的方法来定义与质量为M的质点相距r处的引力场强度EG的表达式为；
（2）原子核的电荷量Q为；
（3）a．证明：带电平板所产生的静电场是匀强电场（上面已证）；
b．金属小球的振动周期．
19．在现代科学实验和技术设备中，常常利用电场来改变或控制带电粒子的运动。某加速装置由多个横截面积相同的金属圆筒依次排列，其中心轴线在同一直线上，序号为奇数的圆筒和交变电源的一个极相连，序号为偶数的圆筒和电源的另一个极相连。交变电源两极间电势差的变化规律如图乙所示。在t＝0时，奇数圆筒相对偶数圆筒的电势差为正值，此时位于和偶数圆筒相连的金属圆板（序号为0）中央的一个电子，在圆板和圆筒1之间的电场中由静止开始加速，沿中心轴线冲进圆筒1。为使尽可能的保证电子运动到筒间隙中都能加速，电子在每个桶内的运动时间为，因此圆筒长度的设计必须遵照一定的规律。若已知电子的质量为m、电子电荷量为﹣e、电压的绝对值为u，周期为T。求：
（1）若忽略电子通过每个圆筒间隙的加速时间，求：
a．电子在圆筒1中运动的速率v1和圆筒3的长度l3；
b．请在如图丙中定性画出0﹣2.5T内电子运动的v﹣t图并标明纵坐标数值。（其中v1表示电子在筒1中运动的速率）
（2）若电子通过圆筒间隙的时间不可忽略，且圆筒间距为d，不考虑相对论效应，则在保持圆筒长度、交变电压的变化规律保持和（1）完全相同的情况下，经过多少个圆筒可以让电子达到最大速度？
【解答】解：（1）a.电子在进入圆筒1之前做加速运动，根据动能定理得：
解得电子在圆筒1中运动的速率为：
电子在进入圆筒3之前，根据动能定理得：
解得电子在圆筒3中运动的速率为：
电子在圆筒3中做匀速直线运动，则有：
解得：
b.综上所述，可知电子在第n个圆筒中的速度大小是第1个圆筒中的速度大小的倍，画出0﹣2.5T内电子运动的v﹣t图如下图所示：
（2）由于保持圆筒长度、交变电压的变化规律和（2）中相同，考虑电子在间隙中的加速时间，粒子进入每级圆筒的时间都要比（2）中对应的时间延后一些，如果延后累计时间（即在电场中加速的总时间）等于，则电子再次进入电场时将开始减速，此时的速度就是装置能够加速的最大速度。由于两圆筒间隙的电场为匀强电场，间距均为d，电子在电场中后一个加速过程可以看为前一加速过程的延续部分，即可以将所有的加速过程连接起来看作一个连续的匀加速过程，令经过N次加速，即经过N个圆筒达到最大速度vm，则有：
根据动能定理得：
解得：
答：（1）a．电子在圆筒1中运动的速率v1为，圆筒3的长度l3为；
b．见解答；
（2）经过个圆筒可以让电子达到最大速度。
20．如图，粒子源发射质量为m、电荷量为q的正离子，经加速后以速度v沿水平方向进入速度选择器、磁分析器和电场偏转系统最后打在xOy平面上。速度选择器为四分之一圆环的辐向电场，方向指向O'，沿中轴线上的两端M和N中心位置处各有一个小孔，圆环内外半径分别为L和3L。离子从M孔穿出后进入磁分析器，磁分析器也是一样的四分之一圆环，其圆心和电场圆心O′重叠，内部分布垂直纸面向内的匀强磁场，离子经磁场偏转后从PQ出口（包含P、Q两点）离开。之后进入电场偏转区，此处分布有垂直纸面向外的匀强电场，电场强度与速度选择器中心轴线处大小相等，离子经匀强电场偏转后打在xOy平面上，xOy平面距PQ距离为2L，其中圆环中轴线刚好正对O点。不计离子重力。求：
（1）电场偏转区场强E的大小；
（2）要保证离子能顺利通过磁分析器，磁感应强度B的大小取值范围；
（3）若磁分析器中的磁场强度，通过计算用（x，y）表示离子落在xOy平面上的坐标。
【解答】解：（1）根据牛顿第二定律有
解得
（2）如图所示
当离子从P点飞出时，设离子的运动半径为 R1，根据几何关系有
解得
根据牛顿第二定律有
解得
当离子从Q点飞出时，设离子的运动半径为 R2
根据几何关系有
解得
根据牛顿第二定律有
解得
则磁感应强度B的取值范围是
（3）离子从Q点飞出时速度方向与水平方向的夹角θ 的余弦值为
离子在电场力的作用下沿x方向做匀加速直线运动，加速度大小为
离子从Q点到xOy平面的运动时间为
根据运动学规律可得
根据几何关系可得
所以离子落在xOy平面上的坐标为
答：（1）电场偏转区场强E的大小为 ；
（2）磁感应强度B的取值范围是 ；
（3）离子落在xOy平面上的坐标为 。
阶段性训练（三）
考察内容（电场 恒定电流 磁场）
一．选择题
1．下列关于电场的叙述中正确的是（ ）
A．点电荷产生的电场中，以点电荷为圆心、r为半径的球面上，各点的场强都相同
B．沿着电场线的方向，场强越来越小
C．取走电场中某点的试探电荷后，该点的场强不变
D．电荷在电场中某点所受电场力的方向就是该点场强的方向
2．如图所示是空气净化器内部结构的简化图，其中的负极针组件产生电晕，释放出大量电子，电子被空气中的氧分子捕捉，从而生成空气负离子。负离子能使空气中烟尘、病菌等微粒带电，进而使其吸附到集尘栅板上，达到净化空气的作用。下列说法正确的（ ）
A．负极针组件附近的电势较低
B．为了更有效率地吸附尘埃，集尘栅板应带负电
C．负极针组件产生电晕，利用了静电屏蔽的原理
D．烟尘吸附到集尘栅板的过程中，电势能增加
3．如图甲所示，杭州亚运村启用一款公共座椅，该座椅安装了嵌入式无线充电器，其无线充电功能支持多种充电协议。充电器下方铭牌如图乙所示，下列说法正确的是（ ）
A．该充电器以最大输出功率输出时，输出电压为21V
B．交流供电电路中电压偶有波动，该充电器允许输入电压的峰值为240V
C．某电池容量为5000mAh，使用5V﹣3A协议充电，电池由完全耗尽到充满，大约需要1.7h
D．某电池容量为5000mAh，使用5V﹣3A协议充电，电池由完全耗尽到充满，无线充电器输出的电能为9000J
4．根据欧姆定律I、串联电路总电阻R＝R1+R2+...、并联电路总电阻 ，通过逻辑推理就可以判定在材料相同的条件下，导体的电阻与长度成正比，与横截面积成反比。现在要求在这两个结论的基础上，通过实验探究导体的电阻与材料的关系。选择a、b两种不同的金属丝做实验，关于这个实验的下列哪个说法是正确的（ ）
A．所选的a、b两种金属丝的长度必须是相同的
B．所选的a、b两种金属丝的横截面积必须是相同的
C．所选的a、b两种金属丝长度和横截面积都必须是相同的
D．所选的a、b两种金属丝长度和横截面积都可以不做限制
5．闭合电路内、外电阻的功率随外电路电阻变化的两条曲线如图所示，曲线A表示内电阻的功率随外电阻变化的关系图线，曲线B表示外电阻的功率随外电阻变化的关系图线。下列说法正确的是（ ）
A．电源的电动势为3V
B．电源的内阻为2.5Ω
C．曲线A的最大功率为7.2W
D．外电阻取2.5Ω时外电阻的功率是外电阻取10Ω时外电阻的功率的
6．如图所示，粒子甲垂直ab边界进入垂直纸面向外的匀强磁场时发生核反应：甲→乙+丙，产生的乙和丙粒子垂直经过磁场的轨迹如图所示。已知乙和丙的电荷量大小相等，轨迹半径之比为5：3，不计重力及空气阻力，则（ ）
A．甲带正电
B．乙带负电
C．甲、乙的动量大小之比为8：5
D．乙、丙的动量大小之比为1：1
7．新冠肺炎疫情持续期间，医院需要用到血液流量计检查患者身体情况。某种电磁血液流量计的原理可简化为如图所示模型。血液内含有少量正、负离子，从直径为d的血管右侧流入，左侧流出，空间有垂直纸面向里、磁感应强度大小为B的匀强磁场，M、N两点之间的电压稳定时测量值为U，流量Q等于单位时间通过横截面的液体的体积。下列说法正确的是（ ）
A．离子所受洛伦兹力方向一定竖直向下
B．M点的电势一定高于N点的电势
C．血液流量
D．电压稳定时，正、负离子不再受洛伦兹力
8．如图所示为一种改进后的回旋加速器示意图，在两D形盒左边的缝隙间放置一对中心开有小孔a、b的平行金属板M、N，每当带正电的粒子从a孔进入时，立即在两板间加上恒定电压，粒子经加速后从b孔射出时，立即撤去电压。粒子进入D形盒中的匀强磁场后做匀速圆周运动。已知D形盒的缝隙间无磁场，不考虑相对论效应，则下列说法正确的是（ ）
A．磁场方向垂直纸面向外
B．粒子运动的周期不断变大
C．粒子每运动一周直径的增加量越来越小
D．增大板间电压，粒子最终获得的最大动能变大
9．如图所示，实线表示象鼻鱼周围的电场线分布，A、B、C三点均为电场中的点，下列说法正确的是（ ）
A．B点的电势低于C点
B．B点与C点的电场强度可能相同
C．电子从A点移到C点电势能增大
D．电子在A点所受电场力大于B点
10．某平面区域内A、B两点处各固定一个点电荷，其静电场的等势线分布如图中虚线所示，一正电荷仅在电场力作用下由a运动至b，设该电荷在a、b两点的加速度大小分别为aa、ab，电势分别为φa、φb，该电荷在a、b两点的速度分别为va、vb，电势能分别为Epa、Epb，则（ ）
A．A、B两点处的电荷带同种电荷
B．aa＞ab
C．φa＞φb、Epa＞Epb
D．va＞vb
11．如图甲所示，虚线为xOy平面内以坐标原点O为圆心的圆，在其与y轴负半轴的交点处固定一正点电荷1，圆上还有一点电荷2，其位置与O的连线与x轴正方向的夹角为θ，在θ从0逐渐变为π的过程中，坐标原点O的电场强度的x分量Ex和y分量Ey随角度θ变化的图象分别如图乙和图丙所示，则下列说法中正确的是（ ）
A．点电荷2带正电
B．电荷1和电荷2的电量绝对值之比为1：2
C．O点场强的大小先减小再增大
D．O点的电势先升高再降低
12．如图所示的电路中，电源的电动势E＝12V，内阻不计，电阻R1＝10Ω，R2＝20Ω，滑动变阻器的最大阻值R＝30Ω，电容器MN的电容C＝12μF，现将滑动触头L置于最左端a点，合上开关S，经过一段时间电路处于稳定，此时一带电油滴恰好静止在MN之间的P点，下列说法正确的是（ ）
A．油滴带负电
B．若断开开关S，则通过R1的电荷量为4×10﹣5C
C．若滑动触头L向右滑动，则油滴将向上加速运动
D．若从a点向右移动滑动触头L，至aL间电阻为20Ω时，则下极板N的电势降低了4V
二．多选题
13．纸面内存在沿某方向的匀强电场，在电场中取O点为坐标原点建立x轴，以O点为圆心、以R为半径作圆，从x轴上的a点开始沿逆时针方向将圆四等分，a、b、c、d是圆周上的4个等分点，实线ef为一带电粒子在电场中从e点运动到f点的运动轨迹，如图（a）所示；测量出圆上各点的电势φ、半径同x轴正方向的夹角θ，描绘出φ﹣θ图像如图（b）所示，下列说法正确的是（ ）
A．粒子带负电
B．粒子从e点运动到f点的过程中电势能逐渐增大
C．O点的电势为
D．电场强度的大小为
14．风力发电已成为我国实现“双碳”目标的重要途径之一。如图所示，风力发电机是一种将风能转化为电能的装置。某风力发电机在风速为9m/s时，输出电功率为405kW，风速在5～10m/s范围内，转化效率可视为不变。该风机叶片旋转一周扫过的面积为A，空气密度为ρ，风场风速为v，并保持风正面吹向叶片。下列说法正确的是（ ）
A．该风力发电机的输出电功率与风速成正比
B．单位时间流过面积A的流动空气动能为
C．若每天平均有1.0×108kW的风能资源，则每天发电量为2.4×109kW h
D．若风场每年有5000 h风速在6～10m/s范围内，则该发电机年发电量至少为6.0×105kW h
15．在地面上方空间存在方向垂直纸面向外、磁感应强度大小为B的水平方向匀强磁场，与竖直方向的匀强电场（图中未画出），一电荷量为+q、质量m的带电粒子（重力不计），以水平初速度v0水平向右射出，运动轨迹如图。已知电场强度大小为，重力加速度为g。下列说法正确的是（ ）
A．电场方向竖直向上
B．带电粒子运动到轨迹的最低点时的速度大小为2v0
C．带电粒子水平射出时的加速度大小为
D．带电粒子在竖直面内运动轨迹的最高点与最低点的高度差为
三．实验题
16．用图甲所示装置测量磁场的滋感应强度和某导电液体（有大量的正、负离子）的电阻率。水平管道长为l、宽度为d、高为h，置于竖直向上的匀强磁场中。管道上下两面是绝缘板，前后两侧面M、N是电阻可忽略的导体板，两导体板与开关S、电阻箱R、灵敏电流表G（内阻为Rg）连接。管道内始终充满导电液体，液体以恒定速度v自左向右通过。闭合开关S，调节电阻箱的取值，记下相应的电流表读数。
（1）与N板相连接的是电流表G的 极（填“正”或“负”）。
（2）将实验中每次电阻箱接入电路的阻值R与相应的电流表读数I绘制出图象为图乙所示的倾斜直线，其延长线与两轴的交点坐标分别为（﹣a，0）和（0，b），则磁场的磁感应强度为 ，导电液体的电阻率为 。
17．某实验探究小组设计了如图（a）所示的电路测电源电动势E和内阻r，并测出定值电阻R1的阻值。实验器材有：待测电源E（内阻为r），待测电阻R1，电压表V（量程为1.5V，内阻很大），电阻箱R（0～99.99Ω），开关S1，单刀双掷开关S2，导线若干。
（1）为测试电路，闭合开关S1后，将开关S2先后分别与触点a、触点b接通，电压表有示数但无变化，则故障可能是 。
A.电阻R1短路
B.电阻R1断路
C.电阻箱R短路
D.电阻箱R断路
（2）排除故障后，先测R1的阻值，闭合开关S1，将开关S2切换到触点a，读出电阻箱的示数、电压表的示数分别为R0、U0，保持电阻箱的示数不变， （补全此处的操作），读出电压表的示数为U1，则定值电阻 R1＝ Ω。
（3）测得R1＝4.8Ω后，将开关S2掷于触点a，继续测电源的电动势和内阻，作出了图像如图（b）所示，则电源的电动势E＝ V，内阻r＝ Ω。（结果均保留三位有效数字）
四．解答题
18．万有引力和库仑力有类似的规律，有很多可以类比的地方．已知引力常量为G，静电力常量为k．
（1）用定义静电场强度的方法来定义与质量为M的质点相距r处的引力场强度EG的表达式；
（2）质量为m、电荷量为e的电子在库仑力的作用下以速度v绕原子核做匀速圆周运动，该模型与太阳系内行星绕太阳运转相似，被称为“行星模型”，如图（1）．已知在一段时间内，电子走过的弧长为s，其速度方向改变的角度为θ（弧度）．不考虑电子之间的相互作用，求出原子核的电荷量Q；
（3）如图（2），用一根长为L的绝缘细线悬挂一个可看成质点的金属小球，质量为m，电荷量为﹣q．悬点下方固定一个足够大的水平放置的均匀带正电的介质平板．小球在竖直平面内做小角度振动．已知重力加速度为g，不计空气阻力．
a．已知忽略边缘效应的情况下，带电平板所产生的静电场的电场线都垂直于平板，静电场的电场力做功与路径无关．请证明：带电平板所产生的静电场是匀强电场；
b．在上述带电平板附近所产生的静电场场强大小为E，求：金属小球的振动周期．
19．在现代科学实验和技术设备中，常常利用电场来改变或控制带电粒子的运动。某加速装置由多个横截面积相同的金属圆筒依次排列，其中心轴线在同一直线上，序号为奇数的圆筒和交变电源的一个极相连，序号为偶数的圆筒和电源的另一个极相连。交变电源两极间电势差的变化规律如图乙所示。在t＝0时，奇数圆筒相对偶数圆筒的电势差为正值，此时位于和偶数圆筒相连的金属圆板（序号为0）中央的一个电子，在圆板和圆筒1之间的电场中由静止开始加速，沿中心轴线冲进圆筒1。为使尽可能的保证电子运动到筒间隙中都能加速，电子在每个桶内的运动时间为，因此圆筒长度的设计必须遵照一定的规律。若已知电子的质量为m、电子电荷量为﹣e、电压的绝对值为u，周期为T。求：
（1）若忽略电子通过每个圆筒间隙的加速时间，求：
a．电子在圆筒1中运动的速率v1和圆筒3的长度l3；
b．请在如图丙中定性画出0﹣2.5T内电子运动的v﹣t图并标明纵坐标数值。（其中v1表示电子在筒1中运动的速率）
（2）若电子通过圆筒间隙的时间不可忽略，且圆筒间距为d，不考虑相对论效应，则在保持圆筒长度、交变电压的变化规律保持和（1）完全相同的情况下，经过多少个圆筒可以让电子达到最大速度？
20．如图，粒子源发射质量为m、电荷量为q的正离子，经加速后以速度v沿水平方向进入速度选择器、磁分析器和电场偏转系统最后打在xOy平面上。速度选择器为四分之一圆环的辐向电场，方向指向O'，沿中轴线上的两端M和N中心位置处各有一个小孔，圆环内外半径分别为L和3L。离子从M孔穿出后进入磁分析器，磁分析器也是一样的四分之一圆环，其圆心和电场圆心O′重叠，内部分布垂直纸面向内的匀强磁场，离子经磁场偏转后从PQ出口（包含P、Q两点）离开。之后进入电场偏转区，此处分布有垂直纸面向外的匀强电场，电场强度与速度选择器中心轴线处大小相等，离子经匀强电场偏转后打在xOy平面上，xOy平面距PQ距离为2L，其中圆环中轴线刚好正对O点。不计离子重力。求：
（1）电场偏转区场强E的大小；
（2）要保证离子能顺利通过磁分析器，磁感应强度B的大小取值范围；
（3）若磁分析器中的磁场强度，通过计算用（x，y）表示离子落在xOy平面上的坐标。
