2025年高考数学一轮复习9.5-离散型随机变量及其分布列（课件+专项训练）（含解析）

(共39张PPT)
9.5 离散型随机
变量及其分布列
课标要求 考情分析
1.通过具体实例,了解离 散型随机变量的概念,理 解离散型随机变量的分 布列. 2.通过具体实例,了解两 点分布、超几何分布,并 能解决简单的实际问题. 考点考法：离散型随机变量的分布列是高考考
查重点，常以实际问题为背景，与排列组合结
合在一起交汇命题，各种题型均有考查，难度
中档.
核心素养：数据分析、数学运算、逻辑推理
必备知识 自主排查
核心考点 师生共研
必备知识 自主排查
01
1.离散型随机变量的分布列
（1）一般地，对于随机试验样本空间 中的每个样本点 ，都有______
的实数 与之对应，我们称 为随机变量.可能取值为有限个或可以
__________的随机变量，我们称为离散型随机变量.
唯一
一一列举
（2）一般地,设离散型随机变量 的可能取值为 ， , , ,我们称
取每一个值 的概率_______________, , , ， 为 的概率分布列，
简称分布列.
[提醒] 离散型随机变量的分布列常用如下表格表示：



（3）离散型随机变量的分布列的性质
① ;
② ___.

2.两点分布
如果随机变量 的分布列为：
0 1

其中 ，我们称 服从______分布或______分布.
两点
0－1
3.超几何分布
一般地，假设一批产品共有 件，其中有 件次品.从 件产品中随机抽
取 件（不放回），用 表示抽取的 件产品中的次品数，则 的分布列
为 _ ______， , , , ， .其中 ， ，
, , , ， .如果随
机变量 的分布列具有上式的形式，那么称随机变量 服从超几何分布.

【练一练】
1.判断正误（正确的打“√”，错误的打“×”）
（1）离散型随机变量的概率分布列描述了由这个随机变量所刻画的随机
现象.( )
√
（2）离散型随机变量的分布列中,随机变量取各个值的概率之和可以小于1.
( )
×
（3）如果随机变量 的分布列由下表给出，
2 5
0.3 0.7
则它服从两点分布.( )
×
（4）一个盒中装有4个黑球、3个白球，从中任取一球，若是白球则取出
来，若是黑球则放回盒中，直到把白球全部取出来，设取到黑球的次数为
，则 服从超几何分布.( )
×
2.设某项试验的成功率是失败率的2倍，用随机变量 表示一次试验的成功
次数，则 ( )
A. B. C. D.
解析：选B.设 ，则 .依题意知， ，解得 ，故 .
√
3.设离散型随机变量 的分布列为
0 1 2 3 4
0.2 0.1 0.1 0.3
若随机变量 ,则 ( )
A. B. C. D.
解析：选A.由 ,
得 .
所以 .故选A.
√
4.从10件产品（其中次品3件）中，一件一件不放回地任意取出4件，则4件
中恰有1件次品的概率为_ _.

解析：一件一件不放回地抽取4件，可以看成一次抽取4件，故共有 种可能的结果，设事件 为“4件中恰有1件次品”，则事件 含有 种结果，所以 .
核心考点 师生共研
02
考点一 离散型随机变量分布列的性质（自主练透）
1.若离散型随机变量 的分布列为 ,其中
是常数,则 的值为( )
A. B. C. D.
解析：选D.因为 ,所以 ,解
得 .故 .故选D.
√
2.（多选）设离散型随机变量 的分布列如下表所示：
-1 0 1 2 3

则下列各式中不正确的是( )
A. B.
C. D.
√
√
√
解析：选 . ，A错误； ，B错误； ，C正确； ,D错误.故选ABD.
3.随机变量 的分布列如下：
-1 0 1

其中 , , 成等差数列，则 _ _，公差 的取值范围是
________.


解析：因为 , , 成等差数列，所以 .
又 ,所以 ,
所以 .
又 , ,
根据分布列的性质，
得 , ,
所以 .
离散型随机变量分布列的性质的应用
（1）利用分布列中各概率之和为1可求参数的值，此时要注意检验，以保证每个概率值均为非负值.
（2）若 为随机变量，则 仍然为随机变量，求其分布列时可先求出相应的随机变量的值，再根据对应的概率写出分布列.
考点二 求离散型随机变量的分布列（师生共研）
例1 (2023·山东淄博模拟)甲、乙两名同学与同一台智能机器人进行象棋比赛，计分规则如下：在一轮比赛中，如果甲赢而乙输，则甲得1分；如果甲输而乙赢，则甲得-1分；如果甲和乙同时赢或同时输，则甲得0分.设甲赢机器人的概率为 ，乙赢机器人的概率为 ，求：
（1）在一轮比赛中，甲的得分 的分布列；
【解】 依题意可得 的可能取值为 ， ， .
所以 ，
，
,
所以 的分布列为：
-1 0 1
0.2 0.5 0.3
（2）在两轮比赛中，甲的得分 的分布列.
【解】 依题意可得 的可能取值为 ， ， ， ， ，
所以 ,
,

,
,
.
所以 的分布列为：
-2 -1 0 1 2
0.04 0.2 0.37 0.3 0.09
离散型随机变量分布列的求解步骤
[注意]离散型随机变量 的每一个可能的取值为实数，其实质代表的是“事件”，即事件是用一个反映结果的实数表示的.
【对点训练】
(2023·河南洛阳模拟)如图，小明家住 小区，他每天早上骑自行车去学校
上学，从家到学校有 ， 两条路线， 路线上有 ， ， 三个
路口，每个路口遇到红灯的概率均为 ； 路线上有 ， 两个路口，
且 ， 路口遇到红灯的概率分别为 ， .
（1）若走 路线，求遇到3次红灯的概率；
解：设“走 路线遇到3次红灯”为事件 ，
则 .
解： 依题意， 的可能取值为0， ， .
则 ,
，
.
（2）若走 路线，随机变量 表示遇到的红灯次数，求 的分布列及数学期望.
所以随机变量 的分布列为：
0 1 2

.
考点三 超几何分布（一题多变）
例2 在心理学研究中，常采用对比试验的方法评价不同心理暗示对人的影
响，具体方法如下：将参加试验的志愿者随机分成两组，一组接受甲种心
理暗示，另一组接受乙种心理暗示，通过对比这两组志愿者接受心理暗示
后的结果来评价两种心理暗示的作用.现有6名男志愿者 ， ， ，
， ， 和4名女志愿者 ， ， ， ，从中随机抽取5人接受
甲种心理暗示，另5人接受乙种心理暗示.
（1）求接受甲种心理暗示的志愿者中包含 但不包含 的概率；
【解】 记“接受甲种心理暗示的志愿者中包含 但不包含 ”为事件 ，
则 .
（2）用 表示接受乙种心理暗示的女志愿者人数，求 的分布列.
【解】 由题意知 的可能取值为0， ， ， ， ，则
，
，
，
，
.
所以 的分布列为：
0 1 2 3 4

【一题多变】
（变设问）若用 表示接受乙种心理暗示的男志愿者人数，求 的分布列.
解：由题意可知 的可能取值为1， ， ， ， ，则
，
，
，
，
.
所以 的分布列为：
1 2 3 4 5

求超几何分布的分布列的步骤
【对点训练】
(2023·陕西榆林模拟)为发展业务，某调研组对 ， 两个公司的扫码支付情况进行调查，准备从国内 个常住人口超过1 000万的超大城市和8个常住人口低于50万的小城市中随机抽取若干个进行统计，若一次抽取2个城市，全是小城市的概率为 .
（1）求 的值；
解：从 个城市中一次抽取2个城市，有 种情况，其中全是小城市的有 种情况，则全是小城市的概率为 ,
解得 （负值舍去）.
解： 由题意可知， 的可能取值为0， ， ， ， ，
则 , , ,
, .
（2）若一次抽取4个城市，假设抽取出的小城市的个数为 ，求 的分布列.
所以 的分布列为：
0 1 2 3 4
9.5-离散型随机变量及其分布列-专项训练【原卷版】
1．在15个村庄中，有7个村庄交通不方便，若用随机变量X表示任选10个村庄中交通不方便的村庄的个数，则X服从超几何分布，其参数为(　　)
A．N＝15，M＝7，n＝10　　 B．N＝15，M＝10，n＝7
C．N＝22，M＝10，n＝7 D．N＝22，M＝7，n＝10
2．设随机变量ξ的概率分布列如下表，则P(|ξ－3|＝1)＝(　　)
ξ 1 2 3 4
P a
A．　 　　 B．
C．　　　 D．
3．有6件产品，其中4件是次品，从中任取2件．若随机变量X表示取得正品的件数，则P(X>0)等于(　　)
A． B．
C． D．
4．已知离散型随机变量X的分布列服从两点分布，且P(X＝0)＝3－4P(X＝1)＝a，则a＝(　　)
A． B．
C． D．
5．(多选)下列说法正确的是(　　)
A．设随机变量X等可能取1,2,3，…，n，如果P(X＜4)＝0．3，则n＝10
B．若随机变量ξ的概率分布为P(ξ＝n)＝an(n＝0,1,2)，其中a是常数，则a＝
C．设离散型随机变量η服从两点分布，若P(η＝1)＝2P(η＝0)，则P(η＝0)＝
D．超几何分布的实质是古典概型问题
6．(多选)一袋中有6个大小相同的黑球，编号为1,2,3,4,5,6，还有4个同样大小的白球，编号为7,8,9,10，现从中任取4个球，则下列结论中正确的是(　　)
A．取出的最大号码X服从超几何分布
B．取出的黑球个数Y服从超几何分布
C．取出2个白球的概率为
D．若取出一个黑球记2分，取出一个白球记1分，则总得分最大的概率为
7．已知随机变量X的分布列为
X －2 －1 0 1 2 3
P
若P(X2A．4≤x≤9 B．4C．4≤x<9 D．48．已知随机变量X的概率分别为p1，p2，p3，且依次成等差数列，则公差d的取值范围是________．
9．一批产品共50件，有5件次品，其余均为合格品．从这批产品中任意抽取2件，出现次品的概率为________．
10．在一次购物抽奖活动中，假设某10张奖券中有一等奖券1张，可获价值50元的奖品；有二等奖券3张，每张可获价值10元的奖品；其余6张没有奖．某顾客从这10张奖券中任抽2张．
(1)求该顾客中奖的概率；
(2)求该顾客获得的奖品总价值X(单位：元)的分布列．
11．已知随机变量ξ的分布列如下：
ξ 0 1 2
P a b c
其中a，b，c成等差数列，则函数f(x)＝x2＋2x＋ξ有且只有一个零点的概率为(　　)
A． B．
C． D．
12．已知在10件产品中可能存在次品，从中抽取2件检查，其次品数为ξ，已知P(ξ＝1)＝，且该产品的次品率不超过40%，则这10件产品的次品率为(　　)
A．10% B．20%
C．30% D．40%
13．(多选)某学校举行文艺比赛，比赛现场有5名专家教师评委给每位参赛选手评分，每位选手的最终得分由专家教师评分和观看学生评分确定．某选手参与比赛后，现场专家教师评分情况如下表．观看学生全部参与评分，所有评分均在7～10之间，将评分按照[7,8)，[8,9)，[9,10]分组，绘成频率分布直方图如图，则下列说法正确的是(　　)
现场专家教师评分表
专家教师 A B C D E
评分 9．6 9．5 9．6 8．9 9．7
A．a＝0．3
B．用频率估计概率，估计观看学生评分不小于9分的概率为
C．从5名专家教师中随机选取3人，X表示评分不小于9分的人数，则P(X＝2)＝
D．从5名专家教师中随机选取3人，X表示评分不小于9分的人数，则P(X＝3)＝
14．袋中有4个红球，m个黄球，n个绿球．现从中任取两个球，记取出的红球数为ξ，若取出的两个球都是红球的概率为，一红一黄的概率为，则m－n＝________．
15．在一个盒子中，放有标号分别为1,2,3的三张卡片，现从这个盒子中，有放回地先后抽得两张卡片的标号分别为x，y，记X＝|x－2|＋|y－x|．
(1)求随机变量X的最大值，并求事件“X取得最大值”的概率；
(2)求随机变量X的分布列．
9.5-离散型随机变量及其分布列-专项训练【解析版】
1．在15个村庄中，有7个村庄交通不方便，若用随机变量X表示任选10个村庄中交通不方便的村庄的个数，则X服从超几何分布，其参数为(　　)
A．N＝15，M＝7，n＝10　　 B．N＝15，M＝10，n＝7
C．N＝22，M＝10，n＝7 D．N＝22，M＝7，n＝10
解析：A　根据超几何分布概率模型得N＝15，M＝7，n＝10，故选A．
2．设随机变量ξ的概率分布列如下表，则P(|ξ－3|＝1)＝(　　)
ξ 1 2 3 4
P a
A．　 　　 B．
C．　　　 D．
解析：A　∵＋a＋＋＝1，∴a＝，由|ξ－3|＝1，解得ξ＝2或ξ＝4，∴P(|ξ－3|＝1)＝P(ξ＝2)＋P(ξ＝4)＝＋＝，故选A．
3．有6件产品，其中4件是次品，从中任取2件．若随机变量X表示取得正品的件数，则P(X>0)等于(　　)
A． B．
C． D．
解析：A　P(X>0)＝P(X＝1)＋P(X＝2)＝＋＝＋＝．故选A．
4．已知离散型随机变量X的分布列服从两点分布，且P(X＝0)＝3－4P(X＝1)＝a，则a＝(　　)
A． B．
C． D．
解析：C　因为X的分布列服从两点分布，所以P(X＝0)＋P(X＝1)＝1，因为P(X＝0)＝3－4P(X＝1)＝a，所以P(X＝0)＝3－4[1－P(X＝0)]，所以P(X＝0)＝，所以a＝．故选C．
5．(多选)下列说法正确的是(　　)
A．设随机变量X等可能取1,2,3，…，n，如果P(X＜4)＝0．3，则n＝10
B．若随机变量ξ的概率分布为P(ξ＝n)＝an(n＝0,1,2)，其中a是常数，则a＝
C．设离散型随机变量η服从两点分布，若P(η＝1)＝2P(η＝0)，则P(η＝0)＝
D．超几何分布的实质是古典概型问题
解析：ACD　由题意知，对于A，P(X＜4)＝P(X＝1)＋P(X＝2)＋P(X＝3)＝＝0．3，∴n＝10，故A正确；对于B，由P(ξ＝n)＝an(n＝0,1,2)，∴P(ξ＝0)＝a，P(ξ＝1)＝，P(ξ＝2)＝，∴a＋＋＝1，∴a＝，故B错误；对于C，∵P(η＝1)＝2P(η＝0)且P(η＝1)＋P(η＝0)＝1，∴P(η＝0)＝，故C正确；对于D，由超几何分布的定义可知，D正确．
6．(多选)一袋中有6个大小相同的黑球，编号为1,2,3,4,5,6，还有4个同样大小的白球，编号为7,8,9,10，现从中任取4个球，则下列结论中正确的是(　　)
A．取出的最大号码X服从超几何分布
B．取出的黑球个数Y服从超几何分布
C．取出2个白球的概率为
D．若取出一个黑球记2分，取出一个白球记1分，则总得分最大的概率为
解析：BD　一袋中有6个大小相同的黑球，编号为1,2,3,4,5,6，还有4个同样大小的白球，编号为7,8,9,10，现从中任取4个球，对于A，超几何分布取出某个对象的结果数不定，也就是说超几何分布的随机变量为实验次数，即指某事件发生n次的试验次数，由此可知取出的最大号码X不服从超几何分布，故A错误；对于B，取出的黑球个数Y服从超几何分布，故B正确；对于C，取出2个白球的概率为P＝＝，故C错误；对于D，若取出一个黑球记2分，取出一个白球记1分，则取出四个黑球的总得分最大，即总得分最大的概率为P＝＝，故D正确．故选B、D．
7．已知随机变量X的分布列为
X －2 －1 0 1 2 3
P
若P(X2A．4≤x≤9 B．4C．4≤x<9 D．4解析：B　由随机变量X的分布列知，X2的可能取值为0,1,4,9，P(X2＝0)＝P(X＝0)＝，P(X2＝1)＝P(X＝－1)＋P(X＝1)＝＋＝，P(X2＝4)＝P(X＝－2)＋P(X＝2)＝＋＝，P(X2＝9)＝P(X＝3)＝，所以P(X2≤4)＝，因为P(X28．已知随机变量X的概率分别为p1，p2，p3，且依次成等差数列，则公差d的取值范围是________．
解析：由分布列的性质及等差数列的性质得p1＋p2＋p3＝3p2＝1，p2＝，又即得－≤d≤．
答案：
9．一批产品共50件，有5件次品，其余均为合格品．从这批产品中任意抽取2件，出现次品的概率为________．
解析：设抽取的2件产品中次品的件数为X，则P(X＝k)＝(k＝0,1,2)．所以P(X>0)＝P(X＝1)＋P(X＝2)＝＋＝．
答案：
10．在一次购物抽奖活动中，假设某10张奖券中有一等奖券1张，可获价值50元的奖品；有二等奖券3张，每张可获价值10元的奖品；其余6张没有奖．某顾客从这10张奖券中任抽2张．
(1)求该顾客中奖的概率；
(2)求该顾客获得的奖品总价值X(单位：元)的分布列．
解：(1)记顾客中奖为事件A，则P(A)＝＝＝，即该顾客中奖的概率为．
(2)X所有可能的取值为(单位：元)0,10,20,50,60，
且P(X＝0)＝＝，P(X＝10)＝＝，
P(X＝20)＝＝，P(X＝50)＝＝，P(X＝60)＝＝，
故X的分布列为
X 0 10 20 50 60
P
11．已知随机变量ξ的分布列如下：
ξ 0 1 2
P a b c
其中a，b，c成等差数列，则函数f(x)＝x2＋2x＋ξ有且只有一个零点的概率为(　　)
A． B．
C． D．
解析：B　由题意知a，b，c∈[0,1]，且解得b＝，又由函数f(x)＝x2＋2x＋ξ有且只有一个零点，即对于方程x2＋2x＋ξ＝0只有一个根，可得Δ＝4－4ξ＝0，解得ξ＝1，所以P(ξ＝1)＝．故选B．
12．已知在10件产品中可能存在次品，从中抽取2件检查，其次品数为ξ，已知P(ξ＝1)＝，且该产品的次品率不超过40%，则这10件产品的次品率为(　　)
A．10% B．20%
C．30% D．40%
解析：B　设10件产品中有x件次品，则P(ξ＝1)＝＝＝，解得x＝2或8．因为次品率不超过40%，所以x＝2，所以次品率为×100%＝20%．
13．(多选)某学校举行文艺比赛，比赛现场有5名专家教师评委给每位参赛选手评分，每位选手的最终得分由专家教师评分和观看学生评分确定．某选手参与比赛后，现场专家教师评分情况如下表．观看学生全部参与评分，所有评分均在7～10之间，将评分按照[7,8)，[8,9)，[9,10]分组，绘成频率分布直方图如图，则下列说法正确的是(　　)
现场专家教师评分表
专家教师 A B C D E
评分 9．6 9．5 9．6 8．9 9．7
A．a＝0．3
B．用频率估计概率，估计观看学生评分不小于9分的概率为
C．从5名专家教师中随机选取3人，X表示评分不小于9分的人数，则P(X＝2)＝
D．从5名专家教师中随机选取3人，X表示评分不小于9分的人数，则P(X＝3)＝
解析：ABD　由频率分布直方图知，0．2×1＋a×1＋0．5×1＝1，得a＝0．3，所以选项A正确；由频率分布直方图知，观看学生评分不小于9分的频率为0．5×1＝，所以估计观看学生评分不小于9分的概率为，所以选项B正确；X的可能取值为2,3，P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝＝，所以选项C错误，选项D正确．故选A、B、D．
14．袋中有4个红球，m个黄球，n个绿球．现从中任取两个球，记取出的红球数为ξ，若取出的两个球都是红球的概率为，一红一黄的概率为，则m－n＝________．
解析：由题意可得，P(ξ＝2)＝＝＝，化简得(m＋n)2＋7(m＋n)－60＝0，得m＋n＝5，取出的两个球一红一黄的概率P＝＝＝，解得m＝3，故n＝2．所以m－n＝1．
答案：1
15．在一个盒子中，放有标号分别为1,2,3的三张卡片，现从这个盒子中，有放回地先后抽得两张卡片的标号分别为x，y，记X＝|x－2|＋|y－x|．
(1)求随机变量X的最大值，并求事件“X取得最大值”的概率；
(2)求随机变量X的分布列．
解：(1)由题意知，x，y可能的取值为1,2,3，
则|x－2|≤1，|y－x|≤2，所以X≤3．且当x＝1，y＝3或x＝3，y＝1时，X＝3，因此，随机变量X的最大值为3．
有放回地抽两张卡片的所有情况有3×3＝9(种)，
所以P(X＝3)＝．
故随机变量X的最大值为3，事件“X取得最大值”的概率为．
(2)X的所有可能取值为0,1,2,3．
当X＝0时，只有x＝2，y＝2这一种情况；
当X＝1时，有x＝1，y＝1或x＝2，y＝1或x＝2，y＝3或x＝3，y＝3四种情况；
当X＝2时，有x＝1，y＝2或x＝3，y＝2两种情况；
当X＝3时，有x＝1，y＝3或x＝3，y＝1两种情况．
所以P(X＝0)＝，P(X＝1)＝，P(X＝2)＝，P(X＝3)＝．所以X的分布列为
X 0 1 2 3
P