上海市闵行区2023-2024学年高二下学期期末学业质量调研
数学试卷
考生注意：
1．本场考试时间120分钟，试卷共4页，满分150分，答题纸共2页.
2．作答前，考生在答题纸正面填写学校、姓名、考生号，粘贴考生本人条形码.
3．所有作答务必填涂或书写在答题纸上与试卷题号对应的区域，不得错位.在草稿纸、试卷上作答一律不得分.
4．用2B铅笔作答选择题，用黑色笔迹钢笔、水笔或圆珠笔作答非选择题.
一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1—6题每题4分，第7—12题每题5分）考生应在答题纸相应位置直接填写结果.
1. 已知抛物线的方程为，则其准线方程为______．
2. 若，其中，则______．
3. 双曲线渐近线方程________．
4. 已知，则______．
5. 已知直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，则直线与平面所成的角的大小为______．
6. 已知，则函数的最小值为______．
7. 设，若，且，则______．
8. 甲，乙两位同学去四个不同场馆参加志愿者活动，每人选2个场馆去服务，在他们的所有选法中，恰有一个场馆相同的概率为______．
9. 沿着正四面体的三条棱的方向分别有大小等于的三个力，则此三个力的合力的大小为______．
10. 设是以为焦点的抛物线上的动点，是圆上的动点，则的最小值为______．
11. 已知有穷数列的首项为1，末项为10，且任意相邻两项之间满足，则符合上述要求的不同数列的个数为______．
12. 设分别是双曲线的左，右焦点，若存在过点的直线与的左支交于两点，且为等腰直角三角形，则双曲线的离心率为______．
二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13—14题每题4分，第15—16题每题5分）每题有且只有一个正确选项.考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑.
13. 已知函数在上导函数为，则“是函数的极值点”是“”的（ ）
A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件
C. 充要条件 D. 既非充分又非必要条件
14. 如图，四棱柱的底面为平行四边形，为与的交点，若，则（ ）
A. B.
C. D.
15. 已知点集分别表示曲线，其中实数满足，则的公共点的个数可能为（ ）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
16. 已知函数在上的导函数为，若对任意恒成立，关于下列两个命题的判断，说法正确的是（ ）
命题①：方程至多只有一个实数根；
命题②：若是以2为周期的周期函数，则对任意，都有．
A. ①真命题；②假命题 B. ①假命题；②真命题
C. ①真命题；②真命题 D. ①假命题；②假命题
三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤.
17. 已知实数，在的二项展开式中.
（1）求项的系数；
（2）若第三项不大于第五项，求的取值范围.
18. 已知直四棱柱，各棱长均为2，且.设分别是的中点.
（1）求直线与所成的角的大小；
（2）求直线与平面所成的角的大小.
19. 设直线为公海与领海的分界线，一巡逻艇在处发现了北偏东的海面处有一艘走私船，此走私船正向停泊在公海上接应的走私海轮航行，以便上海轮后逃窜.已知巡逻艇的航速是走私船航速的2倍，与相距约为20海里，走私船可能向任一方向逃窜.在如图所示的平面直角坐标系中，试问：
（1）如果走私船和巡逻艇都是沿直线航行，且走私船和巡逻船相距6海里，那么走私船能被截获的点是哪些？
（2）设，要保证巡逻艇在领海内捕获走私船（即不能截获走私船的区域与公海不相交），相距最远是多少海里？
20. 已知椭圆的左、右焦点分别为分别为的上，下顶点，是上不同于点A的两点.
（1）求值；
（2）记的面积分别为，若，求的取值范围；
（3）若直线与的斜率之和为2，作，垂足为，试问：点是否在一个定圆上？若是，求出该圆的方程；若不是，说明理由.
21. 若函数的图像上有两个不同点处的切线重合，则称该切线为函数的图像的“自公切线”.
（1）试判断函数与的图像是否存在“自公切线”（不需要说明理由）；
（2）若，求函数的图像的“自公切线”方程；
（3）设，求证：函数的图像不存在“自公切线”
上海市闵行区2023-2024学年高二下学期期末学业质量调研
数学试卷 答案
一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1—6题每题4分，第7—12题每题5分）考生应在答题纸相应位置直接填写结果.
【1题答案】
【答案】
【2题答案】
【答案】3
【3题答案】
【答案】
【4题答案】
【答案】1
【5题答案】
【答案】0##
【6题答案】
【答案】1
【7题答案】
【答案】56
【8题答案】
【答案】
【9题答案】
【答案】
【10题答案】
【答案】4
【11题答案】
【答案】55
【12题答案】
【答案】或
二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13—14题每题4分，第15—16题每题5分）每题有且只有一个正确选项.考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑.
【13题答案】
【答案】A
【14题答案】
【答案】C
【15题答案】
【答案】D
【16题答案】
【答案】C
三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤.
【17题答案】
【答案】（1）1 （2）
【18题答案】
【答案】（1）
（2）
【19题答案】
【答案】（1）走私船能被截获的点的轨迹是以为圆心、4为半径的圆.
（2）15海里
【20题答案】
【答案】（1）2 （2）
（3）点在圆
【21题答案】
【答案】（1）答案略
（2）
（3）证明略
