法门高中2023-2024学年度下学期期中考试卷参考答案
一、单选题 1．D 2．B 3．A 4．D 5．C 6．A 7．C 8．D
二、多选题 9．ACD 10．BCD 11．BC 12．BCD
三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13． 14．8 15． 16．
四、解答题（本题共6小题，共70分.）
17.解：（1）由题意可知，该圆锥的底面半径，母线．
∴该圆锥的表面积．
（2）在中，，
∵是PO的中点，∴．
∴小圆锥的高，小圆锥的底面半径，
∴截得的圆台的体积．
18.在△ABD中，∠ADB＝60°，∠DAB＝75°，∴B＝45°．
∴AD＝(n mile)．即A与D间的距离为24 n mile．
19.（1）因为，
.
（2），所以，
，所以.
设与的夹角为，又，所以.
20.证明：（1）取PC的中点G，连接FG，BG，如图所示：
∵F是PD的中点， ∴FG∥CD，且，
又∵底面ABCD是菱形，E是AB中点，
∴BE∥CD，且，
∴BE∥FG，且BE＝FG，
∴四边形BEFG是平行四边形， ∴EF∥BG，
又EF 平面PBC，BG 平面PBC， ∴EF∥平面PBC；
（2）设AC∩BD＝O，则O是BD中点，连接PO，
∵底面ABCD是菱形， ∴BD⊥AC， 又∵PB＝PD，O是BD中点，
∴BD⊥PO， 又AC∩PO＝O，AC 平面PAC，PO 平面PAC，
∴BD⊥平面PAC， ∵BD 平面PBD， ∴平面PBD⊥平面PAC.
21.解：正方体的表面积为，
一个圆柱的侧面积为，
则打孔后几何体的表面积为.
22.（1）连接，由底面，
且，可得底面，
又由底面，所以，
又因为为正边的中点，
所以，
因为，且平面，
所以平面.
（2）连接交与，则为的中点，连接，则.
因为平面，平面， 所以平面.
（2）因为，.
取的中点，连接，则，可得平面，
即为三棱锥的高，，
三棱锥的体积.法门高中2023-2024学年度下学期期中试卷
高一数学
考试范围：必修二第六、七、八章； 考试时间：120分钟；
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第I卷（选择题）
一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．下列说法正确的是（ ）
A．数量可以比较大小，向量也可以比较大小
B．由于零向量的方向不确定，因此零向量不能与任意向量平行
C．模为1的向量都是相等向量
D．向量的模可以比较大小
2．如图所示的平面图形可以折叠成的立体图形为（ ）
A．三棱锥 B．四棱锥 C．四棱柱 D．球
3．若一个圆锥的底面半径为1，母线长为，则圆锥的体积是（ ）
A． B． C． D．
4．如图矩形的长为2，宽为1，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的面积是（ ）.
A． B．
C． D．
5．复数（为虚数单位）在复平面内所对应的点位于（ ）
A．第三象限 B．第二象限 C． 第一象限 D．第四象限
6．如图，已知正四棱锥的所有棱长均为2，为棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
B． C． D．
7．已知两个不同的平面和两条不同的直线，下面四个命题中，正确的是（ ）
A．若，，则 B．若，且，，则
C．若，，则 D．若，，则
8．在中，，则的值为（ ）
A． B．0 C． D．
二、多选题（每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）
9．已知复数（其中为虚数单位），则以下说法正确的有（ ）
A． B．复数的虚部为
C．复数的共轭复数 D．复数在复平面内对应的点在第一象限
10．已知PA⊥矩形ABCD所在的平面，则下列结论中正确的是（ ）
A．PD⊥BD B．PD⊥CD
C．PB⊥BC D．PA⊥BD
11．若向量a ＝(2, 0),b＝(1, )，则( )
A．|a＋b|＝|a－b| B．a·b＝2
C．b在a上的投影向量为a D．a与b的夹角为
12．下列说法中正确的有（ ）
A．在中，若，则
B．在中，
C．在中，若，则；若，则
D．在中，
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13．如图，在中，，是上的一点，
若，则实数的值为 .
14．若球、的表面积之比，则它们的体积之比 ．
15．阅读材料：余弦定理是描述三角形中三边长度与一个角余弦值关系的数学定理，运用它可以解决一类已知三角形两边及夹角求第三边或者已知三边求角的问题.余弦定理是这样描述的：在中，、、所对的边分别为、、，则三角形中任意一边的平方等于另外两边的平方和减去这两边及这两边的夹角的余弦值的乘积的倍.
用公式可描述为：，，，
现已知在中，，，，则 .
16．已知复数满足，则复数的模长为
四、解答题（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（10分）如图，已知圆锥的顶点为P，O是底面圆心，AB是底面圆的直径，，．
（1）求圆锥的表面积；
（2）经过圆锥的高PO的中点作平行于圆锥底面的截面，
求截得的圆台的体积．
（12分）如图，某货轮在A处看灯塔B在货轮的北偏东75°，
距离为12 n mile，货轮 由A处向正北航行到D处时，再看灯
塔B在北 偏东120°，求A与D间的距离．
19．（12分）已知单位向量，的夹角为，，.
(1)求；
(2)求与的夹角余弦值.
20．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD为菱形，PB＝PD，E，F分别为AB和PD的中点.
（1）求证：EF∥平面PBC；
（2）求证：平面PBD⊥平面PAC．
（12分）如图所示的几何体是一棱长为4cm的正方体，若在它的各个面的中心位置上打一个直径为2cm、深为1cm的圆柱形的孔，求打孔后的几何体的表面积是多少.（π取3.14）
22．（12分）已知三棱柱（如图所示），底面是边长为2的正三角形，侧棱底面，，为的中点.
（1）若为的中点，求证：平面；
（2）证明：平面；
（3）求三棱锥的体积.
答案第1页，共2页
