3.1代数式
课时1 代数式
刷基础
知识点1 用字母表示数的书写
1下列代数式的书写格式规范的是 ( )
B. a×b÷5+1
C. ab2 D. ab
知识点2 用字母表示数的实际应用
2[2024河南南阳期中]数学活动课上，老师做了一个有趣的游戏，开始时东东、亮亮、乐乐三位同学手中均有a张扑克牌(假定a足够大)，然后依次完成以下三个步骤：第一步，东东拿出2张扑克牌给亮亮；第二步，乐乐拿出3张扑克牌给亮亮；第三步，东东手中此时有多少张扑克牌，亮亮就拿出多少张扑克牌给东东.游戏过程中，亮亮手中扑克牌张数的变化情况正确的是( )
A.a→a+2→a+3→1 B.a→a+2→a+5→3
C.a→a+2→a+5→2a+3 D.a→a+2→a+5→7
3[2023 河北石家庄期末]如图，阴影部分是一个长方形被截去两个四分之一的圆后剩余的部分，则它的面积是(其中a>2b) ( )
4[2023 福建厦门期中]下表是某面包店的价目表，小明原本拿了4个面包去结账，结账时收银员告诉小明，店内有优惠活动，优惠方式为每买5个面包，其中1个价格最低的面包就免费.因此，小明又去拿了一个，他挑选了香蒜面包，若小明原本结账金额为a元，则小明后来的结账金额为 元.(用含a的式子表示)
面包品种 甜甜圈 杧果 面包 香蒜 面包 切片 面包 奶香片 奶油面包
单价 5元 6元 7.5元 11元 12元 12元
5[2024 北京大兴区期中]观察如图所示的图案，每条边上有n(n≥2)个方块，S代表图案中方块的个数，按照你发现的每个图案中的规律，写出第n个图形中方块的个数为 .
知识点3代数式的意义
6请仔细分析下列赋予3a实际意义的例子中错误的是 ( )
A.若葡萄的价格是3元/kg,则3a表示买akg葡萄的金额
B.若a表示一个等边三角形的边长，则3a表示这个等边三角形的周长
C.某款运动鞋进价为a元，销售这款运动鞋盈利50%，则销售两双的销售额为3a元
D.若3和a分别表示一个两位数中的十位数字和个位数字，则3a表示这个两位数
7新考向开放性试题对代数式“5x”，我们可以这样解释：香蕉每千克5元，某人买了x千克，共付款5x元.请你对代数式“a+2b”给出一个实际生活方面的合理解释： .
课时2 列代数式
刷基础
知识点1 列代数式表示数的和差倍分问题(
1[2024江西赣州期末]下列能够表示比x的 多5的式子为 ( )
2[2024 四川广安期末]列代数式表示：比a的2倍小1的数是 .
知识点2列代数式表示销售及储蓄问题
3张老板以每颗a元的价格买进水蜜桃 100 颗.现以单价比进价多两成的价格卖出70颗后，再以单价比进价低b元的价格将剩下的30颗卖出，则全部水蜜桃共卖 ( )
A.[70a+30(a-b)]元
B.[70×(1+20%)×a+30b]元
C.[100×(1+20%)×a-30(a-b)]元
D.[70×(1+20%)×a+30(a-b)]元
4[2024 吉林双辽期末]一种储蓄的年利率为a%，存入本金一年后的本息和为b元，则存入的本金为 元.(本息和=本金+利息)
知识点3 列代数式表示行程问题
[2023 河北衡水校级调研]已知甲、乙码头相距s千米，某船在静水中的速度为a千米/时，水流速度为b千米/时(a>b)，则该船一次往返两个码头所需的时间为 ( )
时 时
时 时
6A，B两地相距150千米，李明驾驶汽车以v千米/时的速度从 A 地驶往 B 地.
(1)李明从 A 地到B 地需要的时间是多少
(2)因特殊情况，汽车实际每小时多行驶10千米，这时李明从 A地到B地需要的时间是多少 (3)在(2)的情况下，李明从A地到B地比原速行驶少用的时间是多少
知识点4 用代数式表示图形问题
7[2023 河北秦皇岛海港区期中]如图，小明的爸爸打算用53 m的篱笆围成一个长方形的花圃，一条边靠墙.(墙长 20 m)
(1)如果设花圃平行于墙的一边长为xm，那么垂直于墙的另一边的长可以表示为 m，花圃的面积可以表示为 m .
(2)如果设花圃垂直于墙的一边长为ym，那么平行于墙的一边的长可以表示为 m，花圃的面积可以表示为 m .
8[2024 山东滨州滨城区期中]学校劳动实践基地的开发能让学生体验劳动的艰辛，品味劳动成果的喜悦，满足学生劳动教育实践需要.某校劳动实践基地有两块边长分别为a，b的正方形土地A，B，如图，其中不能使用的面积为M.求正方形土地 B中能使用的面积(用含 b，M的代数式表示).
刷提升
1[中]长，宽，高分别为x，y，z的长方体箱子按如图方式打包(粗黑线)，则打包带的长至少为( )
A. x+2y+3z B.2x+4y+6z
C.4x+4y+8z D.6x+8y+6z
2[中]某市甲、乙、丙三家原售价相同的楼盘在年终前搞促销活动，甲楼盘在原价基础上先降价15%,再降价15%;乙楼盘一次性降价30%;丙楼盘先打九折，再降价20%.如果此时小容的父亲想在上述三家楼盘中选择每平方米实际售价最低的一处购买，他应选择的楼盘是 ( )
A.甲 B.乙 C.丙 D.都一样
3[2024 浙江杭州上城区校级质检，中]一列长a米的队伍以每分钟60米的速度向前行进，队尾一名同学用1分钟从队尾走到队头，则该名同学行走的路程为 米.
4[2023河北唐山期末，中]如图(1)，一个长为4a、宽为b的长方形，沿虚线剪成四个大小完全相同的小长方形，则每个小长方形的宽为 ；然后用四个小长方形拼成一个大正方形(如图(2))，则图中阴影部分的面积为
5[2024 黑龙江哈尔滨质检，中]惠民新村分给小慧家一套价格为12 万元的住房，按要求，需首期(第一年)付房款3万元，从第二年起，每年应付房款0.5万元与上一年剩余房款的利息的和.假设剩余房款年利率为0.4%，小慧列表推算如下：
第一年 第二年 第三年
应还款 (万元) 3 0.5+9×0.4% 0.5+8.5×0.4%
剩余房款 (万元) 9 8.5 8
若第n年小慧家仍需还款，则第n年应还款多少万元(n>1)
刷素养
6思想方法数形结合[2024江苏盐城校级期中，较难]有一个长为240米的圆形跑道，小明和他的小狗同时从跑道的点 P处出发沿顺时针方向跑步，已知小明的速度为4米/秒，小狗的速度为12米/秒，跑步的时间记为t秒，在跑步过程中，小明和他的小狗之间相距(取两者之间较短一段圆弧跑道的长度)w米.
(1)当0
刷基础
知识点1 正比例关系
1[2024黑龙江大庆期中]表示x和y成正比例关系的式子是 ( )
A. x+y=12 B. y-x=8
C. xy=48 D. y=6x
2[2024上海杨浦区期末]下面各组变量的关系中，成正比例关系的是 ( )
A.人的身高与年龄
B.汽车从甲地到乙地，所用时间与行驶速度
C.正方形的面积与它的边长
D.圆的周长与它的半径
3[2024天津南开区期末]有一种弹簧秤，秤上挂上物品(质量在100克以内)时，物品的质量与弹簧伸长的长度情况如图所示：
(1)如果挂质量为40克的物品，弹簧伸长的长度是 厘米；当弹簧伸长的长度是4 厘米时，所挂物品的质量是 克.
(2)弹簧伸长的长度与所挂物品的质量成 比例关系.
4[2024山西大同质检]下表是小林家去年上半年每月的用电情况.
月份 1 2 3 4 5 6
用电量/千瓦时 120 130 110 120 130 150
电费/元 60 65 55 60 65 75
(1)分别写出各月电费与用电量的比，比较比值的大小.
(2)说明这个比值表示的意义.
(3)电费与相应的用电量成正比例关系吗 为什么
知识点2 反比例关系
5[2024福建漳州期中]下面各种关系中，成反比例关系的是 ( )
A.铺地面积一定，每块砖的边长和砖的数量
B.如果5x=8y,那么x和y
C.长方形的面积一定，它的长和宽
D.圆的面积一定，它的半径和圆周率
6[2024 浙江杭州调研]下列图中，两个量a和b成反比例关系的是 ( )
C.三角形面积为1 D.长方体体积为1
7[2024湖南娄底期中]表中x和γ两个量成反比例关系，则“△”处应填 .
x 5 Δ
γ 7 14
刷提升
1[2024湖北荆州期中，中]甲、乙是两个成反比例关系的量，当甲减少20%时，乙 ( )
A.增加20% B.减少20%
C.增加25% D.减少25%
2[2024河南三门峡期中，中]下面各图中，能表示正比例关系的是 ( )
3[2024广西贵港期中，中]小明进行一次数学实验，他用48分米长的绳子分别围出1个、2个、3个、…正方形，如图所示.
(1)把表格填完整：
正方形个数 1 2 3 4
每个正方形的边长(分米) 12 6 4
所有正方形的顶点总数 4 7 10
所有正方形的总面积(平方分米) 144 72 48 …
(2)正方形个数为6时，每个小正方形的边长是 分米，每个 小 正 方 形 的 面 积 是 平方分米.
(3)正方形的个数与边长 ；正方形的边长与总面积 .(填“成正比例关系”“成反比例关系”或“不成比例关系”)
(4)若正方形的个数是n，顶点总数是m，请用一个等式表示n与m的关系： .
4[2024 四川成都质检，中]文具店有一种彩带，销售的数量与总价的关系如下表.
数量/m 1 2 3 4 5 6 7 8
总价/元 3.5 7 10.5 14 17.5 21 24.5 28
表中的数据还可以用下图表示.
根据图象回答下面的问题.
(1)把数对(10,35)和(12,42)所在的点描出来，并和上面的图象连起来再延长，你能发现什么
(2)不计算，根据图象判断，如果买9m彩带，总价是多少 49元能买多少米彩带
(3)小明买的彩带的米数是小丽的2倍，他花的钱是小丽的几倍 你能举出生活中成正比例关系的例子吗
3.1 代数式
课时1 代数式
刷基础
1. D 【解析】A选项, 书写不规范，应写为 ，故此选项不符合题意；B选项，a×b÷5+1书写不规范，应写为 故此选项不符合题意；C选项，ab2书写不规范，应写为2ab，故此选项不符合题意；D选项， 书写规范，故此选项符合题意.故选 D.
2. D 【解析】第一步后,东东:a-2,亮亮:a+2,乐乐:a;第二步后,东东:a-2,亮亮:a+2+3=a+5,乐乐:a-3;第三步后,东东:2(a-2),亮亮:a+5-(a-2)=7,乐乐:a-3.故选 D.
3. B 【解析】S长方形 =长×宽=ab，两个四分之一的圆可以拼成一个半圆，故 所以 故选 B.
4. a或(a+1.5)或(a+2.5) 【解析】小明原本拿了4个面包，若最低价格是5元，则小明后来的结账金额为a+7.5-5=(a+2.5)元;若最低价格是6元，则小明后来的结账金额为a+7.5-6=(a+1.5)元;若最低价格大于或等于7.5元，则小明后来的结账金额为a元.故小明后来的结账金额为 a或(a+1.5)或(a+2.5)元.故答案为a或(a+1.5)或(a+2.5).
5.4(n-1)(n≥2) 【解析】因为n=2时,S=4=4×(2-1);n=3时,S=8=4×(3-1);n=4时,S=12=4×(4-1),所以S=4(n-1)(n≥2),故答案为4(n-1)(n≥2).
6. D 【解析】A选项,若葡萄的价格是3元/kg,则3a表示买a kg葡萄的金额，原说法正确，故此选项不符合题意；B选项，若a表示一个等边三角形的边长，则3a表示这个等边三角形的周长，原说法正确，故此选项不符合题意；C选项，某款运动鞋进价为a元，销售这款运动鞋盈利50%，则销售两双的销售额为3a元，原说法正确，故此选项不符合题意；D选项，若3和a分别表示一个两位数中的十位数字和个位数字，则30+a表示这个两位数，原说法错误，故此选项符合题意.故选D.
7.一个西瓜的质量是a千克，一个桃子的质量是b千克，那么一个西瓜和两个桃子的质量和是(a+2b)千克(答案不唯一)
课时2 列代数式
刷基础
1. A【解析】比x的 多5的式子为 故选 A.
2.2a-1【解析】比a的2倍小1的数是2a-1.故答案为2a-1.
3.D 【解析】水蜜桃共卖出的价钱=先卖出的70颗水蜜桃的钱数+剩下的30颗水蜜桃卖出的钱数.依题意得先卖出的70颗水蜜桃的单价是(1+20%)a元，剩下的30颗水蜜桃的单价是(a-b)元，所以水蜜桃共卖出的价钱是[70×(1+20%)a+30(a-b)]元.
【解析】根据题意得存入的本金为 元.故答案为
5.D 【解析】因为顺流速度=静水速度+水流速度，逆流速度=静水速度-水流速度，所以该船 一 次 往 返 两 个 码 头 所 用 的 时 间 为 时.故选 D.
6.【解】(1)李明从 A 地到 B 地需要的时间为 时.
(2)速度提高以后，汽车的速度为(v+10)千米/时，则李明从 A 地到 B 地需要的时间为 时.
(3)李明从 A 地到 B 地少用的时间为 时.
(2)(53-2y) y(53-2y)
【解析】(1)53 m围了长方形花圃的3条边，如果平行于墙的一边长为xm，那么剩下的两边共长(53-x)m.因为剩下的两边都垂直于墙且两边相等，所以其中一边的长可以表示为 花圃面积为 (2)如果垂直于墙的一边长为γm，那么另一条垂直于墙的边长也为ym，所以平行于墙的一边的长为(53-2y)m,花圃面积为
8.【解】因为正方形土地 B的边长是b，所以
因为正方形土地 B 中能使用的面积=正方形土地B的面积-不能使用的面积M，所以正方形土地 B 中能使用的面积为
刷提升
1.B 【解析】打包带的长度中，有长方体的2个长，4个宽，6个高，故打包带的长至少为2x+4y+6z.
2.B 【解析】设三家楼盘的原售价都为每平方米a元,则甲楼盘售价为(1-15%)×(1-15%)a=0.7225a(元);乙楼盘售价为(1-30%)a=0.7a(元);丙楼盘售价为0.9×(1-20%)a=0.72a(元). 因为 0.7a<0.72a<0.7225a，所以应选择的楼盘是乙.
3.(a+60) 【解析】因为队尾—名同学用1 分钟从队尾走到队头，队伍1分钟走60米，队伍长a米，所以该名同学用l分钟从队尾走到队头行走的路程为(a+60)米，故答案为(a+60).
4. a (b-a) (或( 【解析】由题意易知，每个小长方形的宽为a.观察题图(2)可知，阴影部分是一个小正方形，边长为b-a，所以题图(2)中阴影部分的面积为 (或拼成的大正方形的面积-四个小长方形的面积=阴影部分的面积，即为
5.【解】根据题意得第(n-1)年需还的剩余房款为[9-0.5(n-2)]万元,
则第n年应还款{0.5+[9-0.5(n-2)]×0.4%}万元.
6.【解】(1)当0
刷基础
1.D 【解析】根据正比例关系的概念可知，成正比例关系的两个量的比值一定.故选 D.
2.D 【解析】两个量成正比例，则比值一定.A选项，人的身高与年龄不成正比例关系，故此选项不符合题意；B选项，两个量的乘积一定，故此选项不符合题意；C选项，正方形的面积与它的边长的平方比值一定，故此选项不符合题意；D选项，两个量比值一定，成正比例关系，故此选项符合题意.故选 D.
3.(1)8 20 (2)正 【解析】(1)由题图可知,如果挂质量为40克的物品，弹簧伸长的长度是8厘米.当弹簧伸长的长度是4厘米时，所挂物品的质量是20 克.
(2)2÷10=0.2,4÷20=0.2,6÷30=0.2,…,故弹簧伸长的长度与所挂物品质量的比值一定，即成正比例关系.
4.【解】(1)1月:60∶120=1∶2,比值为0.5;
2月:65∶130=1∶2,比值为0.5;
3月:55∶110=1∶2,比值为0.5;
4月:60∶120=1∶2,比值为0.5;
5月:65∶130=1∶2,比值为0.5;
6月:75∶150=1∶2,比值为0.5.
各月电费与用电量的比值相等.
(2)电费与用电量的比值是每千瓦时的电价.
(3)电费与相应的用电量成正比例关系.理由：通过(1)的计算可知，电费与相应的用电量的比值一定，是0.5，所以电费与相应的用电量成正比例关系.
5. C 【解析】A 选项，每块砖的边长×边长×数量=面积，每块砖的边长×数量=面积÷边长(不定)，可知铺地面积一定时，每块砖的边长和砖的数量不成反比例关系；B选项，5x=8y，两边同时除以5,再除以y,可得x÷y=1.6,则x和y成正比例关系；C选项，长×宽=长方形的面积(一定)，则长方形的面积一定时，它的长和宽成反比例关系；D选项，半径×圆周率=圆的面积÷半径(不定)，可知圆的面积一定时，它的半径和圆周率不成反比例关系.故选C.
6. C 【解析】A 选项, a. b的和一定,a和b不成比例关系，不符合题意.B 选项， 则 即 和b的积一定，a和
b不成比例关系，不符合题意.C 选项， 则 即a和b的积一定，则a和b成反比例关系，符合题意.D 选项， 则 即a和 的积一定，a和b不成比例关系，故不符合题意.故选C.
7.2.5 【解析】由题知1 ,则“△”处应填2.5.
1.C 【解析】因为甲和乙是两个成反比例关系的量，所以它们的乘积一定.根据题意可得甲减少到原来的 则乙需增加到原来的 所以乙增加( 故选 C.
2. B 【解析】A选项，销售量大约为60个时，剩余量为20个，销售量大约为 40 个时，剩余量为 40个,( (个)，可知销售量+剩余量=产品总量(一定)，和一定，故销售量和剩余量不成比例关系.B选项，人数大约为20人时，工作总量为20个，人数大约为40 人时，工作总量为40个， 1(个/人)，可知工作总量÷人数=每人加工的个数(一定)，商一定，故工作总量和人数成正比例关系.C选项，销售量为40 件时，单价大约为20元/件，销售量为20件时，单价大约为40元/件,则 可知销售量和单价不成
正比例关系.D选项是折线图，表示前20秒及20秒至30秒，与出发地点的距离一直在增长，且前20秒的速度比20秒至30 秒的速度快；30秒后，与出发地点的距离不变，速度不变.整个过程中速度是先变小后不变，且路程÷时间=速度，故距离和时间不成比例关系.故选 B.
3.(1)3 13 36 (2)2 4 (3)成反比例关系 成正比例关系(
【解析】(1)由题意填表如下：
正方形个数 1 2 3 4 ●●
每个正方形的边长(分米) 12 6 4 3
所有正方形的顶点总数 4 7 10 13
所有正方形的总面积(平方分米) 144 72 48 36
(分米), (平方分米)，所以正方形个数为6时，每个小正方形的边长是2分米，每个小正方形的面积是4 平方分米.
(3)因为正方形的个数与边长的乘积均为12，乘积一定，所以它们成反比例关系.因为正方形的边长与总面积的比值均为 比值一定，所以它们成正比例关系.
(4)因为4=1+3,7=1+2×3,10=1+3×3,所以若正方形的个数是n，顶点总数是m，则m=1+3n.
4.【解】(1)如图所示:
发现:从图中可以发现(10,35)和(12,42)对应的点也在这条直线上.
(2)观察上图，可知图象经过数对(9，31.5)和(14,49)所在的点,所以买9 m彩带,总价是31.5元,49元能买14m彩带.
(3)他花的钱是小丽的2倍.
如：工作效率一定，工作总量和工作时间成正比例关系(答案不唯一).
