(共58张PPT)
第六章 数列
第1节 数列的概念与简单表示法
ZHISHIZHENDUANJICHUHANGSHI
知识诊断 基础夯实
1
×
解析 (1)数列：1，2，3和数列：3，2，1是不同的数列.
(2)数列中的数是可以重复的，可以构成数列.
(3)数列可以是常数列或摆动数列.
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)相同的一组数按不同顺序排列时都表示同一个数列.( )
(2)1，1，1，1，…，不能构成一个数列.( )
(3)任何一个数列不是递增数列，就是递减数列.( )
(4)如果数列{an}的前n项和为Sn，则对任意n∈N*，都有an＋1＝Sn＋1－Sn.( )
×
×
√
ABD
解析 对n＝1，2，3，4进行验证，
2.(多选)已知数列的前4项为2，0，2，0，则依此归纳该数列的通项可能是( )
D
解析 由anam＝an＋m，a2＝2，
3.已知数列{an}满足：对任意m，n∈N*，都有anam＝an＋m，且a2＝2，那么a20＝( )
A.240 B.230 C.220 D.210
解析 当n＝1时，a1＝S1＝4，
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n－1，
又a1＝4不适合上式，
4.(易错题)已知数列{an}的前n项和为Sn＝n2＋3，则{an}的通项公式为________________.
解析 要使Sn最大，只需要数列中正数的项相加即可，
即需an＞0，－n2＋9n＋10＞0，
得－1＜n＜10，
又n∈N*，所以1≤n＜10.
又a10＝0，所以n＝9或10.
5.若an＝－n2＋9n＋10，则当数列{an}的前n项和Sn最大时，n的值为________.
9或10
解析 因为{an}是递增数列，所以对任意的n∈N*，
都有an＋1＞an，即(n＋1)2＋λ(n＋1)＞n2＋λn，整理，
得2n＋1＋λ＞0，即λ＞－(2n＋1).(*)
因为n≥1，所以－(2n＋1)≤－3，要使不等式(*)恒成立，只需λ＞－3.
6.已知an＝n2＋λn，且对于任意的n∈N*，数列{an}是递增数列，则实数λ的取值范围是______________.
(－3，＋∞)
KAODIANTUPOTIXINGPOUXI
考点突破 题型剖析
2
例1 (1)(多选)设Sn是数列{an}的前n项和，且a1＝－1，an＋1＝SnSn＋1，则下列结论正确的是( )
BCD
又a1＝－1不符合上式，
(2)设数列{an}的前n项和为Sn，数列{Sn}的前n项和为Tn，满足Tn＝2Sn－n2，n∈N＋.
①求a1的值；
②求数列{an}的通项公式.
解 ①令n＝1时，T1＝2S1－1，
∵T1＝S1＝a1，∴a1＝2a1－1，∴a1＝1.
②n≥2时，Tn－1＝2Sn－1－(n－1)2，
则Sn＝Tn－Tn－1＝2Sn－n2－[2Sn－1－(n－1)2]＝2(Sn－Sn－1)－2n＋1
＝2an－2n＋1.
因为当n＝1时，a1＝S1＝1也满足上式，
所以Sn＝2an－2n＋1(n≥1)，
当n≥2时，Sn－1＝2an－1－2(n－1)＋1，
两式相减得an＝2an－2an－1－2，
所以an＝2an－1＋2(n≥2)，
所以an＋2＝2(an－1＋2)，
因为a1＋2＝3≠0，
所以数列{an＋2}是以3为首项，公比为2的等比数列.
所以an＋2＝3×2n－1，∴an＝3×2n－1－2，
当n＝1时也成立，
所以an＝3×2n－1－2.
解析 当n＝1时，a1＝S1＝2a1＋1，∴a1＝－1.
当n≥2时，Sn＝2an＋1，①
Sn－1＝2an－1＋1.②
①－②，Sn－Sn－1＝2an－2an－1，即an＝2an－2an－1，
即an＝2an－1(n≥2)，∴{an}是首项a1＝－1，q＝2的等比数列.
∴an＝a1·qn－1＝－2n－1.
训练1 (1)已知数列{an}中，Sn是其前n项和，且Sn＝2an＋1，则数列的通项公式an＝________.
－2n－1
解析 因为a1＋3a2＋…＋(2n－1)an＝2n，
故当n≥2时，a1＋3a2＋…＋(2n－3)an－1＝2(n－1)，
两式相减得(2n－1)an＝2，
(2)设数列{an}满足a1＋3a2＋…＋(2n－1)an＝2n，则an＝__________.
又由题设可得a1＝2，满足上式，
所以a2－a1＝ln 2－ln 1，a3－a2＝ln 3－ln 2，
a4－a3＝ln 4－ln 3，
……
＝ln(n＋1)－ln n，
A
角度1 累加法——形如an＋1－an＝f(n)，求an
an－an－1＝ln n－ln(n－1)(n≥2).
把以上各式分别相加得an－a1＝ln n－ln 1，
则an＝2＋ln n(n≥2)，且a1＝2也适合，
因此an＝2＋ln n(n∈N*).
解析 设递推公式an＋1＝2an＋3可以转化为an＋1＋t＝2(an＋t)，
即an＋1＝2an＋t，解得t＝3.
故an＋1＋3＝2(an＋3).
令bn＝an＋3，则b1＝a1＋3＝4，
例4 (1)若a1＝1，an＋1＝2an＋3，则通项公式an＝____________.
角度3 构造法——形如an＋1＝Aan＋B(A≠0且A≠1，B≠0)，求an
2n＋1－3
所以{bn}是以4为首项，2为公比的等比数列.
∴bn＝4·2n－1＝2n＋1，∴an＝2n＋1－3.
(2)设数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＝1，Sn＋1－2Sn＝1，n∈N*，则数列{an}的通项公式为____________________.
解析 因为Sn＋1－2Sn＝1，
所以Sn＋1＝2Sn＋1.
因此Sn＋1＋1＝2(Sn＋1)，因为a1＝S1＝1，S1＋1＝2，所以{Sn＋1}是首项为2，公比为2的等比数列.
所以Sn＋1＝2n，Sn＝2n－1.
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n－1，a1＝1也满足此式，
所以an＝2n－1，n∈N*.
an＝2n－1，n∈N*
解析 由题意可知，a2－a1＝2，a3－a2＝3，…，an－an－1＝n(n≥2)，
以上式子累加，得an－a1＝2＋3＋…＋n.
因为a1＝2，所以an＝2＋(2＋3＋…＋n)
训练2 (1)已知数列{an}满足a1＝2，an－an－1＝n(n≥2，n∈N*)，则an＝______________.
(3)已知数列{an}中，a1＝3，且点Pn(an，an＋1)(n∈N＋)在直线4x－y＋1＝0上，则数列{an}的通项公式an＝______________.
解析 因为点Pn(an，an＋1)(n∈N＋)在直线4x－y＋1＝0上，
所以4an－an＋1＋1＝0.
角度1 数列的周期性
解析 由题意得a1＝－1，a2＝0，a3＝3，a4＝－2，a5＝5，a6＝4，a7＝5，a8＝－2，a9＝－7，a10＝0，a11＝－1，a12＝0……所以数列{an}为周期数列，
且周期为10.
因为S10＝5，所以S2 022＝5×202＋(－1)＋0＝1 009.
例5 若P(n)表示正整数n的个位数字，an＝P(n2)－P(2n)，数列{an}的前n项和为Sn，则S2 022＝( )
A.－1 B.0 C.1 009 D.1 011
C
所以k＞3－3n对任意n∈N*恒成立，所以k∈(0，＋∞).故选D.
角度2 数列的单调性
D
当n＜8时，an＋1－an＞0，即an＋1＞an；
当n＝8时，an＋1－an＝0，即an＋1＝an；
当n＞8时，an＋1－an＜0，即an＋1＜an.
则a1＜a2＜a3＜…＜a8，a8＝a9，a9＞a10＞a11＞…，
角度3 数列的最值
又n∈N*，则n＝8或n＝9.
法二 设数列{an}中的第n项最大，
∴an＋1＞an，∴选A.
A
(2)数列{an}满足：a1＝a2＝1，an＝an－1＋an－2(n≥3，n∈N*).将数列{an}的每一项除以4所得的余数构成一个新的数列{bn}，则b21＝( )
A.1 B.2 C.3 D.0
解析 ∵数列{an}满足a1＝a2＝1，an＝an－1＋an－2(n≥3，n∈N*).
∴a3＝2，a4＝3，a5＝5，a6＝8，a7＝13，a8＝21，a9＝34，a10＝55，a11＝89，
数列{an}的每一项除以4所得的余数构成一个新的数列{bn}为1，1，2，3，1，0，1，1，2，3，1，…，
可得数列{bn}构成一个周期为6的数列.
∴b21＝b3＝2.
B
即6≤n≤7，所以最大项为第6项和第7项.
AB
用不动点法求数列的通项
又a1＝－1也满足上式.
FENCENGXUNLIAN GONGGUTISHENG
分层训练 巩固提升
3
分子可表示为1＋5(n－1)＝5n－4，
A
可知数列{an}是以3为周期的数列，
B
解析 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2an＋1－(2an－1＋1) an＝2an－1，
当n＝1时，a1＝S1＝－1，∴数列{an}是首项为－1，公比为2的等比数列，
∴an＝－1×2n－1＝－2n－1，
3.记Sn为数列{an}的前n项的和，若Sn＝2an＋1，则S6＝( )
A.31 B.－31 C.63 D.－63
D
解析 当n＝1时，S1＝a1；
A
因此，an＝3n(n∈N*).
5.(多选)下列四个命题中，正确的有( )
ABD
对于B，令n2－n－50＝－8，得n＝7或n＝－6(舍去)，B正确；
对于C，将3，5，9，17，33，…的各项减去1，得2，4，8，16，32，…，设该数列为{bn}，则其通项公式为bn＝2n(n∈N*)，因此数列3，5，9，17，33，…的一个通项公式为an＝bn＋1＝2n＋1(n∈N*)，C错误；
C
解析 因为2an＋1＋Sn＝2，①，
当n≥2时，2an＋Sn－1＝2，②，
7.已知数列{an}的首项a1＝1，前n项和为Sn，且满足2an＋1＋Sn＝2(n∈N*)，则数列{an}的通项公式an＝________.
当n≥6时，an<1，
由题意知，a1·a2·…·ak是{an}的前n项乘积的最大值，所以k＝5.
5
解析 n∈N*，an＋1＞an，则数列{an}是递增的，
n∈N*，Sn≥S6，即S6最小，
只要前6项均为负数，或前5项为负数，第6项为0，即可，
所以，满足条件的数列{an}的一个通项公式an＝n－6(n∈N*)(答案不唯一).
9.设数列{an}的前n项和为Sn，且 n∈N*，an＋1＞an，Sn≥S6.请写出一个满足条件的数列{an}的通项公式an＝_________________
______________.
n－6(n∈N*)
(答案不唯一)
解 ∵Sn＝2n－1(n∈N*)，
∴当n＝1时，a1＝S1＝2－1＝1；
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1
＝2n－1－(2n－1－1)＝2n－1.
经检验，当n＝1时，符合上式，
∴an＝2n－1(n∈N*).
10.已知数列{an}的前n项和为Sn，求数列{an}的通项公式.
(1)Sn＝2n－1，n∈N*；
(2)Sn＝2n2＋n＋3，n∈N*.
解 ∵Sn＝2n2＋n＋3(n∈N*)，
∴当n＝1时，a1＝S1＝2×12＋1＋3＝6；
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n2＋n＋3－[2(n－1)2＋(n－1)＋3]＝4n－1.
经检验，当n＝1时，不符合上式，
解 ∵2Sn＝(n＋1)an，
∴2Sn＋1＝(n＋2)an＋1，
∴2an＋1＝(n＋2)an＋1－(n＋1)an，
11.已知数列{an}中，a1＝1，其前n项和为Sn，且满足2Sn＝(n＋1)an(n∈N*).
(1)求数列{an}的通项公式；
∴an＝n(n∈N*).
解 bn＝3n－λn2.
bn＋1－bn＝3n＋1－λ(n＋1)2－(3n－λn2)＝2·3n－λ(2n＋1).
∵数列{bn}为递增数列，
∴{cn}为递增数列，∴λ＜c1＝2，
即λ的取值范围为(－∞，2).
解析 对于A，若an＝3n，则an＋1－an＝3(n＋1)－3n＝3，所以{an＋1－an}不为递减数列，故A错误；
对于B，若an＝n2＋1，则an＋1－an＝(n＋1)2－n2＝2n＋1，所以{an＋1－an}为递增数列，故B错误；
12.(多选)若数列{an}满足：对任意正整数n，{an＋1－an}为递减数列，则称数列{an}为“差递减数列”.给出下列数列{an}(a∈N*)，其中是“差递减数列”的有( )
CD
解析 由an＋1－an＝2n得，
当n＝1时，a2－a1＝2×1，
当n＝2时，a3－a2＝2×2，
…，
第n－1项，an－an－1＝2(n－1)，
累加可得an－a1＝2[1＋2＋…＋(n－1)]＝n(n－1)，
B
∴an＝n2－n＋13，
∴数列{an}中的最大项为a5＝2，最小项为a4＝0.
已知对任意的n∈N*，都有an≤a6成立，
(2)若对任意的n∈N*，都有an≤a6成立，求a的取值范围.
故a的取值范围是(－10，－8).2025高考数学一轮复习-6.1-数列的概念与简单表示法-专项训练【原卷版】
[A级 基础达标]
1. 已知数列 , , , ，则 是该数列的( )
A. 第5项 B. 第6项 C. 第7项 D. 第8项
2. 在数列 中， , ,则 等于( )
A. B. C. D.
3. 若数列 满足 , ，则该数列的前2 023项的乘积是( )
A. B. C. D.
4. [2023·山东东营模拟]已知数列 是递增数列，满足 ， ，且 ，则 的最大值为( )
A. B. C. D.
5. （多选）若数列 满足：对任意正整数 , 为递减数列，则称数列 为“差递减数列”.给出下列数列 ，其中是“差递减数列”的有( )
A. B. C. D.
6. 已知正项数列 中， ,则数列 的通项公式 .
7. [2023·北京西城区模拟]若数列 前 项和为 ,则数列 的通项公式 .
8. 写出一个符合下列要求的数列 的通项公式：① 是无穷数列；② 是单调递减数列；③ .这个数列的通项公式可以是 .
9. 已知数列 中， ， ， .
（1） 求 ， 的值；
（2） 求 的前2 024项和 .
[B级 综合运用]
10. [2023·北京北大附中模拟]已知数列 满足 ，其中 , , , ，则数列 ( )
A. 有最大项，有最小项 B. 有最大项，无最小项
C. 无最大项，有最小项 D. 无最大项，无最小项
11. （多选）如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》中，后人称之为“三角垛”.“三角垛”的最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，依次类推.设第 层有 个球，从上往下 层球的总个数为 ，则下列关系式正确的是( )
A. B.
C. , D.
12. 已知数列 满足 , ,则 .
13. [2023·江苏苏州八校联盟第二次检测]已知数列 的前 项和为 ,若 ，且 ，则 .
14. 已知数列 满足 ， ，且 ， .
（1） 求数列 的通项公式；
（2） 设 ， ，求 的最小值.
[C级 素养提升]
15. 已知数列 的通项公式为 ，若 是 中的最大值，则实数 的取值范围是 .
16. [2022·新高考卷Ⅰ]记 为数列 的前 项和，已知 , 是公差为 的等差数列．
（1） 求 的通项公式；
（2） 证明： ．
2025高考数学一轮复习-6.1-数列的概念与简单表示法-专项训练【解析版】
[A级 基础达标]
1. 已知数列 , , , ，则 是该数列的( C )
A. 第5项 B. 第6项 C. 第7项 D. 第8项
[解析]选C.由数列 ， ， ， 的前三项 ， ， 可知，数列的通项公式为 ,由 ,解得 .故选C.
2. 在数列 中， , ,则 等于( A )
A. B. C. D.
[解析]选A.因为 , ,所以 ,所以 .故选A.
3. 若数列 满足 , ，则该数列的前2 023项的乘积是( C )
A. B. C. D.
[解析]选C.因为数列 满足 , ，所以 ,同理可得 , , , ，所以数列 的周期为4，即 ，且 ，而 ，所以该数列的前2 023项的乘积是 .故选C.
4. [2023·山东东营模拟]已知数列 是递增数列，满足 ， ，且 ，则 的最大值为( C )
A. B. C. D.
[解析]选C.由题意得 ，
即 ，所以 ，即 的最大值为12.故选C.
5. （多选）若数列 满足：对任意正整数 , 为递减数列，则称数列 为“差递减数列”.给出下列数列 ，其中是“差递减数列”的有( CD )
A. B. C. D.
[解析]选CD.对于A，若 ，则 ,为常数，所以 不为“差递减数列”，故A错误；
对于B，若 ,则 ,所以 为递增数列， 不为“差递减数列”，故B错误；
对于C，若 ,则 ,所以 为“差递减数列”，故C正确；
对于D，若 ,则 ,由函数 在 上单调递减，所以 为“差递减数列”，故D正确.
6. 已知正项数列 中， ,则数列 的通项公式 .
[解析]因为 ,
所以 ，两式相减得 ，所以 ,又当 时， , ,适合上式，所以 ， .
7. [2023·北京西城区模拟]若数列 前 项和为 ,则数列 的通项公式 .
[解析] ，①
当 时， ,解得 ,
当 时， ,②
①-②得 ,
解得 ,所以 是首项为3，公比为 的等比数列，
所以 .
8. 写出一个符合下列要求的数列 的通项公式：① 是无穷数列；② 是单调递减数列；③ .这个数列的通项公式可以是 （答案不唯一）.
[解析]因为函数 的定义域为 ，且 在 上单调递减， ，所以满足3个条件的数列的通项公式可以是 .
9. 已知数列 中， ， ， .
（1） 求 ， 的值；
[答案]解：当 时， ，所以 ；
当 时， ，所以 .
（2） 求 的前2 024项和 .
[答案]当 时， ，所以 ；
由 得 ，所以 ，故数列 是以4为周期的周期数列，
即 ， ， ， ，
所以 .
[B级 综合运用]
10. [2023·北京北大附中模拟]已知数列 满足 ，其中 , , , ，则数列 ( A )
A. 有最大项，有最小项 B. 有最大项，无最小项
C. 无最大项，有最小项 D. 无最大项，无最小项
[解析]选A.依题意，因为 ，其中 , , , ，当 时， ，
当 时， ， ，两式相除有 , ，易得 随着 的增大而减小，故 ，且 ，故最小项为 ，最大项为 ,故选A.
11. （多选）如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》中，后人称之为“三角垛”.“三角垛”的最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，依次类推.设第 层有 个球，从上往下 层球的总个数为 ，则下列关系式正确的是( ACD )
A. B.
C. , D.
[解析]选ACD.由题意得 , , , , ,以上 个式子相加可得 ,又 也满足上式，所以 ，所以 ,故A正确；
由递推关系可知 ,故B不正确；
当 时， ,故C正确；
因为 ,所以 ,故D正确.故选ACD.
12. 已知数列 满足 , ,则 .
[解析]因为 ,
所以 ,
则 ,所以 ,又 也满足上式，所以 .
13. [2023·江苏苏州八校联盟第二次检测]已知数列 的前 项和为 ,若 ，且 ，则 2.
[解析]方法一：因为 ,所以当 时， ,得 ,即 ,所以数列 是常数列，所以 , ,所以 ,解得 .
方法二：因为 ,所以当 时， ,得 ，则有 ,
所以数列 是常数列，则 ,
所以 ,则 ，解得 .
14. 已知数列 满足 ， ，且 ， .
（1） 求数列 的通项公式；
[答案]解：令 ，则 ，而 ，
所以 是首项为2，公差为4的等差数列，即 ，
所以 ，又 ，
所以 .
（2） 设 ， ，求 的最小值.
[答案]由（1）得 ， ，
所以 ，当且仅当 时等号成立，故 且在 上单调递增，又 ，
所以当 时， 有最小值 .
[C级 素养提升]
15. 已知数列 的通项公式为 ，若 是 中的最大值，则实数 的取值范围是 .
[解析]当 时， 单调递增，因此 时取得最大值，最大值为 ,
当 时, ,
因为 是 中的最大值，即
所以 解得 ,
所以实数 的取值范围是 .
16. [2022·新高考卷Ⅰ]记 为数列 的前 项和，已知 , 是公差为 的等差数列．
（1） 求 的通项公式；
[答案]解：因为 ，所以 ,又 是公差为 的等差数列，
所以 .
因为当 时， ，
所以 ，所以 ，
整理得 ，
所以 ,
所以 ，
又 也满足上式，
所以 ,
则 ，
所以 ，
又 也满足上式，
所以 .
（2） 证明： ．
[答案]证明：因为 ，所以 ,
所以 .
