2024 暑假宁波九年级数学夏季竞赛
姓名：___ 准考证号：___
本试卷共 4 页, 14 小题, 满分 100 分, 考试用时 90 分钟。全卷分为选择题部分和非选择题部分。选择题部分 1 至 2 页, 非选择题部分 3 至 4 页。
选择题部分 (32 分)
一、选择题 I: 本题共 4 小题, 每小题 5 分, 共 20 分。在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的。
1. 如图,在矩形 中,点 分别是边 和对角线 上的点, 满足 ,若 ,则
A. B. C. D.
2. 有两条中线长分别为 3 和 6 的三角形面积的最大值为
A. 9 B. 12 C. 18 D. 24
3. 除以 7 的余数是
A. 0 B. 1 C. 2 D. 4
4. 关于 的方程 的正整数解的组数为
A. 0 B. 1 C. 2 D. 无数个
二、选择题 II: 本题共 2 小题, 每小题 6 分, 共 12 分。在每小题给出的选项中, 有多项符合题目要求。全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分。
5. 一张 A4 规格的复印纸 (下简称 A4 纸) 是长为 ,宽为 的矩形. 如图,现有一张矩形纸片 ,且 ,则下列说法中正确的有
A. 在 上取一点 ,将 沿着 翻折使点 的对应点 恰好在 上,复原后,使用量角器测量 ,若 ,则其为 纸
B. 对折纸片使 与 重合,折痕为 ( 在 上),复原后,用量角器测量 和 ,若 ,则其为 A4 纸
C. 在 上取一点 ,将 沿着 翻折使点 的对应点 恰好在 上,若 , 在同一条直线上,则其为 纸
D. 对折纸片使 与 重合,折痕为 ( 在 上),将 沿着 翻折,若点 的对应点 恰好在对角线 上,则其为 纸
6. 在平面直角坐标系中,已知 为反比例函数 图象上的动点且不与 重合,以 为斜边作等腰直角 ,设直线 的解析式为 ,则
A. 当点 也在反比例函数图象上时, 的所有取值之积为 1
B. 当点 也在反比例函数图象上时, 的所有取值之和为
C. 点 的轨迹是轴对称图形
D. 当点 在第四象限时, 与点 的距离最小值为
非选择题部分 (68 分)
三、填空题: 本题共 5 小题, 每小题 5 分, 共 25 分。
7. 已知不相等的两实数 满足 ,则
8. 如图, 的外接圆 与内切圆 的半径之比为 4:1,若 ,则 ___.
第 8 题图 第 10 题图
9.
（阶乘 ! 表示 ,结果用数的阶乘表示）
10. 如图, 是四边形 对角线的交点, , ,则 ___.
11. 同时满足下列三个条件的正四位数的个数为___.
①任意相邻的两个数位的差的绝对值不为 2 ;
②能被 2 整除;
③各个位数仅由 构成.
四、解演算步骤答题: 本题共 3 小题, 共 43 分。使用非初中知识解答的, 该小问酌情扣分。 12. (13 分)
已知函数 .
若 ,求 的最小值;
当 时,有 恒成立,求 的取值范围.
13. (15 分)如图, 和 中 是直角顶点, 在边 上, , ,点 在 的垂直平分线上.
（1）如图 1,若 ,求 ;
（2）如图 2,求证: .
14. (15 分)
（1）设关于 的方程 的三个解为 .
(i) 将方程转化为“ ”的形式:
(ii) (+)(+)(+)=
（2）已知函数 与 的图象有三个不同的交点 , 的中点为 ,若 为定值,求 ;
（3）对任意有 4 个不同实根的方程 都有 恒成立,求 的最小值.
数学参考答案和评分标准
一、选择题 I: 本题共 4 小题, 每小题 5 分, 共 20 分。在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的。
1. C
2. B
3. A
4. B
解析:
1. 由题意得 ,则 ,故 是线段 的一个黄金分割点
2. 两中线垂直取到最值。
3. 方法一、因为 1001 能被 7 整除, 因此任何 abcabc0000……式的数字均能被 7 整除; 即, 任何 ABCABCDEFDEFGHIGHI……式的数字均能被 7 整除
方法二、
2 除以 7 的余数为 2
22 除以 7 的余数为 1
222 除以 7 的余数为 5
2222 除以 7 的余数为 3
22222 除以 7 的余数为 4
222222 除以 7 的余数为 0
2222222 除以 7 的余数为
由规律得, 原数余数为 0 .
4. 整理得
因此 ,经验证,只有 符合条件
二、选择题 II: 本题共 2 小题, 每小题 6 分, 共 12 分。评分标准如下表:
选项数 分档 详细
2 3 选错不选 0 分, 选对 1 个给 3 分, 选对 2 个给 6 分
3 4 选错不选 0 分, 选对 1 个给 2 分, 选对 2 个给 4 分, 选对 3 个给 6 分
ABD
ACD
解析:
5. A 选项导角分析即可, 选项通过矩形的相似得出, 选项得出的长宽是黄金比, 选项结合相似、射影定理判断垂直.
6. A B 根据一线三等角得到、 瓜豆原理. 通过计算得到
三、填空题: 本题共 5 小题, 每小题 5 分, 共 25 分。
除了括号内的等效答案外, 别的答案一律不给分!
-1
(0.2)
9.
10.
11. 116
解析:
7.
构造函数 ,令 ,则由韦达定理 ,
8. 取弧 中点 与 的交点为 ,取圆 的切点为 .
不妨设 .
第一步: 翻译条件
由题意得 ,故 .
第二步: 确定图形
由 得到 共圆,
得 ,在 中得 .
第三步: 求值
同理, .
故 .
9. 考查变形能力
10. 过 作 的垂线交 于 于 垂直 于 ,则
可知点 到 的距离都是是 的 2 倍,故 ,
所以 是 的平分线,故 ,
故 ,在 中解得
11. 考虑列表,第 行第 列表示以 结尾的符合条件的 位数的数量每次向下填写时, 将上一行除了差值为 2 的数都相加填入
结果为 116
结尾为 1 结尾为 2 结尾为 3 结尾为 4 结尾为 5
一位 1 1 1 1 1
两位 4 4 3 4 4
三位 16 15 11 15 16
四位 62 58 41 68 62
四、解演算步骤答题: 本题共 3 小题, 共 43 分。
12. (1) (5 分)
① 当 时, 分,此处过程可以略写,但是必须要有
讨论的痕迹!
② 当 时, 分,写出能体现最小值 就给分。
所以 时取最小值 分。
上面没有突出取等条件 的,就算答案对也扣 1 分!
12. (2) (8 分)
① 当 时, ,
时, 时, ,有求点的思想给 1 分。
结合图像得 ,解得 . 式子 1 分,结果 1 分。
②当 时,同理得 .同上,3 分。
③ 当 时, 时, ,显然不成立. 有说明不成立就给 1 分。
综上, 或 . 下结论 1 分。
答案如果对, 且过程思想对就给全分。
13. (1) (6 分)
由题意得 ,得 ,故 . 垂直判定 2 分
作 于 ,则 .
线段长度 2 分
结果 2 分
13. (2) (9 分)
9 分
有运用勾股定理的解题思想就给 3 分。
如果证明 是 的圆心,要说明 和 相似给 3 分,证明出圆心给 3 分, 得出结论得 3 分
（1）(i)
(ii) 6; 27
（2）K=6
（3）
