镇海中学2023-2024学年高二下学期期末考试
数学
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，则（ ）
A B. C. D.
2. 求值：（ ）
A. B. C. D. 1
3. 已知，下列不等式一定成立的是（ ）
A. B.
C. D.
4. 已知三个平面向量满足，则“向量均是单位向量”是“向量方向相同”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
5. 已知是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ）
A. 若且，则
B. 若，则
C. 若且，则
D. 若不垂直于，且，则必不垂直于
6. 一个袋子中有个大小质地完全相同的球，其中3个为红球，其余均为绿球，采用不放回方式从中依次随机地摸出2个球.已知摸出的2个球都是红球的概率为，则两次摸到的球颜色不相同的概率为（ ）
A. B. C. D.
7. 已知正方体的棱长为3，以为球心，为半径的球面与正方体表面的交线记为曲线，则曲线的长度为（ ）
A. B. C. D.
8. 已知，记集合，若，则实数的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分.
9. 已知正实数满足，则（ ）
A. 的最大值为2
B. 的最小值为1
C. 的最大值为2
D. 的最小值为1
10. 已知定义域为的偶函数满足，若对任意且，都有，下列结论一定正确的是（ ）
A.
B. 2是的一个周期
C. 函数在上单调递减
D 函数图象关于直线对称
11. 一个同学投掷10次骰子，记录出现的点数，根据统计结果，在下列情况中可能出现点数6的有（ ）
A. 平均数为3，中位数为4
B. 中位数为4，众数为3
C. 平均数为2，方差为2.1
D. 中位数为3，方差为0.85
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知，则______.
13. 如图，在长方形中，，点在线段（端点除外）上，现将沿折起为，设，二面角的大小为.若，则三棱锥体积的最大值为______.
14. 在锐角中，内角所对的边分别为，若，则的最小值为______.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 已知函数.
（1）求的最小正周期和最大值；
（2）求函数在区间上的单调区间.
16. 镇海中学采购了一批电子白板电容笔，这一批电容笔使用三年后即被淘汰.电容笔头属于消耗品，现在需要决策在购买电容笔时笔头的数量，为此搜集并整理了10支笔在一年内消耗的笔头数（单位：个），发现均落在范围内，将统计结果按如下方式分成六组，第一组，第二组，……第六组，画出频率分布直方图如图所示.
（1）求的值；
（2）估计10支笔一年内消耗笔头数量的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）和第30百分位数
（3）在搜集这10支笔的使用情况数据时，发现其中3支是高一班级在使用，另外7支是高二班级在使用，现已知高二班级消耗的笔头数的平均值和方差分别为50和221，所有班级消耗的笔头数的方差为200，试估计高一班级消耗的笔头数的平均值和方差.
17. 如图，在中，是中点，在边上，且与交于点.
（1）用表示；
（2）若，求的值.
18. 如图，在五面体中，四边形为矩形，为等腰直角三角形，且.面面.
（1）求证：：
（2）在线段上是否存在点，使得与平面所成角的正弦值为？若存在，请求出的长度；若不存在，请说明理由.
19. 悬链线出现在建筑领域，最早是由十七世纪英国杰出的科学家罗伯特·胡克提出的，他认为当悬链线自然下垂时，处于最稳定的状态，反之如果把悬链线反方向放置，它也应该是一种稳定的状态，后来由此演变出了悬链线拱门，其中双曲余弦函数就是一种特殊的悬链线函数，其函数表达式为，相应的双曲正弦函数的表达式为.
（1）求的值；
（2）若直线与函数和的图象共有三个交点，设这三个交点的横坐标分别为，证明：；
（3）函数，若对任意的恒成立，求的最大值.
镇海中学2023-2024学年高二下学期期末考试
数学 答案
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
【1题答案】
【答案】C
【2题答案】
【答案】D
【3题答案】
【答案】B
【4题答案】
【答案】A
【5题答案】
【答案】C
【6题答案】
【答案】D
【7题答案】
【答案】B
【8题答案】
【答案】C
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分.
【9题答案】
【答案】AC
【10题答案】
【答案】ACD
【11题答案】
【答案】ABD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
【12题答案】
【答案】
【13题答案】
【答案】
【14题答案】
【答案】##
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
【15题答案】
【答案】（1）；
（2）单调增区间，单调减区间为
【16题答案】
【答案】（1）
（2）；
（3）；.
【17题答案】
【答案】（1），
（2）
【18题答案】
【答案】（1）证明略；
（2）或.
【19题答案】
【答案】（1）1 （2）答案略
（3）7
