5.1 从算式到方程
5.1.1 方程
刷基础
知识点1方程的概念(
1在①2y+1;②1+7=15-8+1;③ x +x=0;④m+2n=3;⑤a+b=b+a(a,b为常数);⑥|3-π|=π-3中，是方程的为 .(填序号)
知识点2方程的解
2已知关于x的方程ax=8-3x的解是x=2,则a的值为 ( )
A.1 B. C. D.-2
3[2024 江苏南通质检]整式mx+2n的值随x的取值不同而不同，下表是当x取不同值时对应的整式值，则关于x的方程 的解为
( )
x -2 -1 0 1 2
mx+2n 4 0 -4 -8 -12
A. x=-2 B. x=-1 C. x=0 D. x=2
4[2023广西南宁质检]若x=2是关于x的方程ax+b=4的解,则代数式( 的值是 .
知识点3 一元一次方程的概念
5[2023 江苏南京质检]已知下列方程:①x-2= ;②0.3x=1;③x/ =5x+1;④x -4x=3;⑤x=6;⑥x+2y=0.其中一元一次方程的个数是( )
A.2 B.3 C.4 D.5
6[2024河北唐山期末]若方程□-3=x是关于x的一元一次方程，则“□”可以是 ( )
A.2x B.2y C. x D. y
7新考向开放性试题写出一个解为-8，且x的系数是3的一元一次方程： .
8[2024 湖南长沙期末]已知( 是关于x的一元一次方程，则a= .
知识点4列方程
9新考向传统文化《算法统宗》是我国古代数学著作，其中记载了一道数学问题大意如下：用绳子测水井深度，若将绳子折成三等份，则井外余绳4尺；若将绳子折成四等份，则井外余绳 1尺.问绳长和井深各多少尺 设井深为x尺，则可列方程为 .
刷易错
易错点 列方程时因单位未统一而致错
10甲、乙两人分别从相距30千米的A，B两地骑车相向而行，甲骑车的速度是 10千米/时，乙骑车的速度是8千米/时，甲先出发25分钟后，乙骑车出发，问乙出发后多少小时两人相遇 (只列方程)
莉莉：设乙出发后x小时两人相遇.
列出的方程为25×10+8x+10x=30.
请问莉莉列出的方程正确吗 如果不正确，请说明理由并列出正确的方程.
5.1.2 等式的性质
刷基础
知识点1 等式的性质
1[2024 辽宁沈阳期末]下列变形不一定正确的是 ( · )
A.若x=y,则x+5=y+5
B.若-2x=-2y,则x=y
C.若 则x=γ
D.若x=y,则
2[2023陕西西安期末]根据等式的性质，若等式m=n可以变形得到m+a=n-b,则a,b应满足的条件是 ( )
A.互为相反数 B.互为倒数
C.相等 D. a=0,b≠0
知识点2利用等式的性质解一元一次方程(3把方程 变形为x=2,其依据是 ( )
A.等式的性质1 B.等式的性质2
C.乘法结合律 D.乘法分配律
4[2024河北石家庄期末]如图，天平两边盘中标有相同字母的物体的质量相同，若两架天平均保持平衡，则l个砝码A与n个砝码C的质量相等，n的值为 ( )
A.1 B.2 C.3 D.4
[2024福建宁德期末]由3x=2x-1得3x-2x=-1，在此变形中，方程两边同时 .
6运用等式的性质解下列方程：
(2)3x=2x+12;
刷易错
易错点 应用等式的性质2时，忽视等式两边不能同除以0而致错
7阅读理解题：
下面是小明将等式x-4=3x-4进行变形的过程：
x-4+4=3x-4+4,①
x=3x,②
1=3.③
(1)①的依据是 .
(2)小明出错的步骤是 ，错误的原因是 .
(3)给出正确的解法.
刷提升
1[中]方程 中被阴影盖住的是一个常数，此方程的解是 则这个常数应是 ( )
A.1 B.2 C.3 D.4
2[2023安徽宣城调研,中]设a,b,c为互不相等的数，且 则下列结论正确的是( )
A. a>b>c B. c>b>a
C. a-b=4(b-c) D. a-c=5(a-b)
3[2024 吉林白城期中,中]若2a+3=0,则-4a-6= .
4[2024广西贵港港北区期末,中]若a+9=b+8=c+7,则(
5[中]王老师在黑板上写了一个等式(m-3)x=5(m-3),小明说x=5;小刚说不一定,当x≠5时，这个等式也可能成立.你认为他俩的说法正确吗 用等式的性质说明理由.
6[较难]小明课后利用方程的知识探索发现，所有纯循环小数都可以化为分数，例如，化0.3 为分数，方法如下：
设x=0.3,即x=0.333….将方程两边都乘10,得10x=3.333…,即 10x=3+0.333…又因为x=0.333…,所以10x=3+x,所以9x=3,则x= ，所以
尝试解决下列各题：
(1)把0. i 化成分数为 .
(2)利用小明的方法，把纯循环小数0.ió化成分数.
7核心素养运算能力[难]观察下列两个等式：1- 给出定义如下：我们称使等式a-b=2ab-l成立的一对有理数a,b为“同心有理数对”,记为(a,b).如：数对 都是“同心有理数对”.根据上述材料，解答下列问题：
(1)数对(-2,1),(3, )中，是“同心有理数对”的是 ;
(2)若(a,3)是“同心有理数对”,求a的值;
(3)若(m,n)是“同心有理数对”,则(-n,-m)是否为“同心有理数对” 请说明理由.
5.1 从算式到方程
5.1.1 方程
刷基础
1.③④ 【解析】①2y+1,含未知数但不是等式,所以不是方程;②1+7=15-8+1,是等式但不含未知数，所以不是方程； 是含有未知数的等式，所以是方程；④m+2n=3 是含有未知数的等式，所以是方程；⑤a+b=b+a(a，b为常数)，不含有未知数，不是方程；⑥π不是未知数，故不是方程.故是方程的为③④.
2. A 【解析】把x=2代入方程ax=8-3x得2a=8-6,即2a=2,将各选项代入使方程两边相等的数是1，故选A.
3. A 【解析】因为当x=-2时, mx+2n=4,所以当x=-2时, 故选 A.
4.27 【解析】因为x=2是关于x的方程ax+b=4的解,所以2a+b=4,所以( 故答案为27.
5. B 【解析】 不是一元一次方程，故①不符合题意；②0.3x=1符合一元一次方程的定义，故②符合题意； 符合一元一次方程的定义，故③符合题意；( 的未知数的最高次数是2，不符合一元一次方程的定义，故④不符合题意；⑤x=6符合一元一次方程的定义，故⑤符合题意；⑥x+2y=0中含有2个未知数，不符合一元一次方程的定义，故⑥不符合题意.综上所述，一元一次方程的个数是3.故选 B.
6. A 【解析】A选项,2x-3=x,是一元一次方程，故符合题意；B选项，2y-3=x中，含有两个未知数，不是一元一次方程，故不符合题意;C选项, 中，未知数的最高次数是2，不是一元一次方程，故不符合题意；D 选项 中，含有两个未知数，且未知数的最高次数是2，不是一元一次方程，故不符合题意.故选 A.
7.3x+24=0(答案不唯一) 【解析】符合的一元一次方程为3x+24=0,故答案为3x+24=0(答案不唯一).
8.-1 【解析】由题意得|a|=1且a-1≠0,所以a=-1,故答案为-1.
刷易错
10.【解】莉莉列出的方程不正确.理由：列方程时未统一单位.
正确方程：设乙出发后x小时两人相遇.
依题意得
5.1.2 等式的性质
刷基础
1. D 【解析】A选项,若x=y,则x+5=y+5,原变形正确，故本选项不符合题意；B选项，若-2x=-2y,则x=y,原变形正确,故本选项不符合题意；C选项，若 则x=y,原变形正确，故本选项不符合题意；D选项，若x=y，则当m≠0时, 原变形不一定正确，故本选项符合题意.故选D.
2. A 【解析】根据等式的性质，若等式m=n可以变形得到m+a=n-b,则a=-b,所以a+b=0，所以a与b互为相反数.故选 A.
3. B 【解析】将原方程两边都乘2,得x=2,这是依据等式的性质2.故选B.
4. B 【解析】由左题图可知1 个砝码A 的质量与1 个砝码B 和1 个砝码C的质量和相等，由左题图和右题图可知1 个砝码B 的质量与1个砝码C的质量相等，所以1个砝码A的质量与2个砝码 C的质量相等，所以n的值为2,故选 B.
5.减去2x 【解析】由3x=2x-1得3x-2x=-1,在此变形中，方程两边同时减去2x.故答案为减去2x.
6.【解】(1)方程两边同时减1,得
(2)方程两边同时减2x,得x=12.
(3)方程两边同时减1，得
方程两边同时除以 得x=-9.
(4)方程两边同时加 得 方程两边同时除以 得m=-70.
刷易错·……………………………………………
7.(1)等式两边加(或减)同一个数(或式子)，结果仍相等
(2)③ 等式两边都除以可能为0的字母
(3)【解】x-4=3x-4,等式两边同时加4,得x-4+4=3x-4+4,即x=3x.
等式两边同时减3x,得x-3x=0,即-2x=0.等式两边同时除以-2，得x=0.
刷提升
1. C 【解析】设阴影部分表示的数为 a.将y= 代入，得 两边同时加上 得0=3-a,两边同时加上a,得a=3.故选 C.
2. D 【解析】a,b,c的大小关系不能确定,所以A、B选项的结论不一定正确. 的两边同时乘5，得5b=4a+c.两边同时减去4b+c,得b-c=4a-4b.两边同时乘 得 a-b,所以C选项的结论不正确.在5b=4a+c的两边同时减去5a,得5(b-a)=c-a.两边同时乘-1,得5(a-b)=a-c,所以D选项的结论正确.故选 D.
3.0 【解析】因为2a+3=0,所以-2a=3,所以-4a=6,所以-4a-6=6-6=0.故答案为0.
4.-2 【解析】因为a+9=b+8=c+7,所以a-b=-1,b-c=-1,c-a=2,所以原式: 故答案为-2.
5.【解】小明的说法错误，小刚的说法正确.……理由如下：
当m-3=0时,x为任意数;
当m-3≠0时,x=5.
6.【解】(1)设x=0.1,即x=0.111….将方程两边都乘 10,得 10x = 1. 111…, 即 10x= 1+0.111….又因为x=0.111…,所以10x=1+x,所以 9x=1,则 所以 故答案为
(2)设 即x=0.1616….将方程两边都乘100,得 100x=16.161 6…,即 100x=16+0.161 6….又因为x=0.161 6…,所以 100x=16+x,所以99x=16,则. 所以
刷素养…………
7.【解】(1)因为-2-1=-3,2×(-2)×1-1=-5,-3≠-5,所以数对(-2,1)不是“同心有理数对”.因为 所以3- 所以 是“同心有理数对”.故答案为(
(2)因为(a,3)是“同心有理数对”,所以a-3=6a-1.
等式两边同时减去a,得a-3-a=6a-a-1.
整理得-3=5a-1.
等式两边同时加上1,得-3+1=5a-1+1.
整理得-2=5a.
等式两边同时除以5，得
(3)是“同心有理数对”.理由如下：
因为(m,n)是“同心有理数对”,所以m-n=2mn-1,而-n-(-m)=-n+m=m-n=2mn-1,所以(-n,-m)是“同心有理数对”.
