仁化中学2023-2024学年高一上学期期中考试
数学科试题
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
一、单选题：每小题只有一项符合要求，每小题5分，共40分.
1．已知集合，则图中的阴影部分表示的集合为（ ）
A．或 B．或
C． D．
2．已知， ， 则是的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
3．命题“，”的否定是（ ）
A．， B．，
C．，使得 D．，使得
4．以下四组函数中，表示同一函数的是（ ）
A．
B．f（x）=
C．
D．f（x）=，g（t）=
5．若函数的定义域为，值域为，则函数的图像可能是（ ）
A． B．
C． D．
6．若，，，则（ ）
A． B．
C． D．
7．如果函数是奇函数，那么（ ）
A． B．
C． D．
8．已知函数若函数图象与直线有且仅有三个不同的交点，则实数k的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题：每小题有多项符合要求，全选对得5分，部分选对得2分，有错得0分，每小题5分，共20分.
9．下列不等式中成立的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
10．下列说法正确的是（ ）
A．的最小值为2 B．的最小值为1
C．的最大值为3 D．最小值为
11．在定义域内既是奇函数又是减函数的是（ ）
A．， B．
C． D．
12．给出下列命题，其中正确的是（ ）
A．幂函数图象一定不过第四象限
B．函数的图象过定点
C．是奇函数
D．
第II卷（非选择题）
三、填空题
13．已知函数是幂函数，则的值为 ．
14．已知函数，则 .
15．已知定义在R上的奇函数，在上为减函数，且，则不等式的解集 .（请写成集合或区间形式）
16．，用表示中的最小者，记为
，则函数的最大值为 .
四、解答题
17．已知集合，．
(1)若，求，；
(2)若，求实数a的取值范围．
18．（1）化简：；
（2）求值：.
19．求下列代数式的最值
(1)已知，求的最小值；
(2)已知，且满足，求的最小值；
20．已知函数是定义在上的奇函数，且当时，.
(1)求函数在上的解析式；
(2)判断函数在上的单调性并用定义证明；
(3)解关于m的不等式
21．随着我国经济发展、医疗消费需求增长、人们健康观念转变以及人口老龄化进程加快等因素的影响，医疗器械市场近年来一直保持了持续增长的趋势.某医疗器械公司为了进一步增加市场竞争力，计划改进技术生产某产品.已知生产该产品的年固定成本为200万元，最大产能为100台.每生产x台，需另投入成本万元，且，由市场调研知，该产品每台的售价为200万元，且全年内生产的该产品当年能全部销售完.
(1)写出年利润万元关于年产量x台的函数解析式（利润销售收入成本）；
(2)当该产品的年产量为多少时，公司所获利润最大？最大利润是多少？
22．已知函数为偶函数．
(1)求实数的值；
(2)求函数的值域；
(3)若函数，那么是否存在实数，使得的最小值为1？若存在，求出的值，若不存在，说明理由．
仁化中学2023—2024学年第一学期高一年级期中考试（数 学）
参考答案：
1—4：AADD 5—8：ADAB
【详解】依据基本初等函数的图形变换，
可画出的图像如图，
方程有且仅有三个不等实根，即函数与图像有三个交点，易得， 故选：B.
9．BD 10．BC 11．CD 12．ACD
12. 【详解】对A，根据幂函数的性质，可知幂函数图象一定不过第四象限，故A对；
对B，函数，
令，可得，代入可得，图象过定点，故B错；
对C，令，定义域为，
因为，且的定义域关于原点对称，
所以是奇函数，故C对；
对D，
，故D对；
故选：ACD．
13．或 14．16 15．或 16．
17．(1)，；
(2)．
18．（1）原式.
（2）原式
19．(1)5 ； (2)18
【详解】（1）因为,则,
所以,
当且仅当时,即时取等号,
所以的最小值为5.
（2）因为,
所以,
当且仅当即时,等号成立,
所以当时,.
20．(1)， ； (2)单调递增，证明见解析 ； (3)或
【详解】（1）任取，则，，
因为是定义在上的奇函数，
所以，
又因为当时，，
又因为符合上式，故的解析式为：，.
（2）在上单调递增.
证明：任取且，
，
因为，则，所以，，又，，
所以，所以，
所以在上单调递增.
（3）因为，是奇函数，
所以原不等式可化为，则，
又因为在上是单调增函数，则，即，
所以或.
21．(1)
(2)综上可知，该产品的年产量为70台时，公司所获利润最大，最大利润是1760万元.
【详解】（1）由题意可得：当时，，
当时，，
故．
（2）当时，，
得时万元；
当时，，当且仅当，即时等号成立，
此时万元.
综上可知，该产品的年产量为70台时，公司所获利润最大，最大利润是1760万元.
22．(1)，(2)，(3)
【详解】（1）函数的定义域为,
，
因为函数为偶函数，所以，即，得；
（2）
当且仅当时，等号成立.
所以，函数的值域为
（3），
，，
令，，，函数的对称轴
当，即时，在上单调递增，，
所以，得，成立，
当时，即时，在上单调递减，，
所以，得，舍去，
当时，即，函数的最小值为，
所以，得，舍去，
综上可知，.
