广东省深圳外国语学校高中园2025届高三入学摸底考试数学试卷
学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题
1．已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2．已知，则( )
A.2 B. C.3 D.
3．已知，则( )
A. B. C. D.
4．设非零向量，，则“”是“或”的( )
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充要条件 D.即不充分也不必要条件
5．等比数列的各项均为正数，且，则( )
A.12 B.10 C.5 D.
6．设抛物线的焦点为F，A为抛物线上一点且A在第一象限，，若将直线绕点F逆时针旋转得到直线l，且直线l与抛物线交于C，D两点，则( )
A. B. C. D.
7．已知正三棱台的高为1，上、下底面边长分别为和，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为( )
A. B. C. D.
8．设函数，，若存在，，使得，则的最小值为( )
A. B.1 C.2 D.
二、多项选择题
9．已知函数，则函数( )
A.单调减区间为 B.在区间上的最小值为
C.图象关于点中心对称 D.极大值与极小值的和为
10．现安排高二年级A，B，C三名同学到甲、乙、丙、丁四个工厂进行社会实践，每名同学只能选择一个工厂，且允许多人选择同一个工厂，则下列说法正确的是( )
A.所有可能的方法有种
B.若工厂甲必须有同学去，则不同的安排方法有37种
C.若同学A必须去工厂甲，则不同的安排方法有16种
D.若三名同学所选工厂各不相同，则不同的安排方法有24种
11．已知F为双曲线的右焦点，过F的直线l与圆相切于点M，且l与C及其渐近线在第二象限的交点分别为P，Q，则下列说法正确的是( )
A.直线l的斜率为
B.直线是C的一条渐近线
C.若，则C的离心率为
D.若，则C的渐近线方程为
三、填空题
12．在数列中，，，则数列的通项公式为________.
13．已知函数的图象向左平移个单位后关于y轴对称，若在上的最小值为-1，则t的最大值是________.
14．已知函数有且只有两个零点，则a的范围________.
四、解答题
15．在中，角A、B、C的对边分别为a，b，c.已知，.
（1）求c的值；
（2）求的值；
（3）求的值.
16．如图，在直三棱柱中，，点D是的中点，点E在上，平面.
（1）求证：平面平面；
（2）当三棱锥的体积最大时，求直线与平面所成角的正弦值.
17．随着信息技术的飞速进步，大数据的应用领域正日益扩大，它正成为推动社会进步的关键力量.某研究机构开发了一款数据分析软件，该软件能够精准地从海量数据中提取有价值的信息.在软件测试阶段，若输入的数据集质量高，则软件分析准确的概率为0.8；若数据集质量低，则分析准确的概率为0.3.已知每次输入的数据集质量低的概率为0.1.
（1）求一次数据能被软件准确分析的概率；
（2）在连续次测试中，每次输入一个数据集，每个数据集的分析结果相互独立.设软件准确分析的数据集个数为X.
①求X的方差；
②当n为何值时，的值最大
18．已知椭圆的右焦点为F，上顶点为B，离心率为，且.
（1）求椭圆的方程；
（2）直线l与椭圆有唯一的公共点M，与y轴的正半轴交于点N，过N与垂直的直线交x轴于点P.若，求直线l的方程.
19．牛顿（1643－1727）给出了牛顿切线法求方程的近似解：如图设r是的一个零点，任意选取作为r的初始近似值，过点作曲线的切线，与x轴的交点为横坐标为，称为r的1次近似值，过点作曲线的切线，与x轴的交点为横坐标为，称为r的2次近似值.一般地，过点作曲线的切线，与x轴的交点为横坐标为，就称为r的次近似值，称数列为牛顿数列.
（1）若的零点为r，，请用牛顿切线法求r的2次近似值；
（2）已知二次函数有两个不相等的实数根b，c，数列为的牛顿数列，数列满足，且.
（ⅰ）设，求的解析式；
（ⅱ）证明：
参考答案
1．答案：C
解析：，，A、B错误；
，C正确；
不正确，D错误.
故选：C.
2．答案：B
解析：由，
所以，
故选：B.
3．答案：A
解析：令，，则，
所以，
故选：A.
4．答案：B
解析：因为
所以，
又不能推出或；
但若“或”，则一定有，
所以“”是“或”的必要不充分条件，
故选：B.
5．答案：B
解析：因为是各项均为正数的等比数列，，
所以，即，则
记，则，
两式相加得，
所以，即.
故选：B.
6．答案：A
解析：，
设，，，
则，所以，则，
故，
所以，
则直线l的倾斜角，
所以直线l的斜率，
所以直线l的方程为，
联立，消y得，
，
设，，
则，
所以.
故选：A.
7．答案：A
解析：设正三棱台上下底面所在圆面的半径，，所以，，即，，设球心到上下底面的距离分别为，，球的半径为R，所以，，故或，即或，解得符合题意，所以球的表面积为.
故选：A.
8．答案：B
解析：由题意可得，即，
所以，
又，所以在R上单调递增，
即，所以，
且，
令，，
则，其中，
令，则，
当时，，则单调递增，
当时，，则单调递减，
所以当时，有极大值，即最大值，
所以，，
所以.
故选：B
9．答案：BCD
解析：对于A，，
故，
所以在和上，，函数单调递增；
在上，，函数单调递减，故A错误；
对于D，由A知，函数的极大值为，
极小值，
则，故D正确；
对于B，，
结合函数在的单调性可知：，故B正确；
对于C，，
所以，
故函数图象关于点中心对称，故C正确.
故选：BCD
10．答案：BCD
解析：所有可能的方法有种，A错误.
对于B，分三种情况：第一种：若有1名同学去工厂甲，则去工厂甲的同学情况为，另外两名同学的安排方法有种，此种情况共有种，第二种：若有两名同学去工厂甲，则同学选派情况有，另外一名同学的排法有3种，此种情况共有种，第三种情况，若三名同学都去工甲，此种情况唯一，则共有种安排方法，B正确.
对于C，若A必去甲工厂，则B，C两名同学各有4种安排，共有种安排，C正确.
对于D，若三名同学所选工厂各不同，则共有种安排，D正确.
故答案为：BCD
11．答案：ABD
解析：对于A，根据题意，，设直线，，
又因为直线l与圆相切于点M，
所以，，，A正确；
对于B，根据题意可知，可得，
所以直线是C的一条渐近线，B正确；
对于C，若，根据题意，联立，解得，
同理联立，解得，
由于，故，即，，
化简得，则C的离心率为，C错误；
对于D，设，依题意知，则，
故，得，，
故，代入，得，
所以，则，，
得，则C的渐近线方程为，D正确；
故选：ABD
12．答案：（n为正整数）
解析：由递推关系得，又，
（n为正整数）.
故答案为：（n为正整数）.
13．答案：
解析：函数的图象向左平移个单位长度后，
图象所对应解析式为：，
因为图象关于y轴对称，所以，，
可得，，又，所以，即，
要使在上的最小值为，则在上的最小值为，当时，，又，
所以，解得，即t的最大值是.
故答案为：
14．答案：
解析：由函数，令，可得，
即，因为，所以，所以，
可得或，
即或，
令，，可得，，
当时，可得，在单调递增，且；
当时，且；
当时，可得，在单调递减；
当时，可得，在单调递增，且，
又当时，，，
当时，且；
作出函数，的图象，如图所示，
要使得有两个实数根，即有两个不同的零点，
结合图象，可得或，即实数a的取值范围为.
故答案为：.
15．答案：（1）；
（2）；
（3）
解析：（1）因为，即，而，代入得，解得：.
（2）由（1）可求出，而，所以，又，所以.
（3）因为，所以，故，又，所以，，而，所以，
故.
16．答案：（1）证明见解析；
（2）
解析：（1）取中点M，连接、，如图所示：
，点D是的中点，
，
又M是的中点，
，
又在直三棱柱中，有，平面
，
平面，
平面，且面，平面平面，
，
平面，且平面，
，
又，且平面，
平面，
又，
平面，
平面，
面平面.
（2）由（1）知平面，则，
设，则，，，
，
由基本不等式知，当且仅当时等号成立，即三棱锥的体积最大，此时，
以D为坐标原点，所在直线为x轴，所在直线为y轴，所在直线为z轴建立空间直角坐标系，如图所示：
则有，，，，，
，，，
设平面的一个法向量为，
则有，取，解得，
设直线与平面所成的角为，
，
故直线与平面所成角的正弦值为.
17．答案：（1）；
（2）①；②
解析：（1）记“输入的数据集质量高”为事件A，“一次数据能被软件准确分析”为事件B，由题意可知：，，，则，所以.
所以一次数据能被软件准确分析的概率0.75.
（2）由（1）可知：，
①依题意，，所以X的方差；
②可知，
令，则，
令，解得，可知当，可得；
令，解得，可知当，可得；
于是
所以当时，最大，即时，的值最大.
18．答案：（1）；
（2）.
解析：（1）易知点、，故，
因为椭圆的离心率为，故，，
因此，椭圆的方程为；
（2）设点为椭圆上一点，
先证明直线的方程为，
联立，消去y并整理得，，
因此，椭圆在点处的切线方程为.
在直线的方程中，令，可得，由题意可知，即点，直线的斜率为，所以，直线的方程为，在直线的方程中，令，可得，即点，因为，则，即，整理可得，所以，，因为，，故，，
所以，直线l的方程为，即.
19．答案：（1）；
（2）（ⅰ）（ⅰⅰ）证明见解析
解析：（1），
，，，所以
当，，，所以
当，
所以r的2次近似值为.
（2）（ⅰ）因为二次函数有两个不等实根b，c，
所以不妨设，
则，
因为，所以，
所以在横坐标为的点处的切线方程为，
令，则，
即，所以.
（ⅰⅰ）由（ⅰ）知，，
所以.
因为，，所以，所以.
令，则，又，
所以，
数列是公比为2的等比数列.
.
令，则
当时，，所以在单调递减，
所以，即，
因为，所以，即.
.
