大招专题 有关数轴的探索
母题学大招1 数轴中的折叠问题
1[中]如图，在数轴上，点A表示数a，点 B表示数b,点 C 表示数c,b是最小的正整数，且a，c满足
(1)a= ,b= ,c= .
(2)若将数轴折叠，使得点A与点C重合，则折痕与数轴的交点所表示的数为 ，点 B与数 对应的点重合，这时若M，N(M在N的左侧)两点之间的距离为2022，且M，N两点经折叠后重合，则点 M 表示的数是 ，点N表示的数是 .
子题练变式
2[2024江西上饶期末，中]在一条可以折叠的数轴上，点A，B表示的数分别是-10，3，如图，以点 C 为折点，将此数轴向右对折，若折叠后的点A在点B的右边，且AB=1，则点C表示的数是( )
A.-2 B.2 C.-3 D.3
3[2024黑龙江哈尔滨调研，中]如图，折叠纸面上一数轴，使得表示数5 与数-1 的两点重合，若此时，数轴上的A,B 两点也重合,且 A,B 两点之间的距离为32，则点A表示的数为 .
4(新考法[2024 浙江金华期中，中]在数轴上剪下8个单位长度(从1到9)的一条线段，并把这条线段沿某点折叠，然后在重叠部分某处剪一刀得到三条线段(如图).若这三条线段的长度之比为1：1：2，则折痕与数轴的交点所表示的数可能是 .
母题学大招2 数轴上的循环规律问题
5[2024广东佛山期末,中]正六边形ABCDEF在数轴上的位置如图，点A，F对应的数分别为0和1，若正六边形(六条边相等)ABCDEF 绕着顶点按顺时针方向在数轴上连续翻转，翻转 1次后，点E 所对应的数为2，则连续翻转2021 次后，数轴上 2 021这个数所对应的点是 ( )
A. A点 B. B点 C. C点 D. D点
母题学大招3 数轴上数的变化规律问题
[2024福建泉州期中，中]已知A，B在数轴上对应的数分别用a，b表示，且 10|=0，P 是数轴上的一个动点.动点 P 从原点开始第一次向右移动1个单位长度，第二次向左移动3个单位长度，第三次向右移动5个单位长度，第四次向左移动7个单位长度，…，点P在移动过程中，第 次移动与点 A重合.
子题练变式
7|[2024 山东日照质检，中]如图，在纸面所在的平面内，一只电子蚂蚁从数轴上表示原点的位置O点出发，按向上、向右、向下、向右的方向依次不断移动，每次移动1个单位长度，其移动路线如图所示，第 1 次移动到A ，第2 次移动到A ,第3次移动到A ,…,第n次移动到An,则三角形 OA A 的面积是 ( )
B.505 D.506
刷难关
大招解读|数轴中的折叠问题
将数轴折叠后，数a与数b对应的点重合，则折痕与数轴的交点所表示的数为 若数c与数d对应的点也重合,则a+b=c+d.
1.(1)-2 1 6 (2)2 3 -1 009 1013
【解析】(1)因为b是最小的正整数，所以b=1.因为 且la+2l+(c- 所以 所以a+2=0,c-6=0,所以a=-2,c=6.
(2)将数轴折叠，使得点 A 与点 C 重合，则 所以折痕与数轴的交点表示的数是
2.点B 到折痕与数轴的交点的距离为1个单位长度，则2+1=3，所以点B与数3 对应的点重合.设M点表示的数是x，则N点表示的数是x+2 022,所以 则 x =-1 009,-1 009+2 022=1 013,所以点M表示的数是-1 009,点N表示的数是1 013.
2. C 【解析】折叠前AB=|-10-3|=13,折叠后AB=1,所以 所以点C 表示的数是3-6=-3,故选C.
3.18或-14 【解析】因为表示5 的点与表示-1的点重合，所以折痕与数轴的交点表示的数为2.因为数轴折叠后，数轴上的A，B 两点也重合，且A，B两点之间的距离为32，所以两个点到折痕与数轴交点的距离均是16，所以点A表示的数为2+16=18或2-16=-14.故答案为18 或-14.
4.4或5或6 【解析】因为总的线段长为8，剪后三条线段的长度之比为1：1：2，又因为8÷(1+1+2)=2，所以这三条线段的长度分别为2,2,4.如图(1),若剪下的第1条线段长为2,第2条线段长度也为2，则折痕与数轴的交点表示的数为4；如图(2)，若剪下的第1条线段长为2，第2条线段长度为4，则折痕与数轴的交点表示的数为5；如图(3)，若剪下的第1条线段长为4，第2条线段长度为2，则折痕与数轴的交点表示的数为6.综上，折痕与数轴的交点表示的数为4或5或6，故答案为4或5或6.
大招解读|数轴上的循环规律问题-
1.先写出前几次的变化结果.
2.确定循环周期.
3.循环运动的总次数除以循环周期，得到余数.
4.余数是几，就和每个周期里第几个对应，能整除的则与每个周期最后一个对应.
5.B 【解析】正六边形在翻转第一周的过程中，点F,E,D,C,B,A对应的数分别为1,2,3,4,5,6,翻转6次为一循环. 因为 2 021÷6=336……5，所以数轴上2021这个数所对应的点是 B 点.故选 B.
大招解读|数轴上数的变化规律问题
1.标出序列号.
2.公因式法：把每个数分成最小公因数相乘，然后再找规律,看是不是与n ,n ,或2",3",或2n,3n有关.
3.有的可对每个数同时减去第一位数，成为从第二个数开始的新数列，然后用方法1，2找出每位数与位置的关系.再在找出的规律上加上第一个数，恢复到原数.
4.有的可对每个数同时加上，或乘，或除以第一个数，成为新数列，然后再找出规律，并恢复到原数.
5.有的可对每个数同时加上，或减去，或乘，或除以同一个数(一般为1，2，3，…)，成为新数列，然后再找出规律，并恢复到原数.
6.分析并判断能否把一个数列的奇数位置与偶数位置分开成为两个数列，再分别找规律.
6.15 【解析】点 P 第一次移动所得的对应点P 表示的数为0+1=1，点P 第二次移动所得的对应点P 表示的数为1-3=-2，点P第三次移动所得的对应点P 表示的数为-2+5=3.点P第四次移动所得的对应点P 表示的数为3-7=-4，点P第五次移动所得的对应点P 表示的数为-4+9=5，点P第六次移动所得的对应点P。表示的数为5-11=-6,…,点P 第n次移动所得的对应点 P 表示的数为 观察发现：当n为奇数时，点P 对应的数为奇数n；当n为偶数时，点P对应的数为偶数-n.因为( 且 所以b+10=0,即b=-10, ab+150=0,即a=15,所以点A表示的数是15,点B 表示的数是-10,所以当n=15时,点P 表示的数为15,即点 P 第15 次移动所得的对应点与点A 重合.
7. B 【解析】由题意知, ，因为A 表示的数为2，A 表示的数为4，A 表示的数为6，…，所以可推导一般性规律：A n 表示的数为2n,所以A 表示的数为 1 010,所以 所以 故选B.
