北京第二外国语学院附属中学2023-2024学年高一下学期期中考试
数学
本试卷共4页，150分.考试时长120分钟.
第Ⅰ卷（选择题共50分）
一、选择题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.
1 已知向量且，则
A. B. C. D.
2. i是虚数单位，若复数是纯虚数，则实数a的值为（ ）
A. 2 B. C. D.
3. 已知一个圆锥和圆柱的底面半径和高分别相等，若圆锥的轴截面是等边三角形，则这个圆锥和圆柱的侧面积之比为（ ）
A. B. C. D.
4. 已知向量，则“”是“”的（ ）
A 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
5. 在中，角的对边分别为，若，则一定是( )
A. 正三角形 B. 直角三角形 C. 等腰或直角三角形 D. 等腰三角形
6. 如图，在正方体中，点是线段上的动点，下列与始终异面的是（ ）
A. B. C. D.
7. 已知两条直线m，n和平面，那么下列命题中的真命题是（ ）
A. 若，，则 B. 若，，则
C. 若，，则 D. 若，，则
8. 一船以的速度向东航行，船在点A处看到一个灯塔B在北偏东，行驶4h后，船到达点C处，看到这个灯塔在北偏东，这时船与灯塔的距离为（ ）
A. B. C. D.
9. 已知正方形的边长为1，点P是对角线上任意一点，则的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
10. 如图，正方体的棱长为1，E、F分别为棱AD、BC的中点，则平面与底面ABCD所成的二面角的余弦值为（ ）
A. B. C. D.
第Ⅱ卷（非选择题共100分）
二、填空题共6小题，每小题5分，共30分.
11. 已知向量，满足，，，则与的夹角为________．
12. 在中，，则_____________
13. 在△ABC中，点D满足，若，则__________
14. 已知l，m是平面外的两条不同直线．给出下列三个论断：
①l⊥m；②m∥；③l⊥．
以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题：__________．
15. 如图，若正方体棱长为1，则异面直线AC与所成的角的大小是__________；直线和底面ABCD所成的角的大小是__________．
16. 如图，正方体的棱长为2，线段上有两个动点，，且，给出下列三个结论：
①三棱锥与的体积相等；
②三棱锥的体积为定值；
③三棱锥的高长为
（三棱锥的高长即点到平面的距离）．
所有正确结论的序号有________．
三、解答题共5小题，共70分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.
17. 如图，在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，AB＝6，，，点D在边BC上，且∠ADC＝60°．
（1）求cosB与△ABC的面积；
（2）求线段AD的长．
18. 如图，已知三棱柱中，与交于点为边上一点，为中点，且平面.求证：
（1）；
（2）平面平面.
19. 如图，在四棱锥中，，，，平面底面，，和分别是和的中点.
求证：（1）底面；
（2）平面；
（3）平面平面.
20. 在中，，．
（1）求；
（2）再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一确定，求边上高线的长．
条件①：；条件②：；条件③：．
21. 设k是正整数，集合A至少有两个元素，且.如果对于A中任意两个不同的元素x，y，都有，则称A具有性质.
（1）试判断集合和是否具有性质？并说明理由；
（2）若集合，求证：A不可能具有性质；
（3）若集合，且同时具有性质和，求集合A中元素个数的最大值.
北京第二外国语学院附属中学2023-2024学年高一下学期期中考试
数学 答案
第Ⅰ卷（选择题共50分）
一、选择题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.
【1题答案】
【答案】B
【2题答案】
【答案】B
【3题答案】
【答案】C
【4题答案】
【答案】A
【5题答案】
【答案】D
【6题答案】
【答案】B
【7题答案】
【答案】C
【8题答案】
【答案】B
【9题答案】
【答案】C
【10题答案】
【答案】B
第Ⅱ卷（非选择题共100分）
二、填空题共6小题，每小题5分，共30分.
【11题答案】
【答案】
【12题答案】
【答案】
【13题答案】
【答案】
【14题答案】
【答案】如果l⊥α，m∥α，则l⊥m或如果l⊥α，l⊥m，则m∥α.
【15题答案】
【答案】 ①. ②. .
【16题答案】
【答案】①②
三、解答题共5小题，共70分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.
【17题答案】
【答案】（1）；
（2）4
【18题答案】
【答案】（1）证明略.
（2）证明略.
【19题答案】
【答案】(1)证明略.
(2) 证明略
(3) 证明略
【20题答案】
【答案】（1）；
（2）.
【21题答案】
【答案】（1）集合不具有性质，集合具有性质，理由略；
（2）证明略 （3）.
