新疆维吾尔自治区部分名校2023-2024学年高二下学期期末联考数学试卷
学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题
1．( )
A.6 B.7 C.8 D.9
2．已知函数的导函数为,若,则( )
A.1 B.2 C. D.
3．一场文艺汇演中共有2个小品节目 2个歌唱类节目和3个舞蹈类节目,若要求2个小品类节目演出顺序不相邻且不在第一个表演,则不同的演出顺序共有( )
A.480种 B.1200种 C.2400种 D.5040种
4．已知两个变量y与x的对应关系如下表：
x 1 3 5 7 9
y 6 18 m 39 53
若y与x满足一元线性回归模型,且经验回归方程为,则( )
A.29 B.30 C.31 D.32
5．向如图放置的空容器中注水,直至注满为止.下列图象中可以大致刻画容器中水的体积V与水的高度h的函数关系的是( )
A. B.
C. D.
6．不透明的袋子中有8个除颜色外其余完全相同的小球,其中4个红色小球,4个蓝色小球,从袋子中随机摸出4个小球,在摸出红色小球的条件下,摸出的红色小球个数大于蓝色小球个数的概率为( )
A. B. C. D.
7．《九章算术》是我国古代数学名著,其中记载了关于家畜偷吃禾苗的问题.假设有羊、骡子、马、牛吃了别人的禾苗,禾苗的主人要求羊的主人、骡子的主人、马的主人、牛的主人共赔偿12斗粟.羊的主人说：“羊吃得最少,羊和骡子吃的禾苗总数只有马和牛吃的禾苗总数的一半.”骡子的主人说：“骡子吃的禾苗只有羊和马吃的禾苗总数的一半.”马的主人说：“马吃的禾苗只有骡子和牛吃的禾苗总数的一半.”若按照此比率偿还,则羊的主人应赔偿的粟的斗数为( )
A.1 B. C.2 D.
8．已知,则( )
A. B. C. D.
二、多项选择题
9．对于函数,下列说法正确的是( )
A.有最小值但没有最大值
B.对于任意的,恒有
C.仅有一个零点
D.有两个极值点
10．若数列满足对任意的正整数n,都有,则称为“凸数列”.下列结论正确的是( )
A.若,则数列为“凸数列”
B.若,则数列为“凸数列”
C.若单调递减数列的前n项和为,则数列为“凸数列”
D.若数列的前n项和为,数列为“凸数列”,则为单调递减数列
11．袋中共有5个除颜色外完全相同的球,其中有3个红球和2个白球,每次随机取1个,有放回地取球,则下列说法正确的是( )
A.若规定摸到3次红球即停止取球,则恰好取4次停止取球的概率为
B.若进行了10次取球,记X为取到红球的次数,则
C.若规定摸到3次红球即停止取球,则在恰好取4次停止取球的条件下,第1次摸到红球的概率为
D.若进行了10次取球,恰好取到次红球的概率为,则当时,最大
三、填空题
12．已知等比数列的公比为3,且,则________________.
13．已知随机变是,则____________.
14．已知,若不等式恒成立,则a的取值范围为_______________.
四、解答题
15．已知函数的图象在点处的切线与直线垂直.
(1)求a,b的值;
(2)求在上的最值.
16．某公司为了解某产品的客户反馈情况,随机抽取了100名客户体验该产品,并进行评价,评价结果为“喜欢”和“不喜欢”,整理数据得到如下列联表：
喜欢 不喜欢 合计
男 45 5 50
女 35 15 50
合计 80 20 100
(1)根据上表,依据小概率值的独立性检验,能否认为客户对该产品的评价结果与性别有关系？
(2)为进一步了解客户对产品的反馈,现从评价结果为“不喜欢”的客户中,按性别用分层抽样的方法选取8人,收集对该产品的改进建议.若从这8人中随机抽取3人,求所抽取的3人中女性人数大于男性人数的概率.
附：.
0.05 0.025 0.01 0.005
3.841 5.024 6.635 7.879
17．已知数列满足,其中表示从n个元素中任选i个元素的组合数.
(1)求的通项公式;
(2)求的前n项和.
18．点球大战是指在足球比赛中,双方球队在经过90分钟常规赛和30分钟加时赛后仍然无法分出胜负的条件下,采取以互罚点球决胜负的方法.在点球大战中,双方球队确定各自罚球队员的顺序,通过抽签的方式决定哪一方先罚,双方球队各出1人进行1次罚球作为1轮罚球,点球大战期间队员不可重复罚球,除非一方球队的全部球员已依次全部罚球.点球大战主要分为两个阶段：第一阶段,以双方球员交替各踢5次点球作为5轮罚球,前5轮罚球以累计进球数多的一队获胜,当双方未交替踢满5轮,就已能分出胜负时,裁判会宣布进球多的一队获胜,当双方交替踢满5轮,双方进球数还是相等时,则进入第二阶段：第二阶段,双方球队继续罚球,直到出现某1轮结束时,一方罚进而另一方未罚进的局面,则由罚进的方取得胜利.现有甲 乙两队（每支队伍各11名球员）已经进入了点球大战,甲队先罚球,各队已经确定好罚球队员的顺序,甲队的球员第1轮上场,球员在点球时罚进球的概率为,其余的21名球员在点球时罚进球的概率均为.
(1)求第3轮罚球结束时甲队获胜的概率;
(2)已知甲 乙两队的点球大战已经进入第二阶段,在第二阶段的第4轮罚球结束时甲队获胜的条件下,甲 乙两队第二阶段的进球数之和为X,求X的分布列及数学期望.
19．已知函数,.
（1）讨论的单调性;
（2）当恒成立时,判断的零点个数.
参考答案
1．答案：D
解析：.
故选：D.
2．答案：B
解析：.
故选：B.
3．答案：C
解析：先排2个歌唱类节目和3个舞蹈类节目,共有种不同的演出顺序;
再排2个小品节目,共有种不同的演出顺序.
根据分步乘法计数原理可知,共有2400种不同的演出顺序.
故选：C.
4．答案：A
解析：由表格数据及回归方程易知,解得.
5．答案：A
解析：在注水的过程中,容器横截面面积越大,水的体积增长越快,所以随着水的高度的增长,体积先缓慢增长,再剧烈增长,再缓慢增长.
故选：A.
6．答案：A
解析：设事件A为摸出红色小球,事件B为摸出的红色小球个数大于蓝色小球个数,
则,,则.
故选：A.
7．答案：B
解析：设羊、骡子、马、牛吃的禾苗数依次为,,,,
由题意得
通过等差中项可判断羊、骡子、马、牛吃的禾苗数依次成等差数列,
设该数列为,公差为d,则．由题意得
即解得
故选：B.
8．答案：D
解析：对两边求导,
得.
令,得.
故选：D.
9．答案：BC
解析：,当时,,单调递增,
当时,,单调递减,故有最大值但没有最小值,A错误.
当时,,令,得,所以函数仅有一个零点,仅有一个极值点,B,C正确,D错误.
10．答案：BC
解析：因为,,
且,则,所以数列不是“凸数列”,故A错误;
因为,,
且,所以,
则数列为“凸数列”,故B正确;
因为,,
,
则,
,
所以,
又数列是单调递减数列,则,即,
所以,即,
即数列为“凸数列”,故C正确;
因为数列为“凸数列”,则,
即,即,
所以,而的符号不确定,
故不一定为单调递减数列,故D错误;
故选：BC.
11．答案：BCD
解析：每次取到红球的概率为,若规定摸到3次红球即停止,
则恰好取4次停止取球的概率为,故A错误;
,则,故B正确;
记恰好取4次停止取球为事件A,第1次摸到红球为事件B,
则,,所以,故C正确;
,当最大时,
即
所以即解得,
又,所以,当k为6时,最大,故D正确.
12．答案：2
解析：因为的公比为3,所以.
故答案为：2.
13．答案：2
解析：因为,所以,则.
故答案为：2.
14．答案：
解析：因为,,所以等价于.
若,则,,显然恒成立.
若,令,则在上恒成立,则在上单调递增,
由,得,则,则在上恒成立.
令,,则,当时,,单调递增,当时,,单调递减,
则,从而,解得.
综上所述,a的取值范围为.
故答案为：.
15．答案：(1)
(2)最大值为,最小值为2
解析：(1)由,得.
因为的图象在点处的切线与直线垂直,
所以,即,解得;
(2)由(1)可知,
当时,,单调递减,
当时,,单调递增.
因为,
所以,
所以在上的最大值为,最小值为2.
16．答案：(1)有关
(2)
解析：(1)零假设为：客户对该产品的评价结果与性别无关.
,
根据小概率值的独立性检验,推断不成立,
即认为客户对该产品的评价结果与性别有关.
(2)由题意得抽取的8人中,男性人数为,
女性人数为.
当3人中有2名女性和1名男性时,,
当3人全部为女性时,,
则所抽取的3人中女性人数大于男性人数的概率.
17．答案：(1)
(2)
解析：(1)因为,
所以,
则,
所以,
则.
(2)因为,
所以,
则,
所以,
则,
所以.
18．答案：(1)
(2)分布列见解析,4
解析：(1)第3轮罚球结束时甲队获胜,则甲队前3轮进3球,乙队前3轮未进球,
所以第3轮罚球结束时甲队获胜的概率为.
(2)甲 乙两队的点球大战已经进入第二阶段,每一轮罚球甲队进球 乙队未进球的概率为,甲 乙两队均进球的概率为,甲 乙两队均未进球的概率为.
设事件A为“第二阶段的第4轮罚球结束时甲队获胜”,则第二阶段的前3轮罚球甲 乙两队的进球数相等,第4轮罚球为甲队进球 乙队未进球,
所以.
由题意得X的可能取值为1,3,5,7,
,
,
,
,
X的分布列为
X 1 3 5 7
P
所以.
19．答案：（1）当时,在上递增;当时,在上递增,在上递减.
（2）当时,的零点个数为;当时,的零点个数为.
解析：（1）由知.
当时,对有,所以在上递增;
当时,对有,对有,
所以在上递增,在上递减.
综上,当时,在上递增;
当时,在上递增,在上递减.
（2）当恒成立时,
假设,则.
从而,这与矛盾,所以一定有.
当时,据的单调性有.
故对,有,代入表达式知,即.
所以对都有,
这就得到
.
故恒成立.
综上,a的取值范围是.
下面来讨论的零点个数:
当时,根据的单调性,有,所以没有零点;
当时,首先有.
而根据的单调性,对有,所以有唯一的零点即.
综上,当时,的零点个数为0;当时,的零点个数为1.
